數(shù)理統(tǒng)計之統(tǒng)計量其分布習(xí)題

1、計算題、證明題1.設(shè)（x 1, x2，xn ）及（u1 , u2，Un ）為兩組子樣觀測值，它們有如下關(guān)系Ui =Xi a（b0,a都為常數(shù)）求子樣平均值2 2U與X，子樣方差su與sx之間的關(guān)系.若子樣觀測值X1，X2,Xm的頻數(shù)分別為nim，nm，試寫岀計算子樣平均值X和子樣方差s21n1 - Xia11Xa解：U2 Ui2 iX a1nbbnb221-21XiaX a12SuUiuSxnnbbb2的公式（這里n = nj + n2 +nm）.解：1 mm njXjj 1 nmfjXjj 1X - nnjXjj 1S 2Sn1-nj n2XjXmnn j_ 2Xj X j 1 nfj 落在

2、0.4到0.6之間的概率至少為 0.9 ?如何設(shè)需拋錢幣n次，第i次拋錢幣結(jié)果為1第i次拋出正面0第 i次拋出反面1,2, ,n，則i獨立同分布.且有分布?,x 0,1n j其中fj， j 1,2, ,m是Xj出現(xiàn)的頻率。n3 利用契貝曉夫不等式求錢幣需拋多少次才能使子樣均值才能更精確的計算使概率接近0.9所需拋的次數(shù)？是多少？解：4n不等式P0.40.60.10.50.10.1D_0.1 2詈 0.9.100n0.4為更精確計算250，即需拋250次錢幣可保證Pn值,可利用中心極限定理0.40.60.9P 0.40.60.4 0.50.50.6 0.502. n 1.6454.若一母體的方差

3、求出一個界限，解:設(shè)此界限為0.1 2 D由中心極限定理，p0.95.5 .假定(21 , 22,14n.4：Jn202. n 10.9.n 68.其中 x是N 0,1的分布函數(shù).2 = 4,而100是容量為100的子樣的均值.分別利用契夫曉夫不等式和極限定理為母體的數(shù)學(xué)期望E ）夾在這界線之間的概率為10.9 由此、0.40.6325.0.9.0.9.1.645.1.64541000.329.1和2分別是取自正態(tài)母體 N（2）的容量為n的兩個子樣(11 , 12 ,1n），和于是P2n）的均值，確定n使得兩個子樣均值之差超過的概率大約為0.01.1,2.且相互獨立.，所以1 120.016.

4、設(shè)母體 N（應(yīng)取多大，才能使0.005.，4 )，( 1 , 2 ,(1) E ()0.1;n 2.58、2.14.n）是取自此母體的一個子樣為子樣均值，試問：子樣容量n2) 0.1;0.1) 0.95.227.D-0.1.40.0.1e 6 du0.1 P2P0.1n2J偵設(shè)母體 b 1, p（兩點分布）,（若P0.2，子樣容量n應(yīng)取多大，才能使(1)PP0.1x 2n dx0.1.1537.0.10.75;(2)E (n 255.0.95.是取自此母體的一個子樣2) 0.01.為子樣均值0.1為未知數(shù)，則對每個p，子樣容量n應(yīng)取多大才能使 e （丨p丨2)0.01.(1)要 Pn10時，i

5、 10.20.1P0.10.30.75.服從二項項分布100.3所以n應(yīng)取10.P.由此知，P未知時，E100 p 1 p ,b k,10,0.2 .查二項分布表知30.8791 0.1074 0.77170.75.P 1 P n 0.16當(dāng)p 0.2時0.01. n 16.要對一切p只要求p值使p 1 p最大，顯然當(dāng)p切p的不等式均能成立.0,1此時均成立.寸，p1 p-最大，.所以當(dāng)n 100-25時,對一8設(shè)母體 的k階原點矩和中心矩分別為 Vk=E k,4432k =1 , 2 ,3,4,k1和mk分別為容量n的子樣k階原點矩和中心矩，求證:(2)注意到2,13所以En獨立，且343

6、221,2,n.9.設(shè)母體,子樣方差Sn2ESn2,DSn2并證明當(dāng)n增大時,它2們分別為+解：由于2ESnDSn10.證:nS21 .所以1.DX 2 n 1COVnSn2nSn22為取自正態(tài)母體N的一個子樣試證:1 + 2,1-2是相互獨立2由于1,2 N,所以.即 cov 12, 1202 ,2 212 N 0.2所以由兩個變量不相關(guān)就推出它們獨立11 設(shè)母體的分布函數(shù)為 F是取自此母體的一個子樣的二階矩存在，-為子樣均值，試證1-與J- 的相關(guān)系數(shù)，i, j 1,2,n.證 由于 的二階矩存在，不妨設(shè)E(1)cov i,1iE212.設(shè)和Sn分別是子樣S2n(1)n+ nn+1-n);

7、Sn2 Sn 12E22en的子樣均值和子樣方差，現(xiàn)又獲得第n +1個觀測值，試111i12_ 222nn1n13.求容量為所以從裝有一個白球、兩個黑球的罐子里有放回地取球5的子樣5的和的分布，并求子樣均值i相互獨立都服從二點分布b 1;-3=0表示取到白球，和子樣方差2Sn的期望值=1表示取到黑球.i 1,2,23,ESn2 n 125服從二項分布14.設(shè)母體的聯(lián)合概率分布列服從參數(shù)為的普哇松分布(2)子樣均值的分布列、解:(1)k1,k2 ,15.設(shè)子樣2解：由于x452b5;30,1,2,5.是取自此母體的一個子樣，求：(1)子樣2、和 E Snknne . k k!0,1,2n取自自由

8、度為nm分布具有可加性，所以i服從kik?e.ki0,1E_分布列為m母體，試求子樣均值nm分布.ESn2的分布密度函數(shù).i的分布密度函數(shù)為：mn1nmnmnxn 2i2 x2 e2，X 020,x016.設(shè)母體服從分布，其密度函數(shù)為f X0,x 0n為大于0的常數(shù),i, 2, n為取自此母體的一個子樣，試求子樣和i的分布函數(shù).i 1n解：利用 ，分布的可加性，知i的分布密度為i 1nnx 1 y0Py dy.y e ,y 0 n0,y 018.若 1,2, n是取自正態(tài)母體Nkn的子樣,求Ui和Vi 1i r17.設(shè)母體服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為f xxae , x0,x,a為常數(shù)，求子樣均

9、值0的分布.解:由于服從指數(shù)分布,也就是服從1,分布：由n分布的可加性,知子樣和ii 1服從nnn 1n yn,.因而的分布密度為F yy e ,y 0 n 1!0, y 0.0 k r n的聯(lián)合分布.解：由于1 , 2 , ,n相互獨立，又0kr n,所以u和v相互獨立，uN k , k,v Nn r1, nr 12，所以u, V 的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布N k ,n r1 ,k 2,n r1 2,0.2219.設(shè)母體1 , 2N1 , 2 , 1 ,2 , , 1,n是取自此母體的一個子樣，求子- 1n1 n樣均值1,2 1i ,2i的分布密度函數(shù).ni 1n i 1nni1i 11in1

10、 解：二維正態(tài)變量的和2i仍為二維正態(tài)變量，其五個參數(shù)分別為121i1i2i因此2服從 N1?20.設(shè)母體的分布列為P（的均值，試求E 和D （表示成解：由于不相互獨立，12cov因為nE 2ii 1nD 2ii 11i1 2i212,n nk)=丄,k=1,2,N,N.現(xiàn)進行不返回抽樣，為子樣的函數(shù)）.有限,而抽樣不返回，所以n不是簡單隨機子樣的分布列與母體相同，但k1N1,2N.k2-N2N6N1,2N.klE iEkli.iNk2k 1k12N2kl1 2N 13N 2.i461221.設(shè)母體1,3為取自此母體的一個子樣，在子樣空間中求子樣點到原點距離小于1的概率.樣本點到原點0,0,0

11、的距離為N N1 N 1 3N 2N 1 2N 1covi jj.i j 1,2 N12N N14121nN 1EEin ii 121n1 nD2DiDicov i, jni 1n i 1k l1n,N 1N 1Dnn1N n .2 ni 11212n2P1Sn2222232122.設(shè)N 0,1.-所以分布表，可求得近似值0.20.為取自正態(tài)母體2 2的子樣，Sn為子樣方差，分別求滿足下列各式的最小n的值.(1) PSn221.50.95;(2)P Sn20.8.(1)由于nSn22Sn221.51.5n0.05.2O 22.P SnnSn23n0.0822n 1 3n21 ?n2022-分布

12、表知，最小的n值為13.23.設(shè)隨機變量(1)的分布密度函數(shù)的分布密度函數(shù)；求隨機變量的數(shù)學(xué)期望E和方差(1)n222ye兀n2y的密度函數(shù)3 E E.y2；1、nz2nznn2- x22x n2dxn2nz2.z0.2d2 口2n2n 12n224.設(shè)i為相互獨立的連續(xù)型隨機變量i的分布函數(shù)為Fj人，i 1,2,n.試證：隨機變量n22 In Fj j服從 2n分布.i 1Fj i . i 1,2n.則j服從R0,1分布.ni 2 In Fi i2ln ji 1,2,n.的概率密度為1 2yie , yi20, yi 0.即i服從 2 2分布.由于 i相互獨立，所以相互獨立.因而由分布可加性

13、有ii25.子樣（1,2,3）來自正態(tài)母體 N 0,1,又 10.8 1 0.6 222 0.31 .4 20.5 3 , 3.2 0.31 0.4 20.5 3 ,求1, 2, 3的聯(lián)合分布密度及1 , 2 ,3的邊際分布0.80.60解：由于變換的系數(shù)矩陣為0.3.204. 20.5.2是正交矩陣.0.3.204, 20.5.2n2 時ii 1i 1 x2 2n .所以3也相互獨立，服從0,1分布的隨機變量，其聯(lián)合密度為f %，2, y326.若1,n相互獨立且服從正態(tài)分布，它們的數(shù)學(xué)期望相等，方差各為. 3 1 2 2 21 2 y1分布. y32 ei與V12i2一u是相互獨立的，且u

14、服從正態(tài)分布，V服從自由度為證明：設(shè)j的數(shù)學(xué)期望為，不失一般性設(shè)20 即 i N 0, i 分布，i 1,2， n 設(shè)i 1,2 n,_則i相互獨立，且服從N 0,1分布.i現(xiàn)對i作正交變換，要求其變換矩陣的第一行為令變換后所得的變量為X1,X2, ,Xn其中從而和又niii 1i 1iiiiXii 1X122i 12u2.2u2i由于Xi2Xi2i 1X12Xi2i相互獨立，所以i也相互獨立，從而Xi相互獨立,i1,2此即證明了 和V是相互獨立的.由于是正態(tài)變量 j的線性函數(shù),所以服從正態(tài)分布.又因i是相互獨立的0,1正態(tài)變量nXj2所以V服從自由度為n 1的i 12分布.27.設(shè)母體服從正

15、態(tài)分布N2Sn分別為子樣均值和子樣方差，又設(shè)且與n獨立，試求統(tǒng)計量n 1Snn 1的抽樣分布.n 1因為n1服從Nn 10,-n22分布.所以而2且Sn與1 獨立,即是取n服從tnSn22所以n 1S1分布.分布 N2,S22,22 的子樣,設(shè)28.i ,11in i 1n i 1n i 1n i 1試求統(tǒng)計量S2 s2由于2-2cov2rSn S,2S222rS1S20,1i i是正態(tài)變量，類似于一維正態(tài)變量的情況，可證S2S22rS S相互獨立.n S 221S 2 2rS S2221 2所以統(tǒng)計量-n 12rS S2 2 21 2 1 22 2n S S 2rS S.(12從t n 1分

16、布.29.設(shè)隨機變量Tn服從自由度為分布，試證Tn的極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N 0,1 .證：因為Tn，其中 N 0,1.2n且相互獨立1.nnn2i2的特征函數(shù)為12it 2,的特征函數(shù)為 1t jnnnn t2it22i2ititlim 1lim 1tennnnpl因而一p 1. 即n所以按斯魯茨基定理，T p .從而Tn的極限分布為N 0,1 .30.設(shè)隨機變量服從自由度為n, m 的 F分布，試求：（1）廣丄的分布密度函數(shù)；2=21n證明0,(1)的分布密度函數(shù)；服從參數(shù)為分布B -,這里B -,m2 2的密度函數(shù)為nm x22其它1令 y In x.21,02相互獨立.F2mn, m.

17、2mm, n .e2yd；2e2y的密度函數(shù)為f x所以2的密度函數(shù)為f2m n2.xeny1 -em2y2 231.dxdy可見n x mnxm是服從，其反函數(shù)為xny2n m2 2設(shè)母體 的密度函數(shù)3,4,5 又 1解：3的密度函數(shù)為f3 y分布.5!2!2!mym1.2.01.6x10,x ,0 x 1其它，由此母體抽取一個子樣是子樣的次序統(tǒng)計量，求（3）的密度函數(shù).023由于F x 3x 2x1f3 y2 2 2180y2 1 y 3 2y 1 3y23 22y30 y 1其它32.母體 服從0,1上均勻分布1,2,3,4,5為取自此母體的子i1,2,3,4,5為次序統(tǒng)計量，求P11,

18、i諂3,4,5.解：i R 0,1 ,其分布密度函數(shù)為f x0 x 1其它10其分布函數(shù)為F x的密度函數(shù)為5!gi y11512dy121211220y1嚴(yán)2 11 20y3：5y4dy33.設(shè)母體的密度函數(shù)為f x為5的取自此母體的子樣的次序統(tǒng)計量解：r.v.的分布函數(shù)為Fg y2,y41080y5!y1!11!2 2 22 y4 y42y42y2y 3dy2dyy dy2y22的分布密度函數(shù)為:410 y4g Y4y,Y4 dy41080y5 1 y2 :3x2,00,其它y45為容量2y4.y4 1080與試證:相互獨立.的聯(lián)合密23y223y4y2y41-53y42y4y4yY42

19、dy4113y 1 y dy41080y5 13 33.3y4 dy418y2 1 y3 .112y41034的分布密度函數(shù)為 f4 z5!3 3z3!3z260z11 1為求和4的聯(lián)合密度.令y因而y4y3yz變換的雅可比行列yy2和4的聯(lián)合密度為f552y,z 1080 y z z=18 y5 1 y260z11所以34.設(shè)2是取自具有指數(shù)分布母體的子樣，其密度函數(shù)為Xe ,x0, x35.2為次序統(tǒng)計量，求1與1 , 2的聯(lián)合分布密度函數(shù)為令 y1X1y2此變換的雅可比行列式g y1, y2設(shè)母體的分布函數(shù)F2的聯(lián)合密度函數(shù).f X1,X22eX1 X2X1X2X1X2所以2ey1 y2

20、Y1x是連續(xù)型的，則x1y1 X2y1y2的聯(lián)合分布密度為2ey2y1y2n,為取自此母體的子樣的次序統(tǒng)計,2與 4是相互獨立的.4i F i , 試證:(1)12n，且i是來自均勻分布 R0,1母體的次序統(tǒng)計量ii n 1 i E i,Din 1n 12n,12i na1 1a1a1 1a2(3) i和j的協(xié)方差矩陣為n2n2，其中i a1 1a2a2 1a2a1 , a2n 1nn2n2證：(1)因為是連續(xù)型r,v,分布函數(shù)為F x則F服從均勻分布R0,1.又因為 (b是取自母體的子樣的次序統(tǒng)計量.F x單調(diào)下降.所以有F，從而得出j是取自均勻分布母體的子樣的次序n統(tǒng)計量，i 1,2, n

21、 .i的密度函數(shù)為n! i ixi 1 ! n i !xni0x1.n!dxn!i! n i !E 2n!1ixzE ii1! nXi ! 0D i E i2E i2in（3）對任意的i, j0ij n.1 彳n ii i1 x dxn 11n2 * “ 2i 1iin 1 i1 n 2n 1n1 2 n 2i和j的聯(lián)合密度函數(shù)為f Xi ,Xj因而i 1 !j i1! nj !1 1E i .i j 0 0n!XiXjf Xi,i 1! j in!1 !nj !i 1 ! j in!1 !nj !i 1 ! j in!1 !nj !(ji 1 ! ji 1!nj !n!1yj00101乙ij

22、!EXjiXiXjXi1 Xj0 xixj 1.covE i j E iEdx dxjiYiYjyjYiYjdyidyjYjYiYjZii 1 !i!YiYiYjYjYjj 1 1Yj JdYj1dZiYjJ JYji Ja2.ijJdYjii令E i2所以i, j的方差矩陣為a-i1 a1n 2a- 1 a2n2a1 1 a2n2a2 1 a2n236.設(shè)母體 N 0,1 ,從此母體獲得一組子樣觀測值X1=O,x 2=0.2x30.25,x40.3, x50.1, X62,X70.15, X81,X90.7, X101.i j 1 n 1n 2 ja1 1a22n 2 n 1n 2k 12k

23、 1! F(2)計算X0.15(即6 )處的E F6 ,D F6 ；(3)計算F6在X0.15處的分布函數(shù)值0X10.11X0.7解：(1)Fn X0.91X21x 2用上題的結(jié)論：EF 66D F665511111224210! 5X14 X0 x 1F106的概率密度函數(shù)為g x5!4!0其它(1)求子樣經(jīng)驗分布函數(shù)Fn X其分布函數(shù)為G x1 u5 1 u 4du.在 x 0.15值G 0.15 0 5!4!0.00138.37.設(shè)母體服從正態(tài)分布Nk 1是容量n 2k 1的子樣的中位數(shù) 試證:2k1k ,廠證：k1的密度函數(shù)為gXk!k!Fx 1 Fx fxk 1的密度函數(shù)關(guān)于 x k

24、1是對稱的，且Ek 1則雅可比行列式為 j于是：g yk!k!k1 F2k 1 !k!k!ky y.為N 0,1的分布函數(shù)，的密度函數(shù)為N 0,1的密度函數(shù).y ,所以2L1 k!k!關(guān)于0對稱,因而1的分布密度函數(shù) g x關(guān)于是對稱的，從而得出38.設(shè)0,0,1,1,1 min2 max 1,2 ,試求:(1) 2 1的分布；(2) P 2令丫=2-12 ,1exp先求Y的概率密度函數(shù)x2 dx2e211 22y_4 12 121 2可見2 ,1expp max 1, 22 expexpY的密度函數(shù)為z2410,0,2 1z 0其它xy2一dx41dxdyy2 dxdy0 01222 110

25、y2Tu2e 2dudyTduTdudyn!du dy2nn!2n2n 1dy2nn!2n 2n 11nn!2n 2n 11nn!2n 2n 1aretg3所以P 202n.12n(T n2ny2t-1 aretg.121e 2 dydt.(tn!)X39.設(shè)母體服從指數(shù)分布，其分布函數(shù)為 F X1 e , x0,其它其中,0, 12n是子樣的次序統(tǒng)計量，若令ii,i ni 1 iii 1 ,i 1, ,n其中 u=o.試證：(1)1,2, n相互獨立；(2)1, n的聯(lián)合密度函數(shù)和i的邊際密度函數(shù).的聯(lián)合密度為X1, X2,Xnnn!i 1xi IXiXn通過變換1,2,n的聯(lián)合密度，其雅可

26、比行列式所以的聯(lián)合密度為：fn U1,U2, ,UnYeuin!eui再通過變換Yi1 UiU| 1,Yn的聯(lián)合密度.U2YnUn I在此變換下所以可見UiYiY1, Y2,Y1, Y2,nY2n 1Yn 12Yi,Yn,Yn40.設(shè)總體Y1Y11 Ui的聯(lián)合密度為fU1,U2,UnY1, Y2,YnUi 1U|Y1, Y2 , ,Yn是相互獨立的變量，yi的邊際密度為樣本容量n應(yīng)取多大?0.1 n0.250.1i Yi2),假如要以0.9606的概率保證偏差0.9606,即0.25n0.98032.06 nYin!,Yie yi0.1、n.0.25106.0,Yi0.0.1，試求當(dāng)0.960

27、62 = 0.25 時,41.設(shè)總體X服從正態(tài)分布 N ( 72,100 ),為使樣本均值大于70的概率不小于 少應(yīng)取多少？90% ,則樣本容量 n至7070 7210匚P X 72100.911 155552查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,S22設(shè)在總體1.6641.6641.29 n 41.6025,中抽取一個容量為16取 n=42。的樣本，這里為未知，求1 S2n 11.6641 S22151.664n 1 S2224.96P n 1S224.961 s22查表知X0.05 1524.996，0.05,于是P S21.6641 0.050.951043.設(shè) X1,X2,-X10為 N (0, 0.32 )的一個樣本，求Xi21.4410 Xi21010服從自由度為10的2分布。102PXi21.44i 11044.設(shè)總體 X f (x)=Xi20.320, 20.32)(1) X的數(shù)學(xué)期望與方差;Xi20.321.440.3210160.1x 1其他,X1,X2,-,X 50為取自X的一個樣本，試求:(2) S2的數(shù)學(xué)期望；x xdx 02 D X E X22 2E X EX20.02 .1501 501 50XXiEXEXini 1n i 1n i 121 1DX,n 50Xin 2n1002 E(S )E-1 nn P X 0.02=1