【課件】必修五：正弦定理

1、6.4.3.2 正弦定理01正弦定理的推導(dǎo)復(fù)習(xí)：余弦定理及其推論：余弦定理及其推論：圖1圖22222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC 已知兩邊及夾角已知兩邊及夾角 SASSAS 已知三邊已知三邊SSSSSSASA,AASASA,AAS思考：若給出三角形的思考：若給出三角形的 ，如何解三角形？，如何解三角形？01正弦定理的推導(dǎo)ABCcbaABC在一個(gè)直角三角形中AsincaAacsinBsincbBbcsinCsincc1CccsinCcBbAasinsinsin 結(jié)論：任意三角形？任意三角形？推廣推廣01正弦定理的推導(dǎo)ABC在銳角三角形中方法一：向量法方法

2、一：向量法（涉及：邊、角問(wèn)題（涉及：邊、角問(wèn)題 數(shù)量積）數(shù)量積）ACBj向量的數(shù)量積的定義向量的數(shù)量積的定義 中兩向量的夾角是余弦關(guān)中兩向量的夾角是余弦關(guān)系而非正弦關(guān)系，這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢？系而非正弦關(guān)系，這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢？cosbaba. 的的夾夾角角為為與與，的的夾夾角角為為與與，的的夾夾角角為為與與ABjCBjACjAjAC 證明：過(guò)點(diǎn) 作單位向量 垂直于，C 90A 909001正弦定理的推導(dǎo)ACBj. 的的夾夾角角為為與與，的的夾夾角角為為與與，的的夾夾角角為為與與ABjCBjACjC 90A 9090由向量加法的三角形法則由向量加法的三角形法則ABCBAC 兩兩邊邊同同取取與

3、與 的的數(shù)數(shù)量量積積 得得,jjACCBj AB （根根據(jù)據(jù)向向量量的的數(shù)數(shù)量量積積的的定定義義）cos90cos(90)cos(90)jACjCBCjABA 即即，sinsinsinsinacaCcAAC 同同理理 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作作 垂垂直直于于，可可得得,sinsincbCjCBCB CcBbAasinsinsin 也也有有j ACj CBj AB 在在銳銳角角三三角角形形中中jcba01正弦定理的推導(dǎo)在鈍角三角形中在鈍角三角形中ABCjcba設(shè)設(shè)，過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) 作作與與垂垂直直的的單單位位向向量量090,AAACj 90 AC 90具體證明過(guò)程大家完成具體證明過(guò)程大家完成!. 的的夾夾角角為為與

4、與，的的夾夾角角為為與與，的的夾夾角角為為與與ABjCBjACj90CcBbAasinsinsin 也也有有所以在鈍角三角形中所以在鈍角三角形中01正弦定理的推導(dǎo)在任意三角形中在任意三角形中ABCcbasinsinsin都有abcABC三角形的正弦定理02正弦定理的應(yīng)用例1：在三角形ABC中，已知A=15，B=45，c=3+ ，解這個(gè)三角形.3 3已知：ASA02正弦定理的應(yīng)用4 45 54 45 5已知：AAS02正弦定理的應(yīng)用已知：SSA2424已知：SSA02正弦定理的應(yīng)用2424已知：SSA已知：SSA02正弦定理的應(yīng)用SSA方法二：余弦定理（方程思想）2402正弦定理的應(yīng)用已知：SS

5、A24242424一個(gè)解兩個(gè)解一個(gè)解無(wú)解02正弦定理的應(yīng)用正弦定理適用的范圍：正弦定理適用的范圍：AAS , ASASSA唯一解解的不唯一：無(wú)解、一個(gè)解、兩個(gè)解要結(jié)合大邊對(duì)大角定理（或內(nèi)角和定理）和正弦函數(shù)的有界性要結(jié)合大邊對(duì)大角定理（或內(nèi)角和定理）和正弦函數(shù)的有界性判斷解的個(gè)數(shù)。判斷解的個(gè)數(shù)。 02正弦定理的應(yīng)用1.A1.A為銳角時(shí)：為銳角時(shí)：即即b sinA a ，無(wú)解；，無(wú)解；即即a = b sinA，一個(gè)解；，一個(gè)解；若若a b，兩個(gè)解；，兩個(gè)解；若若a b，一個(gè)解，一個(gè)解.sinsinabABsinsinbABasin1B 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，sin1B 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，sin1B 即即b sinA b ，一個(gè)解，一個(gè)解.(2) a b ，無(wú)解；，無(wú)解；02正弦定理的應(yīng)用例例4.4.不解三角形，判斷三角形解的個(gè)數(shù)不解三角形，判斷三角形解的個(gè)數(shù)30, 6, 2) 1 (Aba30,20,11)2(Bab無(wú)解無(wú)解兩解兩解(3)