第六章概率分布

1、第六章概率分布孫麗平 第一節(jié)概率的基本概念第二節(jié)正態(tài)分布第三節(jié)二項(xiàng)分布第四節(jié)抽樣分布第一節(jié)概率的基本概念一、什么是概率二、概率的基本性質(zhì)三、概率分布類型第一節(jié)概率的基本概念一、什么是概率（一）定義概率:隨機(jī)事件出現(xiàn)可能性大小的客觀指標(biāo)隨機(jī)事件：又叫隨機(jī)現(xiàn)象，指在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件。在心理與教育研究中，大部分現(xiàn)象屬于隨機(jī)事件我們隊(duì)將可能贏得今晚的這場(chǎng)比賽。今天下午下雨的機(jī)會(huì)有40。這個(gè)冬天的周末我很可能有個(gè)約會(huì)。如果我在教職員停車區(qū)停車，我可能會(huì)收到一張傳票。我有50比50的機(jī)會(huì)通過(guò)今天的化學(xué)考試。（二）概率分類1、先驗(yàn)概率（1）定義：隨機(jī)事件的概率按古典概率模型推算而得（2）

2、條件：實(shí)驗(yàn)的每一種可能結(jié)果是有限的（結(jié)果類別有多少種確定） 每一個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等（等可能性）（3）舉例：拋硬幣，抽撲克2、后驗(yàn)概率（1）定義：以隨機(jī)事件A在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的穩(wěn)定頻率值作為隨機(jī)事件A的概率估計(jì)值，這樣求得的概率稱為后驗(yàn)概率（2）特點(diǎn)： 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，計(jì)算出的概率估計(jì)值越趨近真實(shí)的概率值 當(dāng)進(jìn)行多次觀測(cè)時(shí)，按觀測(cè)結(jié)果計(jì)算的概率基本接近先驗(yàn)概率（3）舉例：一年中下雨天試驗(yàn)在相同條件下，對(duì)事物或現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察例如：擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)試驗(yàn)具有以下特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的在試驗(yàn)

3、結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果二、概率的基本性質(zhì)（一）概率的公理系統(tǒng)1、任何一個(gè)隨機(jī)事件A的概率都是非負(fù)的2、在一定條件下必然發(fā)生的必然事件的概率為13、在一定條件下必然不發(fā)生的事件，即不可能事件的概率為0注意：公理2、3的逆定理不成立（二）概率的加法定理加法定理：指兩個(gè)互不相容事件A、B之和的概率，等于兩個(gè)事件概率之和，寫(xiě)作P（A+B）=P(A)+P(B)互不相容事件：在一次實(shí)驗(yàn)或調(diào)查中，若事件A發(fā)生則事件B就不一定發(fā)生，否則二者為相容事件互不相容事件特點(diǎn)：無(wú)論互不相容事件有多少，其總和的概率永遠(yuǎn)不會(huì)大于1設(shè)某地有甲、乙兩種報(bào)紙，該地成年人中有20%讀甲報(bào)紙，16%讀乙報(bào)紙，8%兩種報(bào)

4、紙都讀。問(wèn)成年人中有百分之幾至少讀一種報(bào)紙。 （三）概率的乘法定理乘法定理：兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)出現(xiàn)的概率等于該兩事件概率的乘積獨(dú)立事件：一個(gè)事件的出現(xiàn)對(duì)另一個(gè)事件的出現(xiàn)不發(fā)生影響設(shè)有1000中產(chǎn)品，其中850件是正品，150件是次品，從中依次抽取2件，兩件都是次品的概率是多少？三、概率分布類型（一）什么叫概率分布概率分布：對(duì)隨機(jī)變量取值的概率分布情況用數(shù)學(xué)方法（函數(shù)）進(jìn)行描述（二）分類1、根據(jù)隨機(jī)變量是否具有連續(xù)性，分為離散分布和連續(xù)分布離散分布：離散隨機(jī)變量的概率分布，最常用的是二項(xiàng)分布連續(xù)分布：連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布，最常用的是正態(tài)分布2、根據(jù)分布函數(shù)的來(lái)源而劃分為經(jīng)驗(yàn)分布和理論分布經(jīng)驗(yàn)分布

5、：根據(jù)觀察或?qū)嶒?yàn)所獲得的數(shù)據(jù)而編制的次數(shù)分布或相對(duì)頻率分布。經(jīng)驗(yàn)分布往往是總體的一個(gè)樣本，它可對(duì)所研究的對(duì)象給以初步描述，并作為推論總體的依據(jù)理論分布（1）隨機(jī)變量概率分布的函數(shù)是數(shù)學(xué)模型 （2）按某種數(shù)學(xué)模型計(jì)算出的總體的次數(shù) 分布3、根據(jù)概率分布所描述的數(shù)據(jù)特征劃分為基本隨機(jī)變量分布與抽樣分布基本隨機(jī)變量分布：二項(xiàng)分布和正態(tài)分布抽樣分布：樣本統(tǒng)計(jì)量的理論分布。樣本統(tǒng)計(jì)量有：平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差、相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)、百分比率第二節(jié)正態(tài)分布一、正態(tài)分布及其特征（一）定義正態(tài)分布又叫常態(tài)分布，是連續(xù)隨機(jī)變量概率分布的一種，是在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與實(shí)際應(yīng)用中占有最重要地位的一種理論分布。（二）正態(tài)分布

6、曲線函數(shù)y = 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的頻數(shù)的頻數(shù) ,叫概率密度，即正態(tài)分布的縱坐叫概率密度，即正態(tài)分布的縱坐標(biāo)標(biāo) = 總體方差總體方差 =3.14159; e = 2.71828X = 隨機(jī)變量的取值隨機(jī)變量的取值 (- X ) = 總體均值總體均值如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為上述表達(dá)式，則稱的概率密度函數(shù)為上述表達(dá)式，則稱x服從服從正態(tài)分布，寫(xiě)為正態(tài)分布，寫(xiě)為f(x)不是概率密度函數(shù) y表示X 的所有取值 x 及其頻數(shù)y在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出f(x)的圖形，則對(duì)于任何實(shí)數(shù) x1 x2，P(x1 X x2)是該曲線下從x1 到 x2的面積xab（三）正態(tài)分布的特征5、方差相等、

7、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖6、均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖7、正態(tài)曲線下的概率規(guī)律 7、在正態(tài)分布曲線下，標(biāo)準(zhǔn)差與概率有一定的關(guān)系。在正態(tài)分布中，平均數(shù)上下各延伸一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，包括總面積的68.26%，意即正態(tài)分布中，從-1s到1s包括了68.26%的個(gè)案。正負(fù)1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間，包括了總面積的95%。正負(fù)2.58個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差包含總面積的99%28三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（一）概念1、一般的正態(tài)分布取決于均值和標(biāo)準(zhǔn)差 2、計(jì)算概率時(shí) ，每一個(gè)正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無(wú)窮多的3、若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，計(jì)算概率時(shí)只需要查一張表（二）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性（三）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

8、的編制與使用1、編制原則從Z=0開(kāi)始，逐漸變化Z分?jǐn)?shù)，計(jì)算從Z=0至某一定值之間的概率。因?yàn)檎龖B(tài)分布是對(duì)稱分布，且對(duì)稱軸為過(guò)=0，即Z=0點(diǎn)的縱線，故當(dāng)Z0時(shí)的相對(duì)應(yīng)的Z分?jǐn)?shù)下的概率值相等。正態(tài)分布表一般包括3欄：第一欄是Z分?jǐn)?shù)單位，一般標(biāo)為Z，在平均數(shù)這一點(diǎn)上Z=0，在平均數(shù)以上分?jǐn)?shù)為正值，在平均數(shù)以下分?jǐn)?shù)為負(fù)值。第二欄為密度函數(shù)或比率數(shù)值，即某一Z分?jǐn)?shù)點(diǎn)上的曲線縱坐標(biāo)的高度。第三欄為概率值（p），即不同Z分?jǐn)?shù)點(diǎn)與平均數(shù)之間的面積與總面積之比2、正態(tài)分布表的使用（1）依據(jù)Z分?jǐn)?shù)求概率（p）求某Z分?jǐn)?shù)值與平均數(shù)（Z=0）之間的概率。如求Z=1到平均數(shù)之間的概率求某Z分?jǐn)?shù)以上或以下的概率，如求Z

9、=1以上的概率是多少求兩個(gè)Z分?jǐn)?shù)之間的概率，如果Z分?jǐn)?shù)為同號(hào)則相減，如果為異號(hào)則相加（2）從概率（p）求Z分?jǐn)?shù)已知從平均數(shù)開(kāi)始的概率值求Z值。如已知平均數(shù)以上0.25的概率，求Z值已知位于正態(tài)分布兩端的概率值求該概率值分界點(diǎn)的Z值。如求上端0.01概率分界點(diǎn)的Z值若已知正態(tài)曲線下中央部分的概率，求Z分?jǐn)?shù)是多少。如求正態(tài)曲線中間部分0.95概率兩處分界點(diǎn)的Z值（3）已知概率或Z值，求概率密度函數(shù)四、次數(shù)分布是否為正態(tài)分布的檢驗(yàn)方法（一）卡方檢驗(yàn)（第十章）（二）偏度，峰度考察法1、皮爾遜偏態(tài)量數(shù)法正偏態(tài)中MMdMo，負(fù)偏態(tài)中MMd0,分布為正偏態(tài)，偏度0,比正態(tài)分布的峰度低闊，峰度0，比正態(tài)分布的

10、峰度高狹，峰度=0，正態(tài)分布（三）累加次數(shù)曲線法如果樣本的累加頻率曲線與正態(tài)分布概率曲線重合或基本重合，說(shuō)明樣本的分布呈正態(tài)（四）直方圖法（SPSS操作）如果直方圖符合鐘形則為正態(tài)分布（五）概率值法（一般是Q-Q作圖法）（SPSS操作）圖中點(diǎn)是否緊貼y=x這條直線，如果緊貼則服從正態(tài)分布（六）K-S檢驗(yàn)（SPSS操作）可以檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)樣本所來(lái)自的總體是否服從正態(tài)分布五、正態(tài)分布理論在測(cè)驗(yàn)中的應(yīng)用（一）化等級(jí)評(píng)定為測(cè)量數(shù)據(jù)下面表格是三位學(xué)生獲得的等級(jí)評(píng)定，請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)的水平更高一些？（二）測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的正態(tài)化 從理論上研究對(duì)象服從正態(tài)分布，但由于抽樣誤差或測(cè)試題目難度等偶然因素，實(shí)測(cè)分?jǐn)?shù)分布不是正態(tài)分布，這時(shí)

11、可采用一定的統(tǒng)計(jì)方法將非正態(tài)的原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成正態(tài)分?jǐn)?shù)通俗的講：沒(méi)轉(zhuǎn)化稱Z分?jǐn)?shù)前，以平均數(shù)為中心左右非常不對(duì)稱，轉(zhuǎn)化成Z分?jǐn)?shù)后，盡管還是不對(duì)稱，但是兩邊差異已經(jīng)大大減小。步驟（1）將次數(shù)分布表的各組中值轉(zhuǎn)化成Z分?jǐn)?shù) （2）將Z分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成T分?jǐn)?shù) T=10Z+50（三）確定題目難易度作用：比較不同難易度題目之間的難度相差多少原理：假設(shè)一個(gè)測(cè)驗(yàn)中不同難易題目的分布是正態(tài)的，即一個(gè)測(cè)驗(yàn)中通過(guò)率較大和較小的題目很少，而通過(guò)率居中的題目較多四、在能力分組或等級(jí)評(píng)定時(shí)確定人數(shù)假定能力是正態(tài)分布，這時(shí)若將能力分組，各組人數(shù)應(yīng)是多少？評(píng)定不同等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)應(yīng)是多少才能使分組或評(píng)定等級(jí)構(gòu)成等距的尺度？第三節(jié)二項(xiàng)分布一、二項(xiàng)試驗(yàn)比較上面案例，找到其相似點(diǎn)投擲一枚相同的硬幣5次，每次正面向上的概率為0.5某同學(xué)玩射擊氣球游戲，每次射擊擊破氣球的概率為0.7，現(xiàn)有氣球10個(gè)某籃球隊(duì)員罰球命中率為0.8，罰球6次包含了n個(gè)相同的試驗(yàn)每次試驗(yàn)相互獨(dú)立每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：“成功”或“失敗”每次出現(xiàn)“成功”的概率p相同，“失敗”的概率也相同試驗(yàn)“成功