結(jié)構(gòu)力學(xué)課件：結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)-6

1、3.1 3.1 自由振動(dòng)分析自由振動(dòng)分析自由振動(dòng)分析的目的是確定體系的動(dòng)力特性自由振動(dòng)分析的目的是確定體系的動(dòng)力特性. .可不計(jì)阻尼?？刹挥?jì)阻尼。一一. .運(yùn)動(dòng)方程及其解運(yùn)動(dòng)方程及其解 0ykym 或或1)(1ty2)(2ty運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 設(shè)方程的特解為設(shè)方程的特解為)sin()sin(2211tXytXy代入方程代入方程, ,得得0121212111XmXkXk0222222121XmXkXk00)00(2122122211211XXmmkkkk0)(21212111XkXmk0)(22222121XmkXk 0)(2Xmk 02

2、mk-頻率方程頻率方程1)(1ty2)(2ty解頻率方程得解頻率方程得 的兩個(gè)根的兩個(gè)根2 0ykym 或或運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 設(shè)方程的特解為設(shè)方程的特解為)sin()sin(2211tXytXy代入方程代入方程, ,得得0121212111XmXkXk0222222121XmXkXk00)00(2122122211211XXmmkkkk0)(21212111XkXmk0)(22222121XmkXk 0)(2Xmk 02mk-頻率方程頻率方程-振型方程振型方程值小者記作值小者記作21稱作第一頻率稱作第一頻率也稱作基本頻率也稱作基本頻率;

3、 ; 值大者記作值大者記作稱為第二頻率或高階頻率稱為第二頻率或高階頻率. .將將 頻率代入振型方程頻率代入振型方程10)(21121121111XkXmk11211122111kmkXX特解特解1 1)sin()sin(212121111111tXytXy特解特解2 2)sin()sin(222222221212tXytXy1)(1ty2)(2ty解頻率方程得解頻率方程得 的兩個(gè)根的兩個(gè)根2值小者記作值小者記作21稱作第一頻率稱作第一頻率也稱作基本頻率也稱作基本頻率; ; 值大者記作值大者記作稱為第二頻率或高階頻率稱為第二頻率或高階頻率. .將將 頻率代入振型方程頻率代入振型方程10)(211

4、21121111XkXmk11211122111kmkXX特解特解1 1)sin()sin(112121111111tXytXy特解特解2 2)sin()sin(222222221212tXytXy)sin(112111121tXXyy)sin(222212221tXXyy通解通解)sin()sin(22221211211121tXXtXXyy二二. .頻率與振型頻率與振型體系按特解振動(dòng)時(shí)有如下特點(diǎn)體系按特解振動(dòng)時(shí)有如下特點(diǎn)1)1)各質(zhì)點(diǎn)同頻同步各質(zhì)點(diǎn)同頻同步; ;21111121111121)sin()sin()()(XXtXtXtyty)sin()sin(112121111111tXytX

5、y11211122111kmkXX2)2)任意時(shí)刻任意時(shí)刻, ,各質(zhì)點(diǎn)位移的比各質(zhì)點(diǎn)位移的比 值保持不變值保持不變定義定義: :體系上所有質(zhì)量按相同頻率作自由振動(dòng)時(shí)體系上所有質(zhì)量按相同頻率作自由振動(dòng)時(shí) 的振動(dòng)形狀稱作體系的主振型。的振動(dòng)形狀稱作體系的主振型。幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：1.1.按振型作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的按振型作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的 速度的比值也為常數(shù)，且與位移速度的比值也為常數(shù)，且與位移 比值相同。比值相同。2111111211111121)cos()cos()()(XXtXtXtyty2.2.發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的. .211121211121

6、) 0() 0(,) 0() 0(XXyyXXyy3.3.振型與頻率是體系本身固有的屬性振型與頻率是體系本身固有的屬性, , 與外界因素?zé)o關(guān)與外界因素?zé)o關(guān). .幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：1.1.按振型作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的按振型作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的 速度的比值也為常數(shù)，且與位移速度的比值也為常數(shù)，且與位移 比值相同。比值相同。2111111211111121)cos()cos()()(XXtXtXtyty2.2.發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的. .211121211121) 0() 0(,) 0() 0(XXyyXXyy3.3.振型與頻率是體系本身固有的屬性振型與頻率

7、是體系本身固有的屬性, , 與外界因素?zé)o關(guān)與外界因素?zé)o關(guān). .4 4。N N自由度體系有自由度體系有N N個(gè)頻率和個(gè)頻率和N N個(gè)振型個(gè)振型 02mk頻率方程頻率方程解頻率方程得解頻率方程得 的的N,N,從小從小到大排列到大排列N21,依次稱作第一頻率依次稱作第一頻率, ,第二頻率第二頻率.第一頻率稱作基本頻率第一頻率稱作基本頻率, ,其它為高其它為高階頻率階頻率. .將頻率代入振型方程將頻率代入振型方程 ), 2 , 1(NiXi得得N N個(gè)振型個(gè)振型 0)(2XmkN N個(gè)振型是線性無(wú)關(guān)的個(gè)振型是線性無(wú)關(guān)的. .5 5。若已知柔度矩陣時(shí)。若已知柔度矩陣時(shí)6 6。求振型、頻率可列幅值方程。求

8、振型、頻率可列幅值方程. .4 4。N N自由度體系有自由度體系有N N個(gè)頻率和個(gè)頻率和N N個(gè)振型個(gè)振型 02mk頻率方程頻率方程解頻率方程得解頻率方程得 的的N,N,從小從小到大排列到大排列N21,依次稱作第一頻率依次稱作第一頻率, ,第二頻率第二頻率.第一頻率稱作基本頻率第一頻率稱作基本頻率, ,其它為高其它為高階頻率階頻率. .將頻率代入振型方程將頻率代入振型方程 ), 2 , 1(NiXi得得N N個(gè)振型個(gè)振型 0)(2XmkN N個(gè)振型是線性無(wú)關(guān)的個(gè)振型是線性無(wú)關(guān)的. .振型方程振型方程 0)(2XmI頻率方程頻率方程 02mI按振型振動(dòng)時(shí)按振型振動(dòng)時(shí))sin()sin(2211t

9、XytXy)sin()sin(222211tXytXy )sin()sin(22222111tXmItXmI5 5。若已知柔度矩陣時(shí)。若已知柔度矩陣時(shí)6 6。求振型、頻率可列幅值方程。求振型、頻率可列幅值方程. .振型方程振型方程 0)(2XmI頻率方程頻率方程 02mI按振型振動(dòng)時(shí)按振型振動(dòng)時(shí))sin()sin(2211tXytXy)sin()sin(222211tXytXy )sin()sin(22222111tXmItXmI11X22X121Xm222Xm2222212121222212121111XmXmXXmXmX 0)(2XmI 02mI振型可看作是體系按振型振動(dòng)時(shí)，振型可看作是體

10、系按振型振動(dòng)時(shí)，慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移三三. .求頻率、振型例題求頻率、振型例題例一例一. .求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI解解1111122221EIl322112434EIl321124867 02mI0/1/122222111222111mmmm令令21111m01/1112111120)8/7()1 (228/1822692. 5mlEImlEImm 1mm 23/l3/l3/lEI11111222218/1822692. 5mlEIml

11、EI2222212121222212121111XmXmXXmXmX22212121111XmXmX21112212211mmXX1121111212122111mmXX1122111222122212mmXX1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型2222212121222212121111XmXmXXmXmX22212121111XmXmX21112212211mmXX1121111212122111mmXX1122111222122212mmXX1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型 111X 112X對(duì)稱體系的振型分對(duì)稱體系的振型分成兩組成兩組: :一

12、組為對(duì)稱振型一組為對(duì)稱振型一組為反對(duì)稱振型一組為反對(duì)稱振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI11111222211 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI 111X 112X對(duì)稱系的振型分對(duì)稱系的振型分成兩組成兩組: :一組為對(duì)稱振型一組為對(duì)稱振型一組為反對(duì)稱振型一組為反對(duì)稱振型1111122221按對(duì)稱振型振動(dòng)按對(duì)稱振型振動(dòng)m3/l6/lEIl3111625=1=1l/31121m3/692. 5mlEI按反對(duì)稱振型振動(dòng)按反對(duì)稱振型振動(dòng)1 11 1第二振型第二振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI 111X 112X對(duì)稱系的振型分對(duì)

13、稱系的振型分成兩組成兩組: :一組為對(duì)稱振型一組為對(duì)稱振型一組為反對(duì)稱振型一組為反對(duì)稱振型1111122221按對(duì)稱振型振動(dòng)按對(duì)稱振型振動(dòng)m3/l6/lEIl3111625=1=1l/31121m3/692. 5mlEI按反對(duì)稱振型振動(dòng)按反對(duì)稱振型振動(dòng)m3/l6/l對(duì)稱系的振型分對(duì)稱系的振型分成兩組成兩組: :一組為對(duì)稱振型一組為對(duì)稱振型一組為反對(duì)稱振型一組為反對(duì)稱振型1111122221mm 1mm 23/l3/l3/lEI按對(duì)稱振型振動(dòng)按對(duì)稱振型振動(dòng)m3/l6/lEIl3111625=1=1l/31121m3/692. 5mlEI按反對(duì)稱振型振動(dòng)按反對(duì)稱振型振動(dòng)m3/l6/l=1=1l/9EIl31148613/045.22mlEI31/692. 5mlEI32/045.22mlEI解解: :例二例二. .求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型. . 已知已知: :.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmk12k1EI1EI1k20121212111XmXkXk0222222121XmXkXkkkkk22111kk