《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(原“微積分”)》考試大綱

1、高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（原“微積分”）考試大綱考試目的本考試為北京大學(xué)醫(yī)學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院醫(yī)學(xué)信息、藥學(xué)等專業(yè)?？啤⒈究茖哟螌W(xué)生20112012學(xué)年高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-微積分課程考試，旨在認(rèn)定其學(xué)習(xí)是否達(dá)到了預(yù)期的課程要求，同時(shí)為北醫(yī)網(wǎng)絡(luò)學(xué)院下一步教學(xué)的實(shí)施及評(píng)估提供依據(jù)。考試總要求考生應(yīng)重點(diǎn)掌握極限、導(dǎo)數(shù)或微分、積分的基本計(jì)算，理解微分學(xué)與積分學(xué)的聯(lián)系-牛頓萊布尼茲公式，能夠運(yùn)用微積分基本計(jì)算，求函數(shù)曲線在某點(diǎn)的切線方程,會(huì)求一般曲邊梯形的面積,及特殊封閉曲線所圍圖形的面積如: 計(jì)算圓面積,橢圓面積,掌握旋轉(zhuǎn)體體積的定積分計(jì)算方法如:圓球體積，圓錐體體積的計(jì)算公式的推導(dǎo),并具有求出簡(jiǎn)單函數(shù)最值的能力。至少掌握一

2、種判定駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)的方法。了解微積分在醫(yī)藥行業(yè)中的基本應(yīng)用?？荚噧?nèi)容 試卷結(jié)構(gòu)一覽表部 分名 稱題 號(hào)題 量分 值一函數(shù)概念題單選題3題12分二極限計(jì)算題單選題4題16分三函數(shù)連續(xù)性單選題2題8分四導(dǎo)數(shù)計(jì)算題單選題2題8分五羅必達(dá)法則單選題1題4分六導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題單選題3題12分七不定積分計(jì)算單選題2題8分八定積分計(jì)算單選題3題12分九定積分應(yīng)用單選題3題12分十重要結(jié)論題單選題2題8分試卷形式試卷總分：100分考試時(shí)間：90分鐘答題方式：試卷分為試題冊(cè)、答題卡，所有題型均為客觀題,答案涂在答題卡上試卷題型比例： 客觀題：100% 單選或多選（本期考試為單選）總成績(jī)構(gòu)成 網(wǎng)上作業(yè)百題得分*30

3、%+期末成績(jī)*70%單選題25題 每題得分4分 共100分 每題四個(gè)選項(xiàng) 擇最佳選項(xiàng)題型說(shuō)明與題型示例一. 函數(shù) （12分）l 會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域 如的定義域?yàn)?。題型示例 函數(shù)的定義域?yàn)椋? 題型示例 函數(shù)的定義域?yàn)?1,2 曲線圖形為半圓。注意與前題的區(qū)別。l 會(huì)判定基本初等函數(shù)的單調(diào)性: 是單調(diào)增加函數(shù)（圖像）。題型示例 非單調(diào)增加函數(shù)的是：。l 會(huì)判定簡(jiǎn)單函數(shù)的有界性: 均有界。題型示例 ( ) 函數(shù)是無(wú)界的 （單調(diào)函數(shù)的最大值最小值在端點(diǎn)達(dá)到）。l 會(huì)判定函數(shù)是否是初等函數(shù) 知道分段函數(shù)是非初等函數(shù)如取整函數(shù)，符號(hào)函數(shù)。 ,為非初等函數(shù)l 知道基本初等函數(shù)的具體內(nèi)容:常數(shù)-指數(shù)-冪-

4、對(duì)數(shù)-三角-反三角及圖像特點(diǎn)。l 知道多項(xiàng)式函數(shù),有理函數(shù),等是初等函數(shù)。題型示例 ( ) 函數(shù)是初等函數(shù) a取整函數(shù) b多項(xiàng)式函數(shù)題型示例 ( ) 函數(shù)是非初等函數(shù) a符號(hào)函數(shù) b多項(xiàng)式函數(shù)l 給定兩個(gè)初等函數(shù)會(huì)求它們的復(fù)合函數(shù)如l 會(huì)計(jì)算復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值.，則=1，練習(xí)思考題 與的圖像有什么聯(lián)系？l 會(huì)判定函數(shù)的奇偶性 , 均是奇函數(shù); ,均是偶函數(shù)l 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（1） 則函數(shù)為奇函數(shù)； （2） 則函數(shù)為偶函數(shù) 如，（通分整理）題型示例 ( )是奇函數(shù) l 一般定義域?qū)ΨQ的函數(shù)可作奇偶分解 試試對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)作奇偶分解如： l 會(huì)判定兩個(gè)函數(shù)是否相同.函數(shù)的定義域不同故不同.l 基礎(chǔ)

5、知識(shí)掌握 基本初等函數(shù)圖像（重點(diǎn) 單調(diào) 有界 奇偶 周期）l 一次函數(shù) 二次函數(shù) 絕對(duì)值函數(shù) 園與橢圓方程及圖像 建議考生常用excel去畫復(fù)雜函數(shù)曲線，以幫助對(duì)抽象函數(shù)概念直觀理解。y=(x-1)(3-x)的函數(shù)圖象（二次拋物線）如圖二 極限 （16分） l 基本極限 多種極限過(guò)程下有理函數(shù)的極限（四則運(yùn)算法則）（?。?shù)列 題型示例 （2）函數(shù)極限 分子分母約去公共“零因子”知道題型示例 注意“零因子”趨于0但不等于0.l 極限與無(wú)窮小的關(guān)系：函數(shù)以a為極限，則函數(shù)減去a為無(wú)窮小。（同一極限過(guò)程）l 有界變量乘無(wú)窮小仍為無(wú)窮小. l 重要極限熟記五個(gè)重要等價(jià)無(wú)窮小并會(huì)用此求不定式的極限; ;

6、 l 會(huì)區(qū)分用重要極限公式求極限與無(wú)窮小性質(zhì)求極限的易混淆之處重點(diǎn)需要考察 此部分是否趨于0看： （1）趨于0： 均為利用重要極限； （2）不趨于0：；均為利用無(wú)窮小性質(zhì)。題型示例 計(jì)算不正確的是（ ）a, b. ,c. , d. .l 用補(bǔ)充極限公式 請(qǐng)看例題體會(huì)公式簡(jiǎn)便性; 建議：借助excel求函數(shù)或數(shù)列極限，幫你消除對(duì)計(jì)算的恐懼，引領(lǐng)你對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索。 k n=kn(1+1/n)n1102.59374221002.704814310002.7169244100002.71814651000002.718268610000002.718287100000002.71828281e+08

7、2.71828291e+092.718282101e+102.718282111e+112.718282三 連續(xù)（8分） l 掌握函數(shù)連續(xù)點(diǎn)的兩種定義，極限定義與無(wú)窮小定義函數(shù)增量為無(wú)窮小及意義。l 意義：自變量微小的改變只能引起因變量微小的改變或函數(shù)曲線在連續(xù)點(diǎn)連續(xù)。l 知道基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性及定義域題型示例 指數(shù)函數(shù)在上連續(xù). (a:正確 b:不正確) 余弦函數(shù)在上連續(xù). (a.正確 b:不正確) l 知道初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).（基本初等函數(shù)在函數(shù)運(yùn)算下保持連續(xù)性）l 知道多項(xiàng)式函數(shù)是初等函數(shù),知道多項(xiàng)式函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù). 由此可知：多項(xiàng)式函數(shù)在上連續(xù). (正確)

8、在上連續(xù). (不正確) 點(diǎn)評(píng):雖然函數(shù)是初等函數(shù),但定義域?yàn)?。l 知道連續(xù)函數(shù)的介值定理和最值定理的內(nèi)容.l 會(huì)利用最值定理判定初等函數(shù)在某個(gè)連續(xù)區(qū)間上有界。l 會(huì)利用介值定理或零點(diǎn)定理判定多項(xiàng)式等簡(jiǎn)單代數(shù)方程是否有實(shí)根.l 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 ； ；（代入法）l 結(jié)論為初等函數(shù)，則 方程 必有實(shí)根 (正確)方程 必有實(shí)根 (正確)l 知道函數(shù)連續(xù)的應(yīng)用范圍 方程實(shí)根數(shù)目的判定（單調(diào)性結(jié)合導(dǎo)數(shù)） 初等函數(shù)連續(xù)性 求極限（最簡(jiǎn)單的一大類極限求法） 垂直漸近線（無(wú)窮型間斷點(diǎn)） 連續(xù)曲邊梯形面積的一個(gè)精確估計(jì)（微分與積分建立聯(lián)系重要內(nèi)容）建議：用excel 可近似求出方程實(shí)根。將方程左端的部分定

9、義為函數(shù)，求函數(shù)曲線與x軸的交點(diǎn)即為原方程的解。（解不一定唯一）。函數(shù)通常是初等函數(shù)，在定義域內(nèi)連續(xù)。 解方程 即解，設(shè) ，直觀判斷唯一解在0，1內(nèi)。x cosx-x010.50.3025250.550.2253360.60.1460840.650.0648420.7-0.018310.75-0.103290.8-0.19002方程的根在0.65,0.7之間。自變量取值再細(xì)些可進(jìn)一步得到方程的精度更高的解。介值定理。 示意圖（見(jiàn)光盤） 導(dǎo)數(shù)概念由此引出，函數(shù)如果連續(xù)我們才討論可導(dǎo)性。四.導(dǎo)數(shù)微分 （8分）l （?。┧俣龋?）變化率（3）切線斜率（4）變動(dòng)面積函數(shù)增量的精確估計(jì)（見(jiàn)上）1熟練掌握

10、基本求導(dǎo)公式 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 （反三角求導(dǎo)不作要求）2. 四則求導(dǎo)法則題型示例 3. 復(fù)合求導(dǎo)法則 ; 題型示例 l 導(dǎo)數(shù)的極限定義 會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值. 題型示例 注意: 導(dǎo)數(shù)定義加連續(xù)性，故選b.l 會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)l 知道導(dǎo)數(shù)值的幾何意義是:函數(shù)曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的切線斜率.會(huì)求切線方程。題型示例 曲線在(1,1)點(diǎn)處切線的斜率是 l 會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的微分 知道導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系 題型示例 五 羅必達(dá)法則求極限 （4分）l 無(wú)窮小比無(wú)窮小的極限題型示例 . a: ; b:;c:0; d: l 會(huì)結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小替換用羅必達(dá)法則求極限題型示例 a: 0 b:1;c:;

11、d: 因?yàn)閘 知道等價(jià)無(wú)窮小替換的條件是乘除關(guān)系中使用.題型示例 a: 0; b:1;c:0;d: 計(jì)算過(guò)程:l 無(wú)窮大比無(wú)窮大的極限; 或 六. 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 （12分）l 利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)會(huì)求函數(shù)的駐點(diǎn); ，l 掌握駐點(diǎn)是否是函數(shù)極值點(diǎn)判別法（左右導(dǎo)數(shù)符號(hào)變更的駐點(diǎn)是極值點(diǎn)） 則:. 所以該函數(shù)的駐點(diǎn)是 的解x=-1 題型示例 函數(shù) 的極小值點(diǎn) a:;b:;c: ;d: l 利用二階導(dǎo)數(shù)會(huì)求函數(shù)的凹凸區(qū)間. 所以拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的解x=-2. 上二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)為正數(shù),故函數(shù)為凹.故有題型示例. 凹凸區(qū)間是: a:; b:c: d:l 會(huì)求三次多項(xiàng)式函數(shù)的拐點(diǎn),知道三次多項(xiàng)數(shù)式函數(shù)一定存在拐點(diǎn)（曲

12、線上的點(diǎn)）題型示例 的拐點(diǎn)坐標(biāo)是 a:; b:c: d: l 會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)特別是三次多項(xiàng)式曲線的極值點(diǎn)，并能判斷極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。l 求曲線的切線方程 (點(diǎn)斜式) 知道切線的斜率的求法!題型示例 在點(diǎn)處的切線方程為。l 知道函數(shù)可微與連續(xù)的關(guān)系：可微一定連續(xù)，連續(xù)不一定可微。l 知道可微與可導(dǎo)的等價(jià)性l 知道導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與不定積分互為逆運(yùn)算.題型示例 已知?jiǎng)tl 會(huì)判定駐點(diǎn)是否是函數(shù)的極值點(diǎn)-什么性質(zhì)的極值點(diǎn).l 兩種判定法1. 看導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)左右是否變號(hào). （見(jiàn)輔導(dǎo)）2. 看駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)值是否不為零. （見(jiàn)輔導(dǎo)）l 駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn) （見(jiàn)輔導(dǎo)）l 極值點(diǎn)未必是駐點(diǎn) （可能是不可導(dǎo)點(diǎn)如絕對(duì)值函數(shù)

13、在尖點(diǎn)）l 最值點(diǎn)未必是極值點(diǎn)（可能是邊界點(diǎn)）l 會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的垂直漸近線,與水平漸近線. 導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系.建議：excel計(jì)算機(jī)輔助你求出函數(shù)的最大值的近似值。七.不定積分計(jì)算 （8分）l 重點(diǎn)掌握不定積分的基本公式,注意區(qū)分不定積分運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系.（見(jiàn)導(dǎo)數(shù)部分）換元法 湊微分法 分部積分法l 不定積分的微分性質(zhì) : 需重點(diǎn)掌握l(shuí) 湊微分: 需重點(diǎn)掌握l(shuí) 熟練掌握不定積分的基本公式,擴(kuò)展的基本公式的使用方法. l 換元練習(xí) 分部練習(xí) l 變限積分的微分性質(zhì) 變限積分-變動(dòng)面積函數(shù)八 定積分計(jì)算 （12分）牛頓萊布尼茲公式求定積分l 定積分的概念 定積分的性質(zhì) （見(jiàn)教材）l 牛頓-萊布

14、尼茲公式 題型示例 l f(x)是奇函數(shù)則;f(x)是偶函數(shù)則.l 會(huì)利用函數(shù)的奇偶分解簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算 - 偶函數(shù)部分的積分題型示例 a:b: c: d: （參考函數(shù)奇偶分解）l 分部積分法求定積分 題型示例 a:0;b:1;c:2;d:3. l 換元法求定積分 題型示例 a:0；b:1；c:2；d:3；l 幾何意義計(jì)算 (直接利用幾何意義求定積分值有時(shí)較其他方法簡(jiǎn)單多)l 半園的面積,l 半園的面積九.定積分應(yīng)用 （12分）l 掌握曲邊梯形面積的積分表示題型示例與x軸及直線圍成圖形面積的積分表示是：（ ） a:; b:; c: ; d:l 掌握兩條曲線所圍封閉圖形的面積如題型示例 所圍圖形

15、面積的積分表示是（ ）結(jié)果是（ ）。 (弄清那條曲線在上?那條在下?及交點(diǎn)坐標(biāo)?) 練習(xí)題 求與所圍圖形的面積及積分表示。l 掌握常用封閉曲線所圍圖形 （圓，橢圓的面積）圓的面積計(jì)算公式 公式推導(dǎo)方法很多 除經(jīng)典的極限方法外，積分法。(了解公式的推導(dǎo)方法 一般中學(xué)課本均有介紹,簡(jiǎn)單地說(shuō)，過(guò)圓心作射線將圓分成多塊小扇形，然后拼成近似的矩形，長(zhǎng)為 寬為r)圓面積分的積分表示自然其結(jié)果為。l 掌握橢圓的面積計(jì)算公式及推導(dǎo)過(guò)程,(最后一步用幾何意義求簡(jiǎn)單)題型示例 橢圓的面積為可用定積分表示 a:;b:; ; c:; ; d: l 掌握常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)體體積公式的內(nèi)容及推導(dǎo)曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積公式圓錐的體積公式l 圓錐體體積 l 圓球體積公式 思考題： 用excel如何求出定積分的近似值。（精度可以很高）十重要結(jié)論 8分l 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)l 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界l 有界變量乘無(wú)窮小