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1、6.4.3.2 正弦定理01正弦定理的推導(dǎo)復(fù)習(xí):余弦定理及其推論:余弦定理及其推論:圖1圖22222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC 已知兩邊及夾角已知兩邊及夾角 SASSAS 已知三邊已知三邊SSSSSSASA,AASASA,AAS思考:若給出三角形的思考:若給出三角形的 ,如何解三角形?,如何解三角形?01正弦定理的推導(dǎo)ABCcbaABC在一個直角三角形中AsincaAacsinBsincbBbcsinCsincc1CccsinCcBbAasinsinsin 結(jié)論:任意三角形?任意三角形?推廣推廣01正弦定理的推導(dǎo)ABC在銳角三角形中方法一:向量法方法
2、一:向量法(涉及:邊、角問題(涉及:邊、角問題 數(shù)量積)數(shù)量積)ACBj向量的數(shù)量積的定義向量的數(shù)量積的定義 中兩向量的夾角是余弦關(guān)中兩向量的夾角是余弦關(guān)系而非正弦關(guān)系,這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢?系而非正弦關(guān)系,這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢?cosbaba. 的的夾夾角角為為與與,的的夾夾角角為為與與,的的夾夾角角為為與與ABjCBjACjAjAC 證明:過點 作單位向量 垂直于,C 90A 909001正弦定理的推導(dǎo)ACBj. 的的夾夾角角為為與與,的的夾夾角角為為與與,的的夾夾角角為為與與ABjCBjACjC 90A 9090由向量加法的三角形法則由向量加法的三角形法則ABCBAC 兩兩邊邊同同取取與
3、與 的的數(shù)數(shù)量量積積 得得,jjACCBj AB (根根據(jù)據(jù)向向量量的的數(shù)數(shù)量量積積的的定定義義)cos90cos(90)cos(90)jACjCBCjABA 即即,sinsinsinsinacaCcAAC 同同理理 過過點點作作 垂垂直直于于,可可得得,sinsincbCjCBCB CcBbAasinsinsin 也也有有j ACj CBj AB 在在銳銳角角三三角角形形中中jcba01正弦定理的推導(dǎo)在鈍角三角形中在鈍角三角形中ABCjcba設(shè)設(shè),過過點點 作作與與垂垂直直的的單單位位向向量量090,AAACj 90 AC 90具體證明過程大家完成具體證明過程大家完成!. 的的夾夾角角為為與
4、與,的的夾夾角角為為與與,的的夾夾角角為為與與ABjCBjACj90CcBbAasinsinsin 也也有有所以在鈍角三角形中所以在鈍角三角形中01正弦定理的推導(dǎo)在任意三角形中在任意三角形中ABCcbasinsinsin都有abcABC三角形的正弦定理02正弦定理的應(yīng)用例1:在三角形ABC中,已知A=15,B=45,c=3+ ,解這個三角形.3 3已知:ASA02正弦定理的應(yīng)用4 45 54 45 5已知:AAS02正弦定理的應(yīng)用已知:SSA2424已知:SSA02正弦定理的應(yīng)用2424已知:SSA已知:SSA02正弦定理的應(yīng)用SSA方法二:余弦定理(方程思想)2402正弦定理的應(yīng)用已知:SS
5、A24242424一個解兩個解一個解無解02正弦定理的應(yīng)用正弦定理適用的范圍:正弦定理適用的范圍:AAS , ASASSA唯一解解的不唯一:無解、一個解、兩個解要結(jié)合大邊對大角定理(或內(nèi)角和定理)和正弦函數(shù)的有界性要結(jié)合大邊對大角定理(或內(nèi)角和定理)和正弦函數(shù)的有界性判斷解的個數(shù)。判斷解的個數(shù)。 02正弦定理的應(yīng)用1.A1.A為銳角時:為銳角時:即即b sinA a ,無解;,無解;即即a = b sinA,一個解;,一個解;若若a b,兩個解;,兩個解;若若a b,一個解,一個解.sinsinabABsinsinbABasin1B 當(dāng)當(dāng) 時,時,當(dāng)當(dāng) 時,時,sin1B 當(dāng)當(dāng) 時,時,sin1B 即即b sinA b ,一個解,一個解.(2) a b ,無解;,無解;02正弦定理的應(yīng)用例例4.4.不解三角形,判斷三角形解的個數(shù)不解三角形,判斷三角形解的個數(shù)30, 6, 2) 1 (Aba30,20,11)2(Bab無解無解兩解兩解(3)
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