義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容與闡釋

1、第二篇 標(biāo)準(zhǔn)的主要內(nèi)容與闡釋 第四章 內(nèi)容領(lǐng)域及其框架分析 第一節(jié)數(shù)與代數(shù) 數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中占有重要地位，有著重要的教育價(jià)值。與傳統(tǒng)的中小學(xué)數(shù)學(xué)的有關(guān)部分相比，標(biāo)準(zhǔn)中“數(shù)與代數(shù)”這一學(xué)習(xí)領(lǐng)域，無論從目標(biāo)、內(nèi)容、結(jié)構(gòu)還是教學(xué)活動等方面都有比較大的變化。理解九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中“數(shù)與代數(shù)”部分的教育價(jià)值、設(shè)計(jì)思路、內(nèi)容安排以及教學(xué)方法的特點(diǎn)等，對于有效地實(shí)施和貫徹標(biāo)準(zhǔn)是非常重要的。 長期以來，數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容在中小學(xué)數(shù)學(xué)中占有很大的比重，我們在這方面也積累了許多教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。但按照新的時(shí)代要求和新的教育理念來看，其中的問題也不少。例如，過分追求科學(xué)性和系統(tǒng)性，內(nèi)容龐雜甚至顯得繁

2、瑣臃腫；過分追求“形式化”，忽視與生活實(shí)際的聯(lián)系，課程中充斥著繁瑣的計(jì)算和推導(dǎo)，但是學(xué)生不理解問題的本質(zhì)，看不到數(shù)學(xué)的用處，體會不到數(shù)學(xué)的價(jià)值，更不會用學(xué)到的知識去解決問題；許多學(xué)生感到數(shù)學(xué)“枯燥無味”；失去對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心。 標(biāo)準(zhǔn)對“數(shù)與代數(shù)”部分的改革進(jìn)行了認(rèn)真的研究和思考，進(jìn)一步明確了改革的方向，特別表現(xiàn)在：重視對數(shù)的意義的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和符號感；淡化過分“形式化”和記憶的要求，重視在具體情境中去體驗(yàn)、理解有關(guān)知識；注重過程，提倡在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的自主活動，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探求模式的能力；注重應(yīng)用，加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)；提倡使用計(jì)算器，降低對運(yùn)算復(fù)雜性

3、和速度的要求，注重估算等。 一、“數(shù)與代數(shù)”的教育價(jià)值 “數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容主要包括數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)，它們都是研究數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確清晰地認(rèn)識、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界。這部分內(nèi)容的教育價(jià)值主要體現(xiàn)在以下幾個方面： (1) 能使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，認(rèn)識到數(shù)、符號是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要語言，方程、不等式與函數(shù)是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，從而認(rèn)識到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題和進(jìn)行交流的重要工具，從中感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值，初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會，去解決日常生活和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，培養(yǎng)初步的應(yīng)用能力。 (2)

4、 在“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)過程中，通過對現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的探索，數(shù)的概念的建立、擴(kuò)充以及數(shù)的運(yùn)算，公式的建立和推導(dǎo)，方程的建立和求解，函數(shù)關(guān)系的探究等活動，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高解決問題的能力和自信心，培養(yǎng)學(xué)生初步的創(chuàng)新意識和發(fā)現(xiàn)能力。 (3) 在“數(shù)與代數(shù)”中，不僅知識中存在著對立和統(tǒng)一 ( 例如，正數(shù)與負(fù)數(shù)、加法與減法、乘方與開方、常量與變量、精確與近似等 ) ，而且研究過程中也充滿了對立與統(tǒng)一 ( 例如，已知與未知、特殊與一般、具體與抽象、實(shí)踐與理論等 ) 。同時(shí)，在變量和函數(shù)的研究中還充滿著運(yùn)動、變化的思想，而且在“數(shù)與代數(shù)”的其他部分的研究中，從運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)來考

5、察，也能使認(rèn)識更加深刻。因此，這部分的學(xué)習(xí)，必將有助于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)，有利于學(xué)生用科學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界。 標(biāo)準(zhǔn)理念指導(dǎo)下的數(shù)與代數(shù)，將呈現(xiàn)給學(xué)生大量豐富的現(xiàn)實(shí)背景，并以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，關(guān)注知識的形成過程，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自信心，關(guān)注學(xué)生探究和運(yùn)用數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，將改變“數(shù)與代數(shù)”這部分內(nèi)容煩瑣乏味的狀況。 標(biāo)準(zhǔn)理念指導(dǎo)下的數(shù)與代數(shù)，將能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、估算意識以及把現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的能力，并逐漸形成理性的力量。字母表示的思想，深刻地揭示和指明了存在于一類問題中的共性和普遍性，把認(rèn)識和推理提到一個更高的水平。代數(shù)式、表格、圖像等多種表示手段，不僅為數(shù)學(xué)表示和交流

6、提供了有效的途徑，而且為解決問題提供了重要的工具。方程、不等式中反映的數(shù)學(xué)模型的思想和方法，將幫助人們更準(zhǔn)確、更清晰地認(rèn)識和描述現(xiàn)實(shí)世界，并解決有關(guān)的實(shí)際問題。 凡此種種，都將對培養(yǎng)學(xué)生良好的素質(zhì)、促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展具有重要的價(jià)值。 二、課程內(nèi)容加強(qiáng)的方面及其依據(jù) 與傳統(tǒng)的數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容相比，雖然標(biāo)準(zhǔn)的某些標(biāo)題從表面看來似乎沒有多大變化，但是，標(biāo)準(zhǔn)在“數(shù)與代數(shù)”各部分內(nèi)容的具體要求和處理方式上，有了許多實(shí)質(zhì)性的改變。究竟標(biāo)準(zhǔn)增加了哪些內(nèi)容？ 加強(qiáng)了哪些方面 ？ 減少了哪些要求？ 淡化了哪些方面 ？ 為什么要做這樣的改變 ？ 這些問題是我們領(lǐng)會標(biāo)準(zhǔn)、貫徹標(biāo)準(zhǔn)必須解決的。 1 強(qiáng)調(diào)通過實(shí)際情境使學(xué)

7、生體驗(yàn)、感受和理解數(shù)與代數(shù)的意義。 標(biāo)準(zhǔn)在總體目標(biāo)中提出，要讓學(xué)生“經(jīng)歷將一些實(shí)際問題抽象為數(shù)與代數(shù)問題的過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能，并能解決簡單的問題”，“經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 6 頁 ) 。 “經(jīng)歷”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程性目標(biāo)，是指“在特定的數(shù)學(xué)活動中，獲得一些初步的經(jīng)驗(yàn)”。讓學(xué)生經(jīng)歷就必須有一個實(shí)際的情境，使學(xué)生在實(shí)際情境中通過活動體會數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)。 “數(shù)與代數(shù)”的重要概念，例如數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等，都是從人們生活和生產(chǎn)的需要中產(chǎn)生和發(fā)展起來的。數(shù)與代數(shù)本身具有抽象性，但所反映的內(nèi)容又

8、是非?，F(xiàn)實(shí)的，與人們的生活、生產(chǎn)有著十分密切的聯(lián)系。數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)不僅要使學(xué)生掌握必要的知識和技能，而且要使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)、感受、理解這些知識的來源、現(xiàn)實(shí)背景和本質(zhì)，形成數(shù)感和符號感，認(rèn)識數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高提出問題、分析問題和解決問題的能力。因此，數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的，應(yīng)該通過實(shí)際情境使學(xué)生了解數(shù)與代數(shù)的意義，讓學(xué)生經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)的過程，在現(xiàn)實(shí)背景下感受和體驗(yàn)有關(guān)的知識。 在第一學(xué)段中，標(biāo)準(zhǔn)提出：“在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己身邊具體、有趣的事物，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動，感受數(shù)的意義，體會數(shù)用來表示和交流的作用，初步建

9、立數(shù)感” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 12 頁 ) 。 在第二學(xué)段中，標(biāo)準(zhǔn)提出：“教學(xué)時(shí)，應(yīng)通過解決實(shí)際問題進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，增進(jìn)學(xué)生對運(yùn)算意義的理解”；“應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的過程” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 20 頁 ) 。 在第三學(xué)段中，標(biāo)準(zhǔn)提出：“在教學(xué)中，應(yīng)注重讓學(xué)生在實(shí)際背景中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，注重使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型、估計(jì)、求解、驗(yàn)證解的正確性與合理性的過程，應(yīng)加強(qiáng)方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容的聯(lián)系，介紹有關(guān)代數(shù)內(nèi)容的幾何背 景” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 31 頁 ) 。 標(biāo)準(zhǔn)在各學(xué)段數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的具體目標(biāo)中更是十分強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，諸如“在具體情境中認(rèn)識”“

10、結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境感受”“通過具體問題認(rèn)識”“在解決具體問題的過程中體會”“能找出生活中的并進(jìn)行交流”等等提法在標(biāo)準(zhǔn)的敘述中隨處可見。 例如，對于“數(shù)的認(rèn)識”，標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段中提出這樣的要求：“結(jié)合現(xiàn)實(shí)素材感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì)”“能結(jié)合具體情境初步理解分?jǐn)?shù)的意義”“能運(yùn)用數(shù)表示日常生活中的一些事物，并進(jìn)行交流” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 12 頁 ) 。在第二學(xué)段又提出：“在熱悉的生活情境中了解負(fù)數(shù)的意義，會用負(fù)數(shù)表示一些日常生活中的問題”“結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì)”“進(jìn)一步體會數(shù)在日常生活中的作用，會運(yùn)用數(shù)表示事物，并能進(jìn)行交流” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 20 頁 ) 。 對于“數(shù)的運(yùn)算”，標(biāo)準(zhǔn)在第

11、一學(xué)段中提出這樣的要求：“結(jié)合具體情境，體會四則運(yùn)算的意義”“能結(jié)合具體情境進(jìn)行估算，并解釋估算的過程”“經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程”“能靈活運(yùn)用不同的方法解決生活中的簡單問題，并能對結(jié)果的合理性進(jìn)行判斷” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 13 頁 ) 。在第二學(xué)段又提出：“能結(jié)合現(xiàn)實(shí)素材理解運(yùn)算順序，并進(jìn)行簡單的整數(shù)四則混合運(yùn)算”“在具體運(yùn)算和解決簡單實(shí)際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關(guān)系”“在解決具體問題的過程中，能選擇合適的估算方法，養(yǎng)成估算的習(xí)慣” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 21 頁 ) 。 “數(shù)的運(yùn)算”非常重要，以致于占據(jù)子現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的絕大部分空間，因此有必要做進(jìn)一步的討論。要正確認(rèn)識計(jì)算在數(shù)學(xué)教育中

12、的作用。計(jì)算是幫助我們解決問題的工具，在具體的情境中才能真正認(rèn)識計(jì)算的作用。如果把計(jì)算放在整個數(shù)學(xué)體系之中，讓學(xué)生了解為什么要計(jì)算，選擇什么方法進(jìn)行計(jì)算，學(xué)生就會將計(jì)算作為解題的一個組成部分，把計(jì)算與實(shí)際問題情境聯(lián)系起來。有學(xué)者認(rèn)為，“因?yàn)橹钡浇鼇?，機(jī)器才能做一些運(yùn)算，所以很久以來一直有必要教會人們用一些緩慢的而又不可靠的紙筆方法進(jìn)行這些運(yùn)算。在這一過程中，我們一直 ( 并不聰明地 ) 將幾乎所有我們在教學(xué)上的努力和測試項(xiàng)目投入于這些運(yùn)算?！泵绹?nctml989 年學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中對計(jì)算問題有一段論述 ( 見下頁圖 ) ，我們從中可以得到一些啟示。 ( 格勞斯數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊上海：

13、 上海教育出版社， 1999) 如果按這種觀念認(rèn)識數(shù)學(xué) i 認(rèn)識計(jì)算在數(shù)學(xué)教育中的作用，就可以看到，首先應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生理解的是面對具體的情形，確定是否需要計(jì)算，然后再確定需要什么樣的計(jì)算方法?？谒?、筆算、計(jì)算器、計(jì)算機(jī)和估算都是供學(xué)生選擇的方式，都可以達(dá)到箅出結(jié)果的目的。 運(yùn)算概念的建立，需要時(shí)間充分和情境豐富的過程。在學(xué)生獲得豐富經(jīng)驗(yàn)后，抽象的運(yùn)算式才對他們有意義。 如，減法意味著什么？人們可能會回答，就是“取走”的意思。 乘法是什么？回答很可能會是“重復(fù)的加法”，因?yàn)檫@是大部分小學(xué)教科書中給出的定義。類似地，除法的意思是分為相等的部分，或重復(fù)的減法，求冪的運(yùn)算意味著重復(fù)的乘法。 這些定義能夠很

14、好地運(yùn)用于整數(shù)，但是它們不適用于分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)。 “取走”并不能解釋為什么 6 比 4 要高 10 ；“重復(fù)的加法”并不能很好地解釋為什么用 9 25 12 417( 或 ) 去計(jì)算長方形房間的面積；分為相等的部分，或重復(fù)的減法也不能很好地解釋為什么用除法去確定一個用 11 35 秒跑完 100 米 的賽跑者的速度。類似地，重復(fù)的乘法不能解釋為什么算式 5001 06 2.5 給出了本金為 500 元、以每年 6 %的利率、在兩年半的時(shí)間里本息的情況。 因此，重要的是，利用情境、操作工具、圖片、圖表、符號等，探索小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)等之間的關(guān)系，使學(xué)生理解運(yùn)算的意義，這個

15、過程不是短時(shí)間可以奏效的。計(jì)算器的無處不在，已不再需要學(xué)生完全運(yùn)用紙和筆對問題進(jìn)行解答，但是一些基本的聯(lián)系仍然需要學(xué)生很好地理解。如減法和比較相聯(lián)系、乘法和面積 ( 或體積 ) 相聯(lián)系、除法和變化率相聯(lián)系、冪運(yùn)算和增長相聯(lián)系等。 對于“式與方程”，標(biāo)準(zhǔn)在第二學(xué)段中提出這樣的要求：“在具體情境中會用字母表示數(shù)”“會用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 21 頁 ) 。 在第三學(xué)段中，對于“數(shù)與式”，標(biāo)準(zhǔn)提出這樣的要求：“在現(xiàn)實(shí)情境中進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義”“能分析簡單問題的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示”“能解釋一些簡單代數(shù)式的實(shí)際背景或幾何意義” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 32 頁 ) 。 比如，在

16、某地，人們發(fā)現(xiàn)某種蟋蟀叫的次數(shù)與溫度之間有如下的近似關(guān)系：記錄蟋蟀每分叫的次數(shù)，用這個次數(shù)除以 7 ，然后再加上 3 ，就得到當(dāng)時(shí)的溫度。溫度 ( ) 與蟋蟀每分叫的次數(shù)之間的關(guān)系是： 溫度蟋蟀每分叫的次數(shù) 7+3 。 試用字母表示這一關(guān)系 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 35 頁 ) 。 如果用 a 表示蟋蟀每分叫的次數(shù)，用 t 表示溫度，則 t a 7+3 ，或 。當(dāng)把這個表達(dá)式與“溫度蟋蟀每分叫的次數(shù) 7+ 3 ” 對比時(shí)，學(xué)生就會很好地理解字母所表示的含義。 又比如，本書前面曾提到的問題 ( 參見本書第 136 頁 ) ： 6p 可以 表示什么？當(dāng)把字母表達(dá)式與實(shí)際背景聯(lián)系起來時(shí)，學(xué)生可以有多種 解釋。

17、對于“方程與不等式”，標(biāo)準(zhǔn)提出這樣的要求：“能夠根據(jù)具 體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個有效 的數(shù)學(xué)模型”“經(jīng)歷用觀察、畫圖或計(jì)算器等手段估計(jì)方程解的過程”“能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理”“能夠根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質(zhì)”“能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 33 頁 ) 。 對于“函數(shù)”，標(biāo)準(zhǔn)提出這樣的要求：“探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”“通過簡單實(shí)例，了解常量、變量的意義”“能結(jié)合實(shí)例，了解函數(shù)的概念和三種表示方法，能舉出函數(shù)的實(shí)例”“能結(jié)合圖象

18、對簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析”“能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫某些實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系”“結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，嘗試對變量的變化規(guī)律進(jìn)行初步預(yù)測”“結(jié)合具體情境體會一次函數(shù)的意義”“能用一次函數(shù)解決實(shí)際問題”“結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義”“能用反比例函數(shù)解決某些實(shí)際問題”“通過對實(shí)際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會二次函數(shù)的意義” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 33 34 頁 ) 。 如，溫度的變化是人們經(jīng)常談?wù)摰脑掝}。為了能夠更直觀地了解溫度的變化情況，人們經(jīng)常把溫度與時(shí)間的關(guān)系用曲線表示出來。請你根據(jù)下圖，與你的同伴談?wù)撘幌乱惶熘畠?nèi)溫度變化的情況。 (1) 上午 9 時(shí)的溫度是多少？12

19、 時(shí)呢？(2) 這一天的最高溫度大約是多少？ 是在幾時(shí)達(dá)到的？ 最低溫度 呢？(3) 這一天的溫差是多少？ 從最低溫度到最高溫度經(jīng)過了多長時(shí) 間 ？ (4) 在什么時(shí)間范圍內(nèi)溫度升高 ？ 在什么時(shí)間范圍內(nèi)溫度下降 ？ (5) 圖中的點(diǎn) a 表示什么？點(diǎn) b 呢？這一問題選用了學(xué)生熟悉的實(shí)際生活背景，利用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生逐步獲得圖象所傳達(dá)的信息，逐步熟悉圖象語言。圖象對于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義，圖象表示以其直觀性有著其他表示方式所不能替代的作用，它是“看見”相應(yīng)的關(guān)系和變化情況的途徑之一。 以上所列舉的標(biāo)準(zhǔn)中對于數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的具體目標(biāo)，既是對有關(guān)內(nèi)容的要求，也反映了學(xué)習(xí)有關(guān)內(nèi)容

20、的過程。 按照標(biāo)準(zhǔn)的這些要求，在實(shí)施和貫徹標(biāo)準(zhǔn)的過程中，應(yīng)該充分認(rèn)識通過現(xiàn)實(shí)情境來理解有關(guān)概念的意義，提供切合學(xué)生實(shí)際的問題情境。在標(biāo)準(zhǔn)中，每一學(xué)段都提供了相當(dāng)多的“案例”，“數(shù)與代數(shù)”的案例可以說多半是關(guān)于這方面的。如第一學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”總共 8 個案例，其中 6 個案例 ( 例 2 例 7 ，標(biāo)準(zhǔn)第 13-14 頁 ) 是說明上述要求的，第二學(xué)段中的例 1- 例 4 、例 6 和例 8( 標(biāo)準(zhǔn)第 22-23 頁 ) ，第三學(xué)段中的例 1 、例 3 一例 5 和例 8 一例 10( 標(biāo)準(zhǔn)第 35-36 頁 ) 也都是反映這些要求的。通過這些案例，我們可以更好地領(lǐng)會和貫徹這些要求。 2 增強(qiáng)應(yīng)

21、用意識，滲透數(shù)學(xué)建模思想。 對于新課程來說，最重要的是使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)。在這個意義下，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用被證明是非常成功的。 眾所周知，數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，這是數(shù)學(xué)的基本特征之一。生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，為數(shù)學(xué)的應(yīng)用提供丁廣闊的前景。應(yīng)用數(shù)學(xué)的地位日益上升，數(shù)學(xué)建模成了數(shù)學(xué)和科學(xué)工作者面臨的重大課題。 100 年前，就有許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家提出了“注重應(yīng)用”的口號，并提出了許多具體的建議。 20 世紀(jì) 80 年代，美國提出了“問題解決” (problem solving) 的口號，并為各國數(shù)學(xué)教育界所普遍接受。在這樣的背景下，相對于大量的數(shù)學(xué)計(jì)算和推理，相對于數(shù)學(xué)知識和技能的積累，數(shù)學(xué)的

22、應(yīng)用或者說數(shù)學(xué)建模在學(xué)校教育中的作用顯得越來越重要了。 那么，什么是數(shù)學(xué)模型呢？按照徐利治先生在 ( 數(shù)學(xué)方法論選講 ) 一書中的提法，可以做這樣的解釋：所謂數(shù)學(xué)模型，是指針對或參照某種事物的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 徐利治先生在該書中還對數(shù)學(xué)模型作了廣義解釋：凡一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種方程 ( 代數(shù)方程、函數(shù)方程、微分方程、差分方程、積分方程 ) 以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等都可稱之為數(shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)建模的過程，大致可用如下框圖來說明： “數(shù)與代數(shù)”的一些重要課題 ( 如方程、不等式、函數(shù)等 ) ，都是刻畫現(xiàn)實(shí)

23、世界的數(shù)學(xué)模型，方程 ( 或不等式 ) 是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系 ( 相等或大小 ) 的數(shù)學(xué)模型，函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，一次函數(shù)反映了均勻 ( 等速、線性 ) 變化的規(guī)律，二次函數(shù)則反映了等加速的變化規(guī)律?，F(xiàn)實(shí)世界的這些問題是常見的，并且對它們的研究具有典型的意義，這就決定了這些內(nèi)容的重要性。 在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)該結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容采用“問題情境建立模型解釋、應(yīng)用與拓展”的過程來進(jìn)行。在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生投入解決問題的實(shí)踐活動，自己去研究、探索，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，從而體會方程、不等式、函數(shù)等是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，初步領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想和方法，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和應(yīng)用

24、數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。 應(yīng)該看到，數(shù)與代數(shù)的一些內(nèi)容，在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中也占有重要的地位。但在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)中，重視的往往是這些數(shù)學(xué)內(nèi)容本身，而忽視了這些內(nèi)容所反映的重要的數(shù)學(xué)思想和教育價(jià)值。就拿方程來說，在傳統(tǒng)的教學(xué)中，注重的是有關(guān)的概念和技能，如方程的等價(jià)性、方程解的討論、方程的解法等等。盡管有相當(dāng)一部分內(nèi)容講“列方程解應(yīng)用題”，而且歷來被看做是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，但在教學(xué)中，教師滿足于頭頭是道地給學(xué)生分析等量關(guān)系，機(jī)械地列出方程、解答問題；更有甚者，給學(xué)生把問題分類，并就每一類問題提供主要的等量關(guān)系和解題套路，什么行程問題、濃度問題、工程問題，行程問題又分成什么同向 ( 追及 ) 問題、相向

25、( 相遇 ) 問題、圓周運(yùn)動問題等等，不一而足。這樣的教學(xué)，沒有探索，沒有研究，也沒有挑戰(zhàn)性，有的只是被動的接受和機(jī)械的模仿、操練，使具有良好教育作用的課題變了味，學(xué)生體會不到方程是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，更沒有經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，應(yīng)用意識和實(shí)踐能力的培養(yǎng)也就成了一句空話。 我們應(yīng)該按照標(biāo)準(zhǔn)的要求，“能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型”“經(jīng)歷用觀察、畫圖或計(jì)算器等手段估計(jì)方程解的過程” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 33 頁 ) 。在教材編寫和教學(xué)活動中，千萬不要把各種應(yīng)用題的解法當(dāng)做現(xiàn)成的結(jié)論來教，而是應(yīng)盡可能給學(xué)生提供合適的問題，鼓勵學(xué)生積極參與解決問題的活動，自

26、己去探索、研究、尋求具體問題中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而列出方程，解決問題。在經(jīng)歷若干次這樣的活動后，使學(xué)生感受到方程與實(shí)際問題的聯(lián)系，體會到方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想和基本過程，提高解決問題的能力和自信心。 同樣的思想用于不等式和函數(shù)的研究，標(biāo)準(zhǔn)提出了類似的要求。例如，要求“能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題”“探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”“能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫某些實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系”“結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，嘗試對變量的變化規(guī)律進(jìn)行初步預(yù)測”以及要求能用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等解決簡單的實(shí)際問題。 除了教材

27、和教師提出合適的實(shí)際問題外，特別應(yīng)該鼓勵教師積極創(chuàng)造條件，組織學(xué)生深入社會調(diào)查、收集、提出生活或生產(chǎn)中的實(shí)際問題，并嘗試用所學(xué)的知識予以解決。 順便要說的是，在建立實(shí)際問題的數(shù)與代數(shù)模型時(shí)，字母 ( 表示數(shù) ) 符號是基本的數(shù)學(xué)語言。用 x 表示實(shí)際問題中的未知量，通過分析問題中已知量與未知量的相等 ( 或大小 ) 關(guān)系，“翻譯”成表示未知數(shù) x 和已知數(shù)之間相等 ( 或大小 ) 關(guān)系的方程 ( 或不等式 ) ，即得到刻畫實(shí)際問題的相等 ( 或大小 ) 關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。同樣，在研究一個變化過程的變化規(guī)律時(shí)，為了用數(shù)學(xué)來刻畫，我們用字母 x ， y 分別表示實(shí)際問題中的自變量和因變量，通過分析問

28、題中變量之間的關(guān)系，“翻譯”成表示變量 x 和 y 之間的關(guān)系式，即得到刻畫實(shí)際問題中變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。解決這些數(shù)學(xué)問題，實(shí)際上也就歸結(jié)為數(shù)與式的運(yùn)算以及等式 ( 不等式 ) 的變形，而通過具體問題的數(shù)學(xué)建?；顒?，又反過來促使學(xué)生數(shù)感和符號感的形成。由此我們看到，在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模是一條主線。當(dāng)然，我們并不提倡用過多的有關(guān)“數(shù)學(xué)建模”的術(shù)語，主要還是通過具體問題的提出和解決過程讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)建模的思想。 3 加強(qiáng)學(xué)生的自主活動，重視對數(shù)與代數(shù)規(guī)律和模式的探求。 當(dāng)代學(xué)習(xí)理論告訴我們，學(xué)習(xí)不再被看成是一種被動地吸收知識、通過反復(fù)練習(xí)強(qiáng)化儲存知識的過程，而是用學(xué)生原有的知識處理新的任

29、務(wù)，并構(gòu)建他們自己的意義的過程。 數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)，數(shù)與代數(shù)中有大量的規(guī)律、公式和算法。對于數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)來說，重要的是要讓學(xué)生學(xué)會探求模式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而不是死記結(jié)論，死套公式和法則。只有經(jīng)過自己的探索，才能不僅“知其然”，而且知其“所以然”，才能真正獲得知識，懂得公式的意義，掌握公式的應(yīng)用。而且通過探求若干公式的活動，可以提高探索能力，也有利于掌握數(shù)與代數(shù)的運(yùn)算和規(guī)律。 標(biāo)準(zhǔn)在“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容目標(biāo)中，作了許多具體的規(guī)定。在第一、二學(xué)段都把“探索規(guī)律”作為內(nèi)容結(jié)構(gòu)的一個重要方面 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 11 頁 ) ，要求“探索并理解簡單的數(shù)量關(guān)系” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 12 頁 ) ，“探索和理解運(yùn)算律”

30、 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 20 頁 ) ，“探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 33 頁 ) 等等，井提供了不少案例，如標(biāo)準(zhǔn)第 14 頁例 8 ，第 22 頁例 8 例 10 ，第 35 頁例 4 、例 8 、例 9 、例 11 等。 在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)給學(xué)生留有充分的自主活動的時(shí)間和空間，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提供從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握數(shù)與代數(shù)的最基本的知識、技能和思想方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提高探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新能力。 4 重視計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的使用。 計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的逐步普及，對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深刻的影響。因此標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)，“把現(xiàn)代信息技

31、術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 2 頁 ) 。 一方面，計(jì)算器可以使學(xué)生從繁瑣的紙筆計(jì)算中解放出來，也為解決實(shí)際問題提供了有力的工具。另一方面，計(jì)算器和計(jì)算機(jī)對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式也有很大的影響。計(jì)算器可以幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律，理解數(shù)學(xué)概念和法則。 第二學(xué)段的具體目標(biāo)中規(guī)定，“能借助計(jì)算器進(jìn)行較復(fù)雜的運(yùn)算，解決簡單的實(shí)際問題，探索簡單的數(shù)學(xué)規(guī)律” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 21 頁 ) 。 在第三學(xué)段，初學(xué)有理數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，可以將紙筆計(jì)算 ( 或口算 ) 與計(jì)算器計(jì)算的結(jié)果相對照，對于數(shù)值 ( 絕對

32、值 ) 較復(fù)雜的運(yùn)算應(yīng)鼓勵學(xué)生盡量使用計(jì)算器。在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)時(shí)，要求“會用計(jì)算器求千方根和立方根”“能用有理數(shù)估計(jì)一個無理數(shù)的大致范圍”“在解決實(shí)際問題中，能用計(jì)算器進(jìn)行近似計(jì)算，并按問題的要求對結(jié)果取近似值” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 32 頁 ) 。 學(xué)生應(yīng)當(dāng)了解什么樣的問題需要用計(jì)算器，以及如何運(yùn)用計(jì)算器。在探索現(xiàn)實(shí)問題和需要進(jìn)行較復(fù)雜的計(jì)算時(shí)，就應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生使用計(jì)算器，慢慢養(yǎng)成像使用紙筆那樣使用計(jì)算器的習(xí)慣。 這里我們也看到，在加強(qiáng)使用計(jì)算器的要求的同時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)也提出了加強(qiáng)對近似計(jì)算和估算的要求。 標(biāo)準(zhǔn)第 35 頁的例 7 ：估計(jì) x3 9 0 的解?？梢园础傲⒎礁惫烙?jì)，還可以用嘗試改進(jìn)法求解，當(dāng)然也希

33、望使用計(jì)算器 ( 不用計(jì)算器理論上是可行的，但實(shí)際上卻十分麻煩 ) 。通過這個例子，還可把方法 ( 嘗試改進(jìn)法，使用計(jì)算器 ) 推廣到解更復(fù)雜的方程，如 x5 9 0 等。 此外，用計(jì)算器也可以幫助學(xué)生探索一些有趣的數(shù)和計(jì)算規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 三、課程內(nèi)容減弱的方面及其依據(jù) 1 降低運(yùn)算的復(fù)雜性、技巧性和熟練程度的要求。 由于計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的逐步普及，對中小學(xué)生數(shù)與式的運(yùn)算的要求應(yīng)該大大降低，從而使他們更多地投入到探索、推理和解決問題中。 從基礎(chǔ)教育的目標(biāo)和解決問題的要求來看，重要的已不再是計(jì)算的熟練程度和技巧，而是對運(yùn)算意義的理解。在碰到一個涉及實(shí)際的計(jì)算問題時(shí)，首先

34、要確定需要進(jìn)行什么運(yùn)算，依照什么樣的順序來進(jìn)行這些運(yùn)算，也就是通常說的列出算式，即這個問題的數(shù)學(xué)模型。而計(jì)算的問題完全可以讓計(jì)算器或計(jì)算機(jī)“代勞”。當(dāng)然，這里無意“砍掉”必要的計(jì)算。事實(shí)上，要理解運(yùn)算的意義，不可能離開必要的計(jì)算。同時(shí)，用計(jì)算器計(jì)算時(shí)必須加強(qiáng)估算，這也需要有一定的計(jì)算能力作保證。不過我們只是從上述目標(biāo)出發(fā)來提出對運(yùn)算的要求，降低對運(yùn)算復(fù)雜性、技巧和速度的要求是完全必要的。標(biāo)準(zhǔn)對運(yùn)算提出了合適的要求，降低了一些過分的要求。 第一，降低了筆算的復(fù)雜性與熟練程度。 九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱 ( 試驗(yàn)修訂版 ) (2000 年，以下簡稱大綱 ) 已經(jīng)降低了筆算的難度。對整數(shù)運(yùn)

35、算規(guī)定：“筆算加減法以三位數(shù)為主，一般不超過四位數(shù)；筆算乘法一個乘數(shù)不超過兩位數(shù)，另一個乘數(shù)一般不超過三位數(shù)；筆算除法除數(shù)不超過兩位數(shù)。四則混合運(yùn)算以兩步的為主，一般不超過三步?！?標(biāo)準(zhǔn)中取消了加減法“一般不超過四位數(shù)”、乘除法“一般不超過三位數(shù)”的提法，而明確整數(shù)筆算只要求“三位數(shù)乘兩位數(shù)”“三位數(shù)除以兩位數(shù)” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 21 頁 ) 。 在熟練程度上，大綱中有三個層次：熟練、比較熟練、會，這里的比較熟練和熟練在操作上很難區(qū)分開，實(shí)際上往往都按熟練的要求去做?，F(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)中對計(jì)算則提“熟練、正確和會”，“正確和會”與熟練相比沒有速度上的要求。 第二，減少了整數(shù)四則混合運(yùn)算的復(fù)雜性。 大綱對四則

36、混合運(yùn)算的要求是，“四則混合運(yùn)算以兩步為主，一般不超過三步”。標(biāo)準(zhǔn)對整數(shù) ( 或小數(shù)或分?jǐn)?shù) ) 的四則混合運(yùn)算要求“以兩步為主，不超過三步”。雖然只有微小的變化，但反映了這方面要求的降低。 第三，降低了數(shù)的整除內(nèi)容的要求。 數(shù)的整除的內(nèi)容在大綱中的要求是，“知道整除、約數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)等概念，了解它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。掌握能被 2 ， 5 ， 3 挺除的數(shù)的特征。會分解質(zhì)因數(shù) ( 一般不超過兩位數(shù) ) 。會求最大公約數(shù) ( 限兩個數(shù)的 ) 和最小公倍數(shù) ( 不要求綜合運(yùn)用以上概念 ) ”。在標(biāo)準(zhǔn)中這部分內(nèi)容的要求有所降低，明確在 1 100 的自然數(shù)中認(rèn)識有關(guān)的概念和性質(zhì)，并且這部分內(nèi)容不

37、作為一個獨(dú)立的領(lǐng)域出現(xiàn)，在教材的編排中可以將這部分內(nèi)容分散到數(shù)的認(rèn)識和計(jì)算中去。 第四，降低了有理數(shù)運(yùn)算的要求，有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算強(qiáng)調(diào)“以三步為主” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 31 頁 ) 。 第五，降低了式的運(yùn)算和變形的難度和技巧。標(biāo)準(zhǔn)降低了式的恒等變形的難度。例如， 多項(xiàng)式相乘僅指一次式相乘； 二次根式只是了解概念及其加、減、乘、除運(yùn)算法則，會用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算 ( 不要求分母有理化 ) ； 分式只要求簡單的加、減、乘、除運(yùn)算，并通過例子明確要求； 因式分解只要求提公因式法和公式法，并且直接用公式不超過兩次； 一元二次方程只要求解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程； 分式方程只

38、要求解可化為一元一次方程的分式方程，并且方程中的分式不超過兩個； 無理方程、可化為一元二次方程的分式方程、二元二次方程組和三元一次方程組沒有被列入標(biāo)準(zhǔn)之內(nèi)。 標(biāo)準(zhǔn)降低了對代數(shù)式的這些運(yùn)算和變形的復(fù)雜性和技巧的要求，主要是因?yàn)橛?jì)算器和計(jì)算機(jī)的影響，也是從義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程所要實(shí)現(xiàn)的最終目標(biāo)考慮的。絕大多數(shù)學(xué)生在今后的生活、學(xué)習(xí)和工作中并不需要進(jìn)行繁雜的代數(shù)運(yùn)算和變形，更不需要熱練的技能技巧，而要實(shí)現(xiàn)這些要求卻要花費(fèi)學(xué)生相當(dāng)多的時(shí)間和精力，甚至?xí)p害他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。 當(dāng)然，符號運(yùn)算對于數(shù)學(xué)來說又是必不可少的。就現(xiàn)狀而言，對運(yùn)算意義的理解、根據(jù)問題的需要選擇適當(dāng)?shù)乃惴ê瓦\(yùn)算工具、估算結(jié)果

39、的合理性等意識和能力的培養(yǎng)則應(yīng)當(dāng)?shù)玫郊訌?qiáng)。為此，一定數(shù)量的訓(xùn)練和練習(xí)是必要的，但一定要控制在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)。 2 減少公式，降低對記憶的要求。 傳統(tǒng)的代數(shù)課程，給人的印象是公式多。單就乘法公式來說，就有 6 7 個，如果考慮這些公式的變形，那就更多了。標(biāo)準(zhǔn)減少了公式的數(shù)量，降低了對公式記憶的要求。 就乘法公式而言，標(biāo)準(zhǔn)只要求兩個： (a b)(a b) a2 b2 ， (a b)2 a2 2ab b2。 應(yīng)該看到，這里公式的數(shù)量是少了，但對其理解的要求更高了。正如標(biāo)準(zhǔn)所說，要求“會推導(dǎo) ( 這兩個 ) 乘法公式，了解公式的幾何背景，并能進(jìn)行簡單計(jì)算” ( 標(biāo)準(zhǔn)第 32 頁 ) 。減少了公式的數(shù)量

40、，可以給學(xué)生留有充分的自主活動的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自己去探索，自己去發(fā)現(xiàn)，自己去體驗(yàn)，從而真正理解公式的來源、本質(zhì)和應(yīng)用。事實(shí)上，所謂乘法公式，無非是特殊的兩個多項(xiàng)式相乘的結(jié)果。由于公式是自己發(fā)現(xiàn)的，通過這個過程，他們自己可以體會到數(shù)與代數(shù)中公式的這一本質(zhì)，而且能感覺到公式的推導(dǎo)并不是一件難事，他們自己都能做到。也不需要花大力氣去記憶了，即使忘記了，自己也可以推導(dǎo)出來。而且如果真要碰到計(jì)算 (a b)3的話，也會用類似的方法計(jì)算或推導(dǎo)出新的公式。更何況現(xiàn)在信息十分靈通，要找個公式是十分輕而易舉的 ( 通過電腦或各種手冊、用表 ) 。因此最主要的還是對“公式”本身的意義和作用的理解，體會公式發(fā)現(xiàn)

41、或推導(dǎo)的過程，懂得怎么應(yīng)用公式，而不在于公式的多少。 3 降低了對一些概念過分“形式化”的要求。 正如前面所說，標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)通過實(shí)際情境使學(xué)生體驗(yàn)、感受和理解數(shù)與代數(shù)的意義。對于數(shù)或代數(shù)的許多重要概念，都要求在現(xiàn)實(shí)情境中去理解，恢復(fù)了數(shù)學(xué)“來源于現(xiàn)實(shí)，又扎根于現(xiàn)實(shí)”的本來面目，淡化了傳統(tǒng)代數(shù)課程中過分“形式化”的要求，改變了“死記硬背” “機(jī)械記憶”的做法，使學(xué)生真正理解數(shù)與代數(shù)的意義和本質(zhì)，有利于在日常生活和實(shí)際情境中應(yīng)用有關(guān)的知識。同時(shí)，這樣做，密切聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再陷于“從概念到概念、從公式到計(jì)算”的枯燥無味的狀態(tài)，也有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)的主動性。

42、 這里，我們減少的是相對次要的材料，降低的是過高的要求。減少或降低，歸根結(jié)底是為了增強(qiáng)和提高，為了確保全體學(xué)生扎扎實(shí)實(shí)地學(xué)好數(shù)與代數(shù)最基本、最有價(jià)值的主干內(nèi)容，為了確保學(xué)生有充分的自主活動的時(shí)間和空間，從而提高他們的應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力，提高學(xué)習(xí)的興趣和自信心，最終使各方面得到和諧的發(fā)展。這也就是“有所為，有所不為”的辯證法。 四、對標(biāo)準(zhǔn)所涉及內(nèi)容的認(rèn)識和說明 1 數(shù)和運(yùn)算的意義。 技術(shù)的發(fā)展和信息社會的到來，使得人們面對越來越多的數(shù)字。每天的新聞離不開數(shù)字，每天的生活離不開數(shù)字，如降水概率、汽油價(jià)格的上漲、移動電話的費(fèi)用、汽車貸款的利息、中獎率、藥劑用量等。數(shù)字是不可避免的，沒有數(shù)字，人們就不

43、能很好地表達(dá)和理解世界上發(fā)生了什么。 對“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)，將幫助學(xué)生理解數(shù)字所表達(dá)的信息，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)字進(jìn)行表示、計(jì)算和交流的能力，發(fā)展學(xué)生對數(shù)的感受。 第一，理解數(shù)的意義，能用數(shù)來表達(dá)和交流信息。 標(biāo)準(zhǔn)在三個學(xué)段都指出要加強(qiáng)對數(shù)的意義的理解。 第一學(xué)段：能運(yùn)用數(shù)表示日常生活中的一些事物，并進(jìn)行交流 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 12 頁 ) 。 第二學(xué)段：進(jìn)一步體會數(shù)在日常生活中的作用，會運(yùn)用數(shù)表示事物，并能進(jìn)行交流 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 20 頁 ) 。 第三學(xué)段：理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，會比較有理數(shù)的大小 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 31 頁 ) 。 數(shù)具有表示的作用，數(shù)可以表示數(shù)量 ( 基數(shù) ) 、順序

44、( 序數(shù) ) ，可以用來測量、計(jì)算和命名。 如， 75 可以表示 75 個人， 75 路汽車， 75 號房間， 75 m 1 容量， 75 分郵票，距離某地 75 千米等。又如， ( 標(biāo)準(zhǔn)第 22 頁 ) 某學(xué)校為每個學(xué)生編號，設(shè)定末尾用 1 表示男生，用 2 表示女生； 9713321 表示“ 1997 年入學(xué)的一年級三班的 32 號同學(xué)，該同學(xué)是男生”，那么 9532012 表示的學(xué)生是哪一年入學(xué)的？ 幾年級幾班的？ 是男生還是女生 ？ 再如，用有理數(shù)表示贏球或輸球、溫度的零上或零下、方向的向東或向西等。 第二，對大數(shù)的感受。 標(biāo)準(zhǔn)在三個學(xué)段都指出要加強(qiáng)對大數(shù)的感受。 第一學(xué)段：結(jié)合現(xiàn)實(shí)素

45、材感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì) ( 標(biāo)準(zhǔn)第 12 頁 ) 。 第二學(xué)段：結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì) ( 標(biāo)準(zhǔn)第 20 頁 ) 。 第三學(xué)段：能對含有較大數(shù)字的信息作出合理的解釋和推斷 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 31 頁 ) 。 在認(rèn)識大數(shù)目時(shí)，要為學(xué)生提供豐富的現(xiàn)實(shí)背景，使學(xué)生在真實(shí)的情境中獲得感受和體驗(yàn)，讓學(xué)生說出比較大的數(shù)的情境。 如，估計(jì)一個操場大約能站多少人，一個劇院大約容納多少人；看一段足球賽的錄像，感受一個體育場有幾萬人，一萬人大約有多少；如果一個班 40 人，一所學(xué)校 20 個班，全校學(xué)生在一起做早操要多大的操場 ？ 一萬人大約是多少個班 ？ 多少所學(xué)校 ？ 這樣一些具體的、與學(xué)

46、生生活實(shí)際密切聯(lián)系的活動，可以使學(xué)生對數(shù)，特別是對較大的數(shù)形成一個鮮明的表象，并且再遇到相似的情境時(shí)，在頭腦中就會有一個具體的參照物。 又如，在一次水災(zāi)中，大約有 20 萬人的生活受到影響，災(zāi)情將持續(xù)一個月。請推斷：大約需要組織多少頂帳篷 ？ 多少噸糧食 ？( 標(biāo)準(zhǔn)第 35 頁 ) 假如平均一個家庭有 4 口人，那么 20 萬人需要 5 萬頂帳篷；假如一個人平均一天需要 0 5 千克 糧食，那么一天需要 10 萬千克糧食，也就是 100 噸糧食，一個月需要 3 000 噸糧食。 在教學(xué)中，結(jié)合對大數(shù)的感受，也可以讓學(xué)生對小數(shù)進(jìn)行感受。如，人體內(nèi)一種細(xì)胞的直徑為 1 微米，多少個這種細(xì)胞首尾連接

47、起來能達(dá)到 1 毫米 ？(1 微米等于百萬分之 一米 ) 數(shù)感主要是靠數(shù)學(xué) ( 也靠其他學(xué)科 ) 發(fā)展起來的，它的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過會做基本的算術(shù)運(yùn)算，數(shù)感還包括發(fā)展對數(shù)和量的把握和自信，愿意和有能力去解決各種不同情境下的有關(guān)數(shù)量問題。它不僅需要理解數(shù)的意義、數(shù)的系統(tǒng)，還需要理解數(shù)據(jù)是怎樣獲得的及用多種方式去表示數(shù)據(jù)。 數(shù)感是對數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種良好的直覺，它不是靠學(xué)習(xí)一章或一個單元就可以發(fā)展起來的，它是一個潛移默化的過程，需要用較長的時(shí)間逐步培養(yǎng)。學(xué)生數(shù)感的發(fā)展將貫穿于教學(xué)的全過程。 第三，估算。 標(biāo)準(zhǔn)在三個學(xué)段都指出要加強(qiáng)估算。估算可以發(fā)展學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識，并對數(shù)感的培養(yǎng)具有重要的意義。同時(shí)估算也

48、具有重要的實(shí)用價(jià)值，因?yàn)橛袝r(shí)我們只需要估算結(jié)果。 第一學(xué)段：能結(jié)合具體情境進(jìn)行估算，并解釋估算的過程 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 13 頁 ) 。 第二學(xué)段：在解決具體問題的過程中，能選擇合適的估算方法，養(yǎng)成估算的習(xí)慣 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 21 頁 ) 。 第三學(xué)段：能用有理數(shù)估計(jì)一個無理數(shù)的大致范圍 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 32 頁 ) 。 例如，估計(jì)一張報(bào)紙一個版面的字?jǐn)?shù)，可以將報(bào)紙的一個版面折成若干等份，通過一份的字?jǐn)?shù)來估計(jì)整個版面的字?jǐn)?shù)。 某公園的門票每張 8 元，某校組織 97 名學(xué)生去公園玩，帶 800 元錢夠不夠 ？ 可以先考慮 100 人的門票需要多少錢。 估測一?；ㄉ馁|(zhì)量，可以通過稱 50 ?；ㄉ馁|(zhì)量進(jìn)行估

49、測，也可以通過數(shù) 100 克 花生的粒數(shù)進(jìn)行估測。 第四，口算。 標(biāo)準(zhǔn)在第一學(xué)段和第二學(xué)段都提出要重視口算?？谒憔褪切乃?，它基于個人對數(shù)的基本性質(zhì)和算術(shù)運(yùn)算的理解。心算為個性化、多樣化地解決問題提供了機(jī)會。因此心算是“用你的腦子去算”，而不是“在你的腦子里算”。心算不是作為筆算的臺階，而是一種不同的訓(xùn)練，是課程中獨(dú)立的部分。 同時(shí)，口算具有很高的實(shí)用價(jià)值， 日常生活中經(jīng)常會用到口算。如，知道 620 的一半是 310 ，就可以利用這一點(diǎn)迅速算出 620 309 。 教材的開發(fā)和教學(xué)的設(shè)計(jì)都要給學(xué)生創(chuàng)造足夠的機(jī)會進(jìn)行心算，發(fā)展學(xué)生的心算能力。心算不僅有實(shí)踐意義，而且是數(shù)感發(fā)展過程中的一個重要部分

50、，心算可以發(fā)展高層次的數(shù)學(xué)思維，以及解決問題的能力。 第五，解釋結(jié)果的合理性。 第一學(xué)段：能靈活運(yùn)用不同的方法解決生活中的簡單問題，并能對結(jié)果的合理性進(jìn)行判斷 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 13 頁 ) 。 第三學(xué)段：注重使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型、估計(jì)、求解、驗(yàn)證解的正確性與合理性的過程 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 31 頁 ) 。 標(biāo)準(zhǔn)對計(jì)算的難度降低了要求，但是要求解釋計(jì)算結(jié)果的意義，驗(yàn)證計(jì)算在一定的精確度范圍內(nèi)是否正確。 如，甲住在離學(xué)校 17 千米的地方，乙住在離學(xué)校 8 千米 的地方，他們兩個的住地相距多遠(yuǎn) ？ 回答 17 8 25 或 17 8 9 對嗎？ 又如，你能在月歷中圈出一個豎列上相鄰的 3 個數(shù)

51、，使得它們的和是 40 嗎？ 如果設(shè)中間的那個數(shù)為 x ，則可得方程 (x 7) x (x 7) 40 ， 。這個結(jié)果符合實(shí)際嗎？ 在數(shù)及其運(yùn)算的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己身邊具體、有趣的事物，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動，感受數(shù)的意義，體會數(shù)用來表示和交流的作用，逐步建立數(shù)感；應(yīng)重視口算，加強(qiáng)估算，提倡算法多樣性；應(yīng)減少單純的技能性訓(xùn)練，避免繁雜計(jì)算和程式化地?cái)⑹觥八憷怼薄?2 探索事物的數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律。 標(biāo)準(zhǔn)在三個學(xué)段都指出要加強(qiáng)探索事物的數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律。 第一學(xué)段：發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的簡單規(guī)律。 例 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 14 頁 ) 在下列橫線上填上合適的圖形或數(shù)字，并說明理由：

52、 第二學(xué)段：探求給定事物中隱含的規(guī)律或變化趨勢。 例 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 23 頁 ) 聯(lián)歡會上，小明按照 3 個紅氣球、 2 個黃氣球、 1 個綠氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你知道第 16 個氣球是什么顏色嗎？( 參見本書第 131 頁 ) 第三學(xué)段：探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。 (1) 探索并表示規(guī)律，利用表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算或預(yù)測。 例 分別計(jì)算下列圖形的周長；當(dāng)梯形的個數(shù)是。時(shí)，用代數(shù)式表示圖形的周長。說明：學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)每增加一個梯形，圖形的周長增加 3 。在一般地表示出規(guī)律之后，學(xué)生可以計(jì)算或預(yù)測任何一個圖形的周長。用表格表示出來就是 梯形個數(shù) 1 2 3 4 周 長 5 8 11 1

53、4 3n 十 2 這樣，就可以方便地計(jì)算出當(dāng) n ： 100 時(shí)，圖形的周長是3 100+2 302 。 (2) 探索并表示規(guī)律，利用表達(dá)式進(jìn)行推理或判斷。 例 在下面的月歷中，你知道陰影部分的方框中 9 個數(shù)的和與方框中間的數(shù)有什么關(guān)系嗎？ 這個關(guān)系對任意一個這樣的方框都成立嗎？( 參見本書第 134 頁 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3 能結(jié)合圖象對簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析。 圖象將關(guān)系式和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何形式，因此，圖象是“看見”相應(yīng)的關(guān)系和

54、變化情況的途徑之一。圖象對于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義。 例 1 海水受日月的引力而產(chǎn)生潮汐現(xiàn)象，早晨海水上漲的現(xiàn)象叫做潮，黃昏上漲叫做汐，合稱潮汐。潮汐與人類的生活有密切的關(guān)系。圖是某港口從 0 時(shí)到 12 時(shí)的水深情況。 (1) 大約什么時(shí)間港口的水最深 ？ 深度約是多少？ (2) 大約什么時(shí)間港口的水最淺 ？ 深度約是多少？ (3) 在什么時(shí)間范圍內(nèi)，港口的水深在增加 ？ (4) 在什么時(shí)間范圍內(nèi)，港口的水深在減少 ？ (5)a ， b 兩點(diǎn)分別表示什么？(6) 描述這個港口從 0 時(shí)到 12 時(shí)的水深情況是怎樣變化的。 在教學(xué)中，可以選用學(xué)生熟悉的或感興趣的、廣泛聯(lián)系其他學(xué)科

55、內(nèi)容的實(shí)際背景，利用提問題的形式引導(dǎo)學(xué)生逐步獲得圖象所傳達(dá)的變量之間關(guān)系的信息，使學(xué)生逐步熟悉圖象語言。 例 2 ( 標(biāo)準(zhǔn)第 36 頁 ) 小明的父母出去散步，從家走了 20 分到一個離家 900 米 的報(bào)亭，母親隨即按原速反回。父親看了 10 分報(bào)紙后，用了 15 分返回家。下面的圖形中哪一個表示父親離家的時(shí)間與距離之間的關(guān)系？ 哪一個表示母親離家的時(shí)間與距離之間的關(guān)系？ 說明：圖象表示的是離家的時(shí)間與距離之間的關(guān)系，小明的母親離家 20 分即按原速反回，圖 (2) 正表示了這樣的時(shí)間與距離之間的關(guān)系。 小明的父親看了 10 分報(bào)紙后，用了 15 分返回家，即他在一段時(shí)間 (10 分 ) 內(nèi)，離家的距離保持不變，回家的速度變快 ( 用了 15 分 ) ，圖 (4) 正表示了這樣的時(shí)間與距離之間的關(guān)系。 圖 (1) 既不能體現(xiàn)小明的父親看了 10 分報(bào)紙 ( 圖上顯示的停留時(shí)間是 20 分 ) ，也不能體現(xiàn)母親隨即返回。圖 (3) 既不能體現(xiàn)小明的父親看了 10 分報(bào)紙，也不能體現(xiàn)小明的母親按