數(shù)學(xué)物理方法5傅里葉變換PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法5傅里葉變換傅里葉變換 2 目的與要求目的與要求：了解在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里了解在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里 葉級(jí)數(shù)展開法；掌握周葉級(jí)數(shù)展開法；掌握周期函數(shù)的期函數(shù)的 展開、定義和性質(zhì)；展開、定義和性質(zhì)；函數(shù)的函數(shù)的 定義與性質(zhì)。定義與性質(zhì)。 重點(diǎn)：重點(diǎn)： 難點(diǎn)：難點(diǎn)： 傅里葉變換傅里葉變換、函數(shù)。函數(shù)。 函數(shù)的概念。函數(shù)的概念。 第1頁/共62頁 3 18071807年年1212月月2121日，日，F(xiàn)ourierFourier向法國科學(xué)院宣布：任意的周向法國科學(xué)院宣布：任意的周 期函數(shù)都能展開成正弦及余期函數(shù)都能展開成正弦及余弦的無窮級(jí)數(shù)。當(dāng)時(shí)整個(gè)科學(xué)院，

2、弦的無窮級(jí)數(shù)。當(dāng)時(shí)整個(gè)科學(xué)院， 包括拉格朗日等，都認(rèn)為他的結(jié)果是荒謬的。包括拉格朗日等，都認(rèn)為他的結(jié)果是荒謬的。 傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn): “” 傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn) “” 傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn) 第2頁/共62頁 4 1.1.波的疊加波的疊加 在普通物理學(xué)中在普通物理學(xué)中, ,我們已經(jīng)知道最簡(jiǎn)單的波是諧波我們已經(jīng)知道最簡(jiǎn)單的波是諧波( (正弦波正弦波),),它是形如它是形如 Asin(t+)的波的波, ,其中其中A是振幅是振幅, ,是角頻率是角頻率, , 是初相位是初相位. .其他的波如矩形波其他的波如矩形波, ,鋸齒形

3、波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來鋸齒形波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來. . 非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù): :矩形波矩形波 o t u 1 1 t t tu 0, 1 0, 1 )( 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 第3頁/共62頁 5 tusin 4 )3sin 3 1 (sin 4 ttu )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 tttu 第4頁/共62頁 6 )9sin 9 1 7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 tttttu )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( tttttu )0,( tt 由上例可以由上

4、例可以：一個(gè)：一個(gè)周期為周期為2l的的 可以看作是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)的疊加可以看作是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)的疊加. . )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 ttttu 第5頁/共62頁 7 ,1cos, x l sin, x l cos2, x l sin2, x l cos, x k l sin, x k l , l l此此函函數(shù)數(shù)族族在在上上正正交交: :即即 -l, ,l 上的積分等于上的積分等于 0 . . 其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在 上的積分不等于上的積分不等于 0 .0 . 兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在兩個(gè)相同的函數(shù)的乘

5、積在-l, ,l 第6頁/共62頁 8 證證: : 1 cosd l l k x x l 1 sind0 l l k x x l (1,2,)k sin0 l l lk x kl cosd l l lk xk x kll 同理可證同理可證 : : 任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在-l,l上的積分等于上的積分等于 0 . 第7頁/共62頁 9 1 2 cos()cos()d l l xx knknx ll coscos k xn x ll )(nk coscosd l l k xn x x ll 0 sinsind0 l l k xn x x ll 同理可證同理可證 : : 1

6、2 cos()cos() xx knkn ll cossind0 l l k xn x x ll )(nk 第8頁/共62頁 10 1 1d2 l l xl 2 sind l l k x x l 2 cosd 1 cos2 d 2 l l l l kx x l kx l xl (1, 2,)k 1 cos2 d 2 l l kx l xl 兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在-l,l 上的積分不等于上的積分不等于 0 . 證證: : 第9頁/共62頁 11 如果周期為如果周期為2l 的函數(shù)的函數(shù) f (x)滿足滿足, 則它可以展開式為下列級(jí)數(shù)則它可以展開式為下列級(jí)數(shù) 0 1 ( )co

7、ssin 2 kk k akxkx f xab ll (在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處) 3.3. 式式 稱為稱為f(x) )的的 . 式中式中a0, ak, bk稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)的的 問題問題: a0, ak, bk 等于什么等于什么? ? 我們利用三角函數(shù)族的正交性來求解我們利用三角函數(shù)族的正交性來求解 第10頁/共62頁 12 0 1 ( )ddcosdsind 2 llll kk k llll akk fab ll 0 a l 對(duì)在對(duì)在-l,l逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分, 得得 0 ( )cosdcosd 2 ll ll akk f ll 0 1 ( )d l l af l 1n

8、 coscosd l n l kn a ll cossind l n l kn b ll 2 cosd l k l k a l k a l 乘乘 在在-l,l逐項(xiàng)積分并運(yùn)用正交性逐項(xiàng)積分并運(yùn)用正交性, 得得 cos k l 由三角函數(shù)的正交性由三角函數(shù)的正交性 由三角函數(shù)的正交性得由三角函數(shù)的正交性得 n=k 由三角函數(shù)的正交性由三角函數(shù)的正交性 第11頁/共62頁 13 1 ( )cosd l k l k af ll ),2, 1(k 1 ( )sind(1, 2,) l k l k bfk ll 類似地類似地, , 用用 sin k/l 乘乘 式兩邊式兩邊, , 再逐項(xiàng)積分可得再逐項(xiàng)積分可

9、得 1 ( )cosd(0,1, 2,) l k l k afk ll 1 ( )sind(1, 2,) l k l k bfk ll 0 1 ( )cossin 2 kk k akxkx f xab ll 第12頁/共62頁 14 (1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)； (2)在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)收斂，收斂， 且且 在在收斂點(diǎn)收斂點(diǎn)有：有： 0 1 ( )(cossin) kk k k xk x f xaab ll 在在間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)有：有： 0 1 1 2 ()()(cossin) kk k

10、 k xk x f xf xaab ll 狄里希利定理狄里希利定理 : 若函數(shù)若函數(shù)f(x)滿足條件：滿足條件： 4. 4. 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性定理傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性定理 如果如果f(x)在間斷點(diǎn)在間斷點(diǎn)x0處左右極限存在處左右極限存在, 則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)x0為為f(x) 的第一類間斷點(diǎn)的第一類間斷點(diǎn). 第13頁/共62頁 15 1 ( )sin k k kx f xb l ( )sind(1, 2,) k k bfk l 其中其中 (在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處) l 2 0 l 如果如果 f (x) 為為, , 則則a0和和ak均為零，即有均為零，即有 0 1 ( )cossin 2

11、 kk k akxkx f xab ll 1 ( )cosd(0,1, 2,) l k l k afk ll 1 ( )sind(1, 2,) l k l k bfk ll 第14頁/共62頁 16 如果如果 f (x) 為為,則則bk為零，即有為零，即有 (在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處)0 1 ( )cos 2 k k akx f xa l 0 2 ( )cosd(0,1, 2,) l k k af xk ll 其中其中 注注: : 無論哪種情況無論哪種情況 , , ).()( 2 1 xfxf 在在 f (x) 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn) x 處處, ,傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 都收斂于都收斂

12、于 1 ( )cosd(0,1, 2,) l k l k afk ll 1 ( )sind(1, 2,) l k l k bfk ll 0 1 ( )cossin 2 kk k akxkx f xab ll 第15頁/共62頁 17 變換法變換法 0( ) , , f xxl 令 2 , l xz 即即 2 l zx 2 ( )( )(), l F zf xf zz 22 , ll 在 22 , ll 上展成傅里葉級(jí)數(shù)上展成傅里葉級(jí)數(shù) ( )F z 周期延拓 將將 2 l zx )(xf在 0 , l 回代入展開式回代入展開式 上的傅里葉級(jí)數(shù)上的傅里葉級(jí)數(shù) 其傅里葉展開方法其傅里葉展開方法:

13、: （三）（三） 有限區(qū)間中的函數(shù)的傅里葉展開有限區(qū)間中的函數(shù)的傅里葉展開* *( (自學(xué)自學(xué)) ) 第16頁/共62頁 18 0( ) , , f xxl 在0 , l 上展成正弦或余弦級(jí)數(shù)上展成正弦或余弦級(jí)數(shù) ( )f x 奇或偶式周期延拓奇或偶式周期延拓 第17頁/共62頁 19 利用利用 已知周期為已知周期為 2 l 的周期函數(shù)的周期函數(shù)f (x)可展開為級(jí)數(shù)可展開為級(jí)數(shù)： 0 1 2 kk ( )cossin kk k axx f xab ll 1 2 kk iik cosee xx ll x l 1 2 kk iik sinee i xx ll x l 0 1 ( ) 22 k k

14、 aa f x ii ee x l kkx l i 2 k b k ii ee k x l x l 0 1 i 22 kk k aab i 2 kk ab i e k x l i e k x l 0 c k c k c （四）（四） 復(fù)數(shù)形式的傅里葉展開復(fù)數(shù)形式的傅里葉展開 第18頁/共62頁 20 1 2 i ( )ed k l l l f l 1 2 ( )d l l f l 2 0 0 a c i1 1k ( )cosd 22 l kk k l ab cf ll i ( )sind l l k f ll 1kk ( )cosi sind 2 l l f lll 1 1 2 2 i ( )

15、ed(, ,) k l l l fk l 注意到注意到 i 2 kk k ab c 同理同理 (1, 2,)k 第19頁/共62頁 21 i1 ( )ed 2 k l l k l cf l i ( )e k x l k k f xc (0, 1,2,)k 因此得因此得 第20頁/共62頁 22 例例2 2：矩形波矩形波 1(2,(21) ) ( ) 1(21) ,2) mm f x mm i (), kx k k fxc e 0 iii 0 111 ( )11 222 kkk k cfededed 21 21 21 i() () i nx n fxe n x 1 1 0 2 i0i 0 111

16、1 ()() 2i2i kk ee kk 0(2 ) 2 (21). i (21) kn kn n 解：解： cosk k=2n: cosk=1 k=2n+1: cosk=- -1 1 1( 1) ( 1)1 2 i kk k 第21頁/共62頁 23 1. 周期為周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開公式的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開公式 )(xf 2 0 a 1 cossin kk k k xk x ab ll (x 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)) 其中其中 1 ( )cosd l k l k af ll 1 ( )sind l k l k bf ll (0,1,)k (1,2,)k 當(dāng)當(dāng)f (x)為奇為奇( (偶偶

17、) ) 函數(shù)時(shí)函數(shù)時(shí),為正弦為正弦(余弦余弦) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). 2. 2. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法 變換變換 延拓延拓 3. 3. 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式 利用歐拉公式導(dǎo)出利用歐拉公式導(dǎo)出 第22頁/共62頁 24 第23頁/共62頁 25 25 周期函數(shù)的性質(zhì)是周期函數(shù)的性質(zhì)是f(x+2l)=f(x), x每增大每增大2l，函數(shù)值就重復(fù)，函數(shù)值就重復(fù) 一次，非周期函數(shù)沒有這個(gè)性質(zhì)，但可以認(rèn)為它是周期一次，非周期函數(shù)沒有這個(gè)性質(zhì)，但可以認(rèn)為它是周期2l 的周期函數(shù)。所以，我們也可以把非周期函數(shù)展開為所謂的周期函數(shù)。所以，我們也可以把非

18、周期函數(shù)展開為所謂 “”。 考察復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)考察復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù): : i1 ( )ed 2 k x l l l k f xx l c i ( )e k x l k k f xc (0, 1,2,)k （一）（一） 傅里葉變換傅里葉變換 第24頁/共62頁 26 26 非周期函數(shù)的復(fù)數(shù)形式的非周期函數(shù)的復(fù)數(shù)形式的: : i1 ( )ed 2 k x l l l k f xx l c i ( )lime k x l l k k f xc (0, 1,2,)k 1 / kkk l i ( )ed 2 l x kk l k f xcx i ( )lime k x k l k f xc /

19、(0, 1,2,) k klk 上式改寫為：上式改寫為： 第25頁/共62頁 27 27 令令 i ( )( )ed . x f xF 有有 i 1 2 ( )( )ed , x Ff xx 若若 有限，則非周期函數(shù)可以展開為有限，則非周期函數(shù)可以展開為lim( ) l ll fd ii ( )lim( )ede 2 l x kkk ll k f xf ii1 ( ) limeed 2 x kk k l k f ii ( )ede 1 2 x fd 稱稱f(x)的的 稱稱F()的的 像函數(shù)像函數(shù) 原函數(shù)原函數(shù) 1 lim/0 ;d k l k l k k l 第26頁/共62頁 28 28 傅

20、里葉積分定理傅里葉積分定理：若函數(shù)若函數(shù) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間(- - ，+ + )上滿足條件上滿足條件: : (1) (1) 在任意有限區(qū)間滿足狄里希利條件在任意有限區(qū)間滿足狄里希利條件； (2) (2) 在區(qū)間在區(qū)間 (-(- ，+ + ) )上絕對(duì)可積（即上絕對(duì)可積（即 收收 斂），斂）， 則則 f(x) 可表為傅里葉積分，且可表為傅里葉積分，且 傅里葉積分值傅里葉積分值= =()()/ 2f xf x ( )f xdx i ( )( )ed . x f xF i 1 ( )( )ed , 2 x fxFf xx F F 第27頁/共62頁 29 奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉變換奇函數(shù)與偶函

21、數(shù)的傅里葉變換 傅里葉變換對(duì)傅里葉變換對(duì) i ( )( )d x f xFe -i-ii i 11 ( )dd 22 1 ( )dd 2 1 ( )cosdd 2 i ( )sindd 2 ( )( )d xx t t x Fexex Fex Ftxx Ftx fF x xe -i 1 ( )( )d 2 x Ff x ex 第28頁/共62頁 30 當(dāng)當(dāng)f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù) 00 0 ( ) 1 ( )cosdd dd 1i ( )cosd( )sind xxxFFtFtx Ftxx 當(dāng)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù) 0 1 ( )( )sindd FFtxx 進(jìn)一步注意到進(jìn)一步注意到 co

22、scoscossinsintxtxtx 000 ( )cosd 22 ( )cosdcosd Fx xx xFtf x 當(dāng)當(dāng)f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù) 同理同理,當(dāng)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù) 000 ( )sind 22 ( )sindsind Fx xx xFtf x 第29頁/共62頁 31 31 例例1 0 0 0 1 1,(), 2 rect() 1 0,(). 2 xx axx axx a 定義定義: 矩形函數(shù)為矩形函數(shù)為 0 x 1 a x ( )f x x 將矩形脈沖將矩形脈沖 展開為傅里葉積分。展開為傅里葉積分。( )rect() 2 fh t t T 0 h TT ( )f t

23、 t i 1 ( )rect()d 22 t t f xhet T F F 解解:矩形脈沖函數(shù)的周期為矩形脈沖函數(shù)的周期為-T,T, 如右圖如右圖. 246810 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 i-i sin- i k xk x ll kx ee l ii d 22 i T ttT T T hh ete sin . hT 第30頁/共62頁 32 (1) (1) 導(dǎo)數(shù)定理導(dǎo)數(shù)定理 i 1 d 2 d ( ) ( ) d x f x fx x ex F F （二）（二） 傅里葉變換的基本性傅里葉變換的基本性 質(zhì)質(zhì) 根據(jù)傅里葉積分定理，根據(jù)傅里葉積分定理，lim ( )0

24、x f x ii 11 ( )( )di( )di. 22 xx fxf xexf x exF F F fxF ( )i( ) F F i 1 ( )ed , 2 x fxf xx F F dd bb b a aa u vxu vv ux ii 11 ( )( )d 22 xx f x ef xex i 1 ( )ed , 2 x fxf xx F F 第31頁/共62頁 33 ( )i( )xx F FF F (2) (2) 積分定理積分定理 () 1 ( )d () i x fF F F 0 d x x fx 由變上限積分定理：由變上限積分定理： xfx 由由導(dǎo)數(shù)定導(dǎo)數(shù)定 理理 () 11

25、1 ( ) ( )( ) ( )( ) iii x fdxxf xF F FF FF FF F 利用利用導(dǎo)數(shù)定理導(dǎo)數(shù)定理證明，記證明，記 i 1 ( )ed , 2 x fxf xx F F 0 () dd x x x ff 第32頁/共62頁 34 (3) (3) 相似性定理相似性定理 1 ()()f axF aa F F i i 11 ()()d( )d 22 y ax y x a y f axf ax exf y e a F F i 111 ( )d 2 y a f y eF aaa y 比比較較定定義義式式 i 1 ( )ed , 2 x fxf xx F F 空域中的壓縮（擴(kuò)展）等于

26、頻域中的擴(kuò)展（壓縮）空域中的壓縮（擴(kuò)展）等于頻域中的擴(kuò)展（壓縮） f(x/2) 0 x )2(2F 2l l l l l 0 2()fx 0 4/ l4/ l x ) 2 ( 2 1 F 2 l 4 l 4 l 壓縮 擴(kuò)展 1 1 0 第33頁/共62頁 35 (4) (4) 延遲定理延遲定理 0 i 0 ()( ) x f xxeF F F i 00 1 ()()d 2 x f xxf xx ex F F 0 0 i 1 ( )d 2 yxx yx f y ey 0 ii 1 ( )d 2 xy ef y ey 0 ix eF i 1 ( )ed , 2 x fxf xx F F (5) (

27、5) 位移定理位移定理 x ef xF 0 i 0 ( )() F F 00 iii 1 ( )( )d 2 xxx ef xef x ex F F 0 () 0 1 ( ) 2 ix f x edxF 由由定定義義 第34頁/共62頁 36 00 0 1 2 ii cos() xx xee 00 0 00 1 2 1 2 ii ( )cos( )() ()() xx f xxf x ee FF F FF F 00 0 1 2 ii sin() i xx xee 000 1 2 ( )sin()() i f xxFF F F 例例2求求 ： 0 ( )cosf xx 的頻譜？的頻譜？ 解：解：

28、 由由 位移定理位移定理 x ef xF 0 i 0 ( )() F F 第35頁/共62頁 37 若若(6) (6) 卷積定理卷積定理 fxF 11 ( )( ) F F fxF 22 ( )( ) F F和和 則則 fxfxFF 1212 ()()2()() F F 1212 ()()()()fxfxffxd 12 i 12 ( )()d 1 d 2 ( )( ) x fffxexxfx F F - ii 12 1 ( )( )d d 2 yx y ffy ey 作作代代換換 ii 12 12 1 ( )d ( )d 2 2 y fefy ey FF i 1 ( )ed , 2 x fxf

29、 xx F F 第36頁/共62頁 38 卷積卷積 卷積定理反映了卷積定理反映了兩個(gè)傅立葉變換之間的關(guān)系，它構(gòu)成了空間域和頻率域之間的基本關(guān)系。卷積對(duì)深入理解在傅立葉變換基礎(chǔ)上的圖像處理技術(shù)是十分重要的。兩個(gè)傅立葉變換之間的關(guān)系，它構(gòu)成了空間域和頻率域之間的基本關(guān)系。卷積對(duì)深入理解在傅立葉變換基礎(chǔ)上的圖像處理技術(shù)是十分重要的。 dxgfxgxf)()()()( 其中其中 是積分偽變量。是積分偽變量。 兩個(gè)函數(shù)兩個(gè)函數(shù)f(x)和和g(x)的卷積記作的卷積記作f(x)*g(x)，由下式所定義：，由下式所定義： 第37頁/共62頁 39 f( ) 0 1 1 g(- ) 0-1 1/2 g(x- )

30、 0-1 1/2 x g( ) 01 1/2 f(x) x g(x) x 0 1 101 1/2 例：求如圖所示的例：求如圖所示的 f(x)*g(x)，即，即 dxgf)()( 卷積積分的圖解計(jì)算卷積積分的圖解計(jì)算 第38頁/共62頁 40 f ( ) g(x- ) 0-1 1/2 1 1 x 0 x 1 卷積為卷積為：x/2 0-1 1/2 x-1 f ( ) g(x- ) 1 x 1 1 x 2 卷積為卷積為：1- x/2 x 0-1 1/2 1 1 f (x)* g(x) x/2 0 x 1 f(x)*g(x)= 1 - x/2 1 x 2 0 其它其它 第39頁/共62頁 41 22

31、( ) d2() df xxFx （7 7）帕塞瓦爾等式）帕塞瓦爾等式能量守恒能量守恒 * 2 ( )d) dfxf xxf xx ii ( )d()( )dd()d xx f xxFf xeexF ii ( )( )ed( ),( )ed xx xFfxfF 2()()dFF i 1 ( )ed 2 ),( x fxf xxF F F 第40頁/共62頁 42 i ( )d x f xFe (ii) d x Fee i FFe 求和求和 , : ; dF 無無窮窮多多個(gè)個(gè)的的連連續(xù)續(xù)指指數(shù)數(shù)信信號(hào)號(hào)之之和和; ; 信信號(hào)號(hào)頻頻率率變變化化范范圍圍為為 幅幅度度為為無無窮窮 域域 小小 整整個(gè)

32、個(gè)頻頻 振幅譜振幅譜 相位譜相位譜 第41頁/共62頁 43 () 12 122 1 (,)(,) 2 i d d k xky F kkfx y ex y （1） （2） () 12 1212 ( , )(,) i d d k x k y f x yF k k ek k 1 1 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 第42頁/共62頁 44 例例2 2: : 求函數(shù)求函數(shù) 0 , ( , ) , AxXyY f x y xXyY 的傅里葉變換的傅里葉變換(矩孔費(fèi)瑯和夫衍射矩孔費(fèi)瑯和夫衍射)。 解：由傅里葉變換關(guān)系解：由傅里葉變換關(guān)系 () 12 122 1 (,)( , ) 2 i d d k x k

33、y F k kf x y ex y 有有 12 122 (,) 2 ii dd XY k xky XY A F k kexey 12 2 12 sinsink Xk YAXY k Xk Y 12 2 12 1122 2 12 11 2 11 22 ii iiii ii ii XY k xky XY k Xk Xk Yk Y A ee kk A eeee kk 1 2 ii sinee i xx x 第43頁/共62頁 45 其幅度譜為其幅度譜為 （a a）信號(hào)的頻譜圖）信號(hào)的頻譜圖 （b b）圖（）圖（a a）的灰度圖）的灰度圖 （幅度譜）（幅度譜） 圖圖 信號(hào)的頻譜圖信號(hào)的頻譜圖 k1 F(

34、k1,k2) k2 12 12 2 12 sinsin , k Xk YAXY F k k k Xk Y 第44頁/共62頁 46 2 2 三維三維FourierFourier變換變換 123 , ,kk kkrx y z 123 i 123 i3 123 d dd d , , k r k x k y k z f r fF kek kk F k ek x y zk k 123 3 3 i3 i 123 1 2 1 2 d , ,d d d k r k x k y k z F kf r er F k k kfx y z ex y z 第45頁/共62頁 47 222 1 0 ( ), r f r

35、erxyz r 求求的的 三三 重重：傅傅 里里 葉葉 變變 換換 。例 3 123 1 3 11 2 i d d d () k x k y k x r F k kkeex y z r 2 23 3 ( ( , , ,) ) 2 123 2 2 1 3 000 11 2 icos d d dsin d d d cos sin d d d () rkr x y zrr k xk yk xkr F k k keerr r 2 23 3 由由直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)與與球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系間間關(guān)關(guān)系系: : ( ( , , ,) ) 123 1 3 1 2 i ( , , )d d d () k x k y k

36、 x F kkkf x y z ex y z 2323 (,)=(,)= ( )f r解解：函函數(shù)數(shù)是是球球?qū)?duì)稱稱函函數(shù)數(shù), ,因因此此采采用用球球坐坐標(biāo)標(biāo)較較方方便便. . 由由三三重重傅傅里里葉葉變變換換公公式式： 第46頁/共62頁 48 ii 22 0000 i 2 00 11 sin d dsin dd 22 1 dcosd 2 coscos cos ()() () rkrrkr rkr reerreer reer ii 00 ii 1 dco i s i coscos krk k r krr ee krr ee k 其中：其中： ii 1 22 00 ii 2 00 ii 2 0

37、 0 22 i 2 i 11 dd 2i2 1 dd i2 111 i2ii 11112 i2i i i2 ()() () () ()() rrkrk kr r k k rk r k rk r r ee kr F kkkrereeer k erer k ee kkk kkk 2323 (,)(,) 2 k 第47頁/共62頁 49 第48頁/共62頁 50 2 0 4r q E 第49頁/共62頁 51 在物理學(xué)中對(duì)于在物理學(xué)中對(duì)于在某種坐標(biāo)系下在某種坐標(biāo)系下 高度集中的量，如點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源、高度集中的量，如點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源、 質(zhì)點(diǎn)以及又窄又強(qiáng)的電脈沖等，常用質(zhì)點(diǎn)以及又窄又強(qiáng)的電脈沖等，常用 一

38、個(gè)特殊的函數(shù)一個(gè)特殊的函數(shù)來描述。來描述。 0 lm/ 2/ l2/ l )(x l x 設(shè)質(zhì)量設(shè)質(zhì)量m均勻分布在均勻分布在長(zhǎng)為長(zhǎng)為l的線段的線段- -l/2,l/2上（上（如圖如圖）, 進(jìn)一步設(shè)線的單位長(zhǎng)度質(zhì)量即進(jìn)一步設(shè)線的單位長(zhǎng)度質(zhì)量即線質(zhì)量密度線質(zhì)量密度為為 l ： 0(/2) ( ) /(/2) l xl x m lxl 下面我們從質(zhì)點(diǎn)的描述來引入下面我們從質(zhì)點(diǎn)的描述來引入 ( )rect l mx x ll 引引入入矩矩形形函函數(shù)數(shù) 第50頁/共62頁 52 /2 /2 ( ) l l l m xxxm l dd 線段總質(zhì)量：線段總質(zhì)量： l l l l xxxxm / 2 0 /

39、2 lim( )d( )d, 0l 時(shí)，線段收縮為質(zhì)點(diǎn)時(shí)，線段收縮為質(zhì)點(diǎn)(x=0)。設(shè)線段在收縮為。設(shè)線段在收縮為 當(dāng)線段在當(dāng)線段在 質(zhì)點(diǎn)的極限下總質(zhì)量不變，即質(zhì)點(diǎn)的極限下總質(zhì)量不變，即 0l ，即線段收縮為質(zhì)點(diǎn)，即線段收縮為質(zhì)點(diǎn)(x=0)。為為 當(dāng)線段在當(dāng)線段在 l ll xmx xx xll 00 0,(0) ( )lim( )limrect() .(0) 第51頁/共62頁 53 53 引入引入： 函數(shù)函數(shù) 0(0) ( ) (0) x x x xx ( )d1 x ( )x 0 一般地，我們有一般地，我們有： 0 0 0 0, () , xx xx xx 0 1()d.xxx 且且 量

40、綱為：量綱為：1/x (x)的形象描述見（圖示）的形象描述見（圖示） 第52頁/共62頁 54 (1) 0 0 00 ()()()( ) ()( ) x xxxxxx xx 函數(shù)函數(shù) 如果對(duì)于任意一個(gè)在區(qū)間如果對(duì)于任意一個(gè)在區(qū)間 (,) 上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù) ( )f x 恒有恒有 00 () ( )d()xxf xxf x 為為 則稱滿足上式中的函數(shù)則稱滿足上式中的函數(shù) 0 ()xx 函數(shù)函數(shù)， 第53頁/共62頁 55 55 (2) (函數(shù)的原函數(shù)函數(shù)的原函數(shù)) xx H xtt x 0,(0) ( )( )d 1.(0) 0 x 1 )(xH H x x x d( ) ( ) d (3) (尺度變換尺度變換) () ( ) () k k k xx x x 若若 的實(shí)根的實(shí)根 全部是單根，則全部是單根，則 ( )0 x k x 由變上限積分定理（由變上限積分定理（ 函數(shù)是函