第4題球比賽中的輪空問題毛

1、.c n第4題網(wǎng)球比賽中的輪空問題11名選手將要參加網(wǎng)球單打比賽， 組委會決定采用不設種子選手的淘汰賽方式?jīng)Q出冠 軍，但對于比賽中必然會出現(xiàn)的輪空問題卻有不同的意見，一種意見認為每一輪都要保證 盡可能多的運動員參加比賽，而另一種意見認為只允許第一輪中有運動員輪空，請你就以 下的三個問題分析這兩種意見的異同點：比賽的總場次;比賽的輪數(shù)；(3)輪空人次。分析：淘汰賽即參加比賽的選手通過抽簽，配對比賽，勝者進入下一輪，負者則失去了比賽資格；若一輪中將要參賽的選手數(shù)為奇數(shù)，則必然有人輪空，所以11人參加的比 賽必然會出現(xiàn)輪空現(xiàn)象，并且輪空人次與比賽規(guī)則有關。以下為了敘述方便，將第一種意 見稱為“規(guī)則I

2、”，將后一種意見稱為“規(guī)則n”。根據(jù)規(guī)則i,每一輪比賽最多只有一名運動員輪空，即當參加某輪比賽的選手為奇數(shù)個時，只需選擇一名選手直接進入下一輪比賽即可,因此按規(guī)則i進行比賽的流程圖(圖4-3 -1)大致如下所示:圖41口口口 口 口口口 口口 由以上流程圖可看出，若采用規(guī)則I組織比賽，比賽總場次、輪數(shù)、輪空人次分別是10、 4、 2。若采用規(guī)則n組織比賽，需解決的關鍵問題是保證從第二輪起不能再出現(xiàn)輪空現(xiàn)象。根據(jù)經(jīng)驗，在所有的體育比賽中，均為決賽中有2人隊）參加，半決賽時應有4人（隊）參加比賽，而扌決賽應是E人隊）參加角逐，依此類推，在淘汰賽中若不出現(xiàn)輪空運動員，參賽人數(shù)可以表示為2n（n N）

3、的形式。因此，從第二輪起，每輪參賽人數(shù)均是2的某次幕。由于23 v 11V 24，所以第二輪應有23 = 8人參加比賽，而第一輪應有 24 - 1仁5 人輪空，并決出8人參加第 二輪比賽，第三輪有 22 = 4人參賽，最后第四輪有 21 = 2人參賽決出冠軍。由以上的分 析可知，采用規(guī)則n的比賽流程圖 （圖4 2）可寫為如下形式：口口口 口口口 口口 口口口因此，本問題的結(jié)論為:輪數(shù)輪空人次規(guī)則【1042規(guī)則II1045解：略?；仡櫍阂陨戏治隽?11人參賽的情況，從結(jié)論可知，不論采用哪種規(guī)則，比賽的總場 次及比賽的輪數(shù)均相同，是否能得到以下更具一般性的結(jié)論：無論多少人參賽，組委會關 于輪空問題

4、的意見分歧不能改變比賽的總場次及輪數(shù)。顯然上面的結(jié)論對于參賽人數(shù)為2n的情況成立，因為在這種情況下不產(chǎn)生輪空運動n輪比賽，每輪比賽的場次分別為員，關于輪空的分歧不對賽程產(chǎn)生影響，其中將共進行2n-1,2n-2，4,2,1場，所以無論采用哪種規(guī)則，總場次均為2n-1 + 2n-2+4+ 2+仁2n-1場，即場次比參賽人數(shù)少1,而這一結(jié)論也可由淘汰制的特點得到：淘汰賽中，每場比賽必有1人（隊）因失利而失去比賽資格，并且只有冠軍獲得者一場未敗，所以無論 多少人參賽，總要有（參賽人數(shù)-1）個運動員被淘汰，即需要進行（參賽人數(shù)-1）場比賽，因而比賽的場次與參賽人數(shù)有關，與輪空的安排無關。若參賽人數(shù)P不為

5、2n（n N）的形式，則一定能找到某個自然數(shù)n使2n-1 v Pv 2n，若采用規(guī)則n,第一輪比賽后將有 2n-1個運動員參加第二輪比賽，所以需要進行n輪的比賽；若采用規(guī)則I,將要參加第二輪比賽的運動員數(shù)在（2 n-2, 2n-1 內(nèi)，第三輪時有資格參賽的人數(shù)在區(qū)間（2 n-3 , 2n-2內(nèi)，因為最后一輪總是 2人參加比賽，可以推得只需且必須 n輪 才能完成比賽。由以上的分析可知，組委會的意見分歧對比賽的輪數(shù)及場次不產(chǎn)生影響，因此選用哪一規(guī)則應根據(jù)它們遇到輪空問題時的合理性。在本問題中，由于11人參賽，規(guī)則I與規(guī)則n相比，合理性體現(xiàn)在輪空運動員少于規(guī)則n,但缺點在于半決賽時還有一名選手輪空，

6、增加了參加冠亞軍決賽運動員的偶然性。因此，我們很容易提出下面的問題：是否有這樣的參賽人數(shù)，使得在采用規(guī)則I時輪空運動員的人次比采用規(guī)則n的多。要回答上面的問題，應首先注意到，采用規(guī)則I組織比賽，每一輪最多一人輪空，最后一輪時不會有人輪空，因此，輪空的總?cè)舜慰偸遣淮笥冢ū荣愝啍?shù)-1 ），當且僅當每輪的參賽人數(shù)均為奇數(shù)時，輪空人次才能達到（比賽輪數(shù)-1）。例如：共17人參賽，第二輪時剩9人，第三輪時剩5人，第四輪時剩3人，第五輪時2人參加決賽，除去最后一輪， 前4輪中均有一人輪空；但采用規(guī)則n,第二輪時應有16人參賽，所以第一輪共有15人輪空。為了得到更一般的規(guī)律，下面考察參賽人數(shù)分別為9, 10

7、 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15, 16時的輪空情況:亍人數(shù) 輪空農(nóng)7 規(guī)4910 111213141,16規(guī)則！32 212110規(guī)則II76 43.210.c n由上表，當參賽人數(shù)位于】23 , 24時，采用規(guī)則I產(chǎn)生的輪空數(shù)不會多于采用規(guī)則H。一般地，若有P名選手參賽，且2n-1 v pw 2n (n N),則采用規(guī)則I,最多產(chǎn)生(n- 1) 人次輪空，而采用規(guī)則n,將有 (2n - P)名選手在第一輪輪空，要說明采用規(guī)則I不會產(chǎn) 生比規(guī)則H多的輪空，只需考察P= 2n , 2n - 1 , 2n - 2，2n - n + 2即可，即只需考慮不大于2n且與2n最接近的(

8、n- 1)個數(shù)。又因為P= 2n時，兩種規(guī)則均不產(chǎn)生輪空現(xiàn)象， P = 2 n - 1時，兩種規(guī)則均為在第一輪有一人輪空，比賽流程圖完全一樣，所以只要考慮P為從(2n - 2)到(2n - n + 2)的這(n- 3)個數(shù)。當n= 5時，只要考慮 P為29, 30這兩種 情況，n= 6時，只需考慮P為62, 61, 60三種情況，n= 7時，只需考慮P為126 , 125 , 124,123四種情況，。下面是以上各種情況的結(jié)論：29306061621上;124125126規(guī)則】211212121規(guī)則II324325432由上面的結(jié)論可知：在比賽人數(shù)不多于128人時，采用規(guī)則I將在輪空人次上體現(xiàn)

9、出其合理性，而采用規(guī)則n,將在比賽的偶然性上體現(xiàn)出其合理性，也就是說這兩種比賽規(guī) 則各有利弊。在通常的淘汰制比賽中，一般是通過設立種子選手的方法解決問題，即讓種 子選手在第一輪輪空， 非種子選手參加第一輪比賽， 種子選手人數(shù)的多少按下列原則確定： 第一輪中的非種子選手為偶數(shù)，且非種子選手數(shù)的一半與種子選手數(shù)的和為2n的形式。注：在本問題中，用到了兩種解決數(shù)學問題常用的思想方法，即由特殊到一般的推理 思想和小型模擬實驗與理論分析相結(jié)合的方法。當遇到一個全新的數(shù)學問題而對問題的解決束手無策時，運用這兩種方法可以使解題思路逐漸打開，并在分析中不斷擴大問題空間，最終達到解決問題、引申問題的目的。希望你

10、能在完成練習3和練習4時，再次體會到運用這兩種方法所能帶給你的幫助。練習41若22人報名參加淘汰制的網(wǎng)球單打比賽，設多少名種子選手比較好。2 若參賽人數(shù)在129到256之間時，為了證明采用規(guī)則I不會產(chǎn)生更多的輪空人次， 應考察哪幾個數(shù)。3 在黑板上隨意寫1995個“ + ”或“-”，按以下規(guī)律擦去：每次隨意擦去 2個符號，然后按擦去同號添一個“ + ”，擦去異號添一個“-”號的原則操作。問：（1）經(jīng)過 多少次操作后不能再次進行下去。 （2）最后的操作結(jié)果與操作過程有無關系，為什么？（3）最后結(jié)果與原始狀態(tài)的“ + ”“ - ”符號的多少有何關系，為什么？4 .已知線段AB的端點A為紅色，B為藍

11、色，在 AB間添上n個紅或藍色的點，將 AB 分成n+1條小線段，若定義一條兩端顏色不同的線段為標準線段，問標準線段條數(shù)的奇偶性與n的大小有無關系，與添加點的顏色有何關系？練習4答案1 因為22人參加比賽，而24v 22V25,所以最佳狀態(tài)為第二輪時 應有16人參加比賽，所以應設32-22=10名種子選手為宜。2 根據(jù)問題中的分析，只需考察 n為254, 253, 252, 251, 250 這五種情況，其輪空人次如附表 4-1所示：Pff 表 41規(guī)則250251252253254規(guī)則I121.22規(guī)則n654313. （1）每操作一次，黑板上的符號減少一個，最后不能操作時只剩 下一個符號，

12、因此共可進行1994次操作。(2)可以通過小型模擬實驗得到結(jié)論：(1)如附表4-1所示，隨意寫出五個符號，改變操作順序，觀察其結(jié) 果如何：+ + - + 1 + +- + -第一次 注：每次操作是指 + - + - + + -第二次 擦去劃線的兩 +二.-第三次個符號，然后按+ + -第四次要求添加相應 + +的符號2) 改變初始狀態(tài)時符號的個數(shù)或順序，重復心中的操作可得到下面 的結(jié)論：最后結(jié)果與操作過程無關。因為，每次操作后， “-”號要么減少兩 個，要么個數(shù)保持不變，所以若把“ + ”看作 1,“ - ”看作-1,每次操 作黑板上所有符號的積保持不變，所以最后結(jié)果與操作順序無關。(3)由(2)中結(jié)論知，操作結(jié)果的符號由黑板上符號的原始狀態(tài)決定。 如果1995個符號中，共有偶數(shù)個“-”，則最后為“ + ”，如果1995個 符號中共有奇數(shù)個“-”，則最后結(jié)果為“-”。4. 由已知條件：n=0時只有一條標準線段；n=1時，不論加入紅色 點還是藍色的點，標準線段條數(shù)不變，均為 1; n=2時，也就是在n=1 的條件下再加入一點，如圖所示：不妨設C點為紅點，1) 若在AC間