[人教A版數(shù)學選修2-3]1.2.1《排列(一)

1、第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理1.2.1 1.2.1 排列（一）排列（一） 第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理 在在1.1節(jié)的例節(jié)的例9中我們看到中我們看到,用分步乘用分步乘法計數(shù)原理解決這個問題時法計數(shù)原理解決這個問題時,因做了因做了一些重復性工作而顯得繁瑣一些重復性工作而顯得繁瑣,能否對能否對這一類計數(shù)問題給出一種簡捷的方這一類計數(shù)問題給出一種簡捷的方法呢法呢?第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理探究：探究：問題問題1：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學中選出名同學中選出2名參加一項活名參加一項活動，其中動，其中1名同學參加上午的活動，另名同學參加下名同學參加上午的活動，另名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法

2、？午的活動，有多少種不同的選法？問題問題2：從從1，2，3，4這這4個數(shù)中，每次取出個數(shù)中，每次取出3個排成個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？上面兩個問題有什么共同特征？可以用上面兩個問題有什么共同特征？可以用怎樣的數(shù)學模型來刻畫？怎樣的數(shù)學模型來刻畫？第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理探究：探究：問題問題1：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學中選出名同學中選出2名參加一項活名參加一項活動，其中動，其中1名同學參加上午的活動，另名同學參加下名同學參加上午的活動，另名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？午的活動，有多少種不同的選法？分析：分析：把題目

3、轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙3名同學中選名同學中選2名，名，按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法？順序排列，求一共有多少種不同的排法？ 第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理上午上午下午下午相應的排法相應的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：確定參加上午活動的同學即從第一步：確定參加上午活動的同學即從3 3名中任名中任 選選1 1名，有名，有3 3種選法種選法. .第二步：確定參加下午活動的同學，有第二步：確定參加下午活動的同學，有2 2種方法種方法根據(jù)分步計數(shù)原理：根據(jù)分步計數(shù)原理：3

4、32=6 2=6 即共即共6 6種方法。種方法。第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理把上面問題中被取的對象叫做把上面問題中被取的對象叫做元素元素,于是問于是問題就可以敘述為：題就可以敘述為： 從從3個不同的元素個不同的元素a,b,c中任取中任取2個，然后按照一定個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理問題問題2：從從1，2，3，4這這4個數(shù)中，每次取出個數(shù)中，每次取出3個排成個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？123444

5、3322444333111244431112224333111222 從從4個不同的元素個不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3個，然后按照一定的順個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？序排成一列，共有多少種不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可寫出所有的三位數(shù)：有此可寫出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，312，31

6、4，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理思考思考1 1：上述兩個事例都可歸結(jié)為排列問題，一上述兩個事例都可歸結(jié)為排列問題，一般地，排列是什么概念？般地，排列是什么概念？ 從從n n個不同元素中取出個不同元素中取出m(mn)個元素，按照一個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從定的順序排成一列，叫做從 n n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的一個排列個元素的一個排列. . 思考思考2 2：在同一個排列中是否有相同的元素？元素在同一個排列中是否有相同的元素？元素相同的兩個排列是否相同？兩個排列相同的充要相同的兩個排列是否

7、相同？兩個排列相同的充要條件是什么？條件是什么？兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同相同. .第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理基本概念基本概念1、排列：、排列：一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m (m n)個個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個個不同元素中取出不同元素中取出m個元素的一個排列。個元素的一個排列。說明：說明：1 1、元素不能重復。、元素不能重復。n n個中不能重復，個中不能重復，m m個中也不能重復。個中也不能重復。2 2、“按一定順序按一定順序”就是與位置有關，這是判斷

8、一個問題是就是與位置有關，這是判斷一個問題是否是排列問題的關鍵。否是排列問題的關鍵。3 3、兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完全相同，兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。而且元素的排列順序也完全相同。4 4、m mn n時的排列叫選排列，時的排列叫選排列，m mn n時的排列叫全排列。時的排列叫全排列。5 5、為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏，最好采用、為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏，最好采用“樹形圖樹形圖”。例例1 1、下列問題中哪些是排列問題？、下列問題中哪些是排列問題？（1 1）1010名學生中抽名學生中抽2 2名學生

9、開會名學生開會（2 2）1010名學生中選名學生中選2 2名做正、副組長名做正、副組長（3 3）從）從2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相乘中任取兩個數(shù)相乘（4 4）從）從2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相除中任取兩個數(shù)相除（5 5）以圓上的）以圓上的1010個點為端點作弦個點為端點作弦（6 6）以圓上的）以圓上的1010個點中的某一點為起點，作過另一個點的射線個點中的某一點為起點，作過另一個點的射線（7 7）有）有1010個車站，共需要多少種車票？個車站，共需要多少種車票？（8 8）有）有1010個車站，共需要多少種不同的票價？個車站，共需要多少種不同的

10、票價？第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理2、排列數(shù)：、排列數(shù)： 從從n n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m(mn)m(mn)個元素個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從的所有排列的個數(shù)，叫做從n n個不同的元素中個不同的元素中取出取出m m個元素的排列數(shù)。用符號個元素的排列數(shù)。用符號 表示。表示。mnA“排列排列”和和“排列數(shù)排列數(shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)有什么區(qū)別和聯(lián)系？系？排列數(shù)，而不表示具體的排列。所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)；mn“排列數(shù)”是指從 個不同元素中，任取個元素的mnA所以符號只表示nm“一個排列”是指：從個不同元素中，任取按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；個元素第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理233 2

11、6A 問題中是求從個不同元素中取出個元素的問題中是求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，記為排列數(shù)，記為 ,已經(jīng)算得已經(jīng)算得23A344 3 224A 問題問題2中是求從中是求從4個不同元素中取出個不同元素中取出3個元素的個元素的排列數(shù)，記為，已經(jīng)算出排列數(shù)，記為，已經(jīng)算出34A探究：探究：從從n n個不同元素中取出個不同元素中取出2 2個元素的排列個元素的排列數(shù)數(shù) 是多少？是多少？2nA呢呢？mnA呢呢？3nA 第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n種種(n-1)種種(n-2)種種(n-m+1)種種2(1)nAn n3(1)(2)nAn nn(1)(2)(1)mnAn nnnm(1)(1)

12、排列數(shù)公式（排列數(shù)公式（1 1）：）：)*,)(1() 2)(1(nmNnmmnnnnAmn當當m mn n時，時，123) 2)(1(nnnAnn正整數(shù)正整數(shù)1 1到到n n的連乘積，叫做的連乘積，叫做n n的階乘，用的階乘，用 表示。表示。! nn n個不同元素的全排列公式：個不同元素的全排列公式：! nAnn(2)(2)排列數(shù)公式（排列數(shù)公式（2 2）：）：)!(!mnnAmn說明：說明：1 1、排列數(shù)、排列數(shù)公式公式的第一個常用來計算，第二個常用來證明。的第一個常用來計算，第二個常用來證明。為了使當為了使當m mn n時上面的公式也成立，規(guī)定：時上面的公式也成立，規(guī)定：1! 0 2 2

13、、對于、對于 這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條件。件。nm特點：共有特點：共有m個因數(shù)相乘，最大的一個個因數(shù)相乘，最大的一個因數(shù)是因數(shù)是n n，各因數(shù)為連續(xù)正整數(shù)等，各因數(shù)為連續(xù)正整數(shù)等. .例例1 1、計算：、計算：（1 1）（2 2）（3 3）48A66A316A例例2 2、解方程：、解方程：232100 xxAA 例例3 3、求證：、求證：11mnmnmnmAAA例例5 5、求、求 的值的值. .1432nnnAA17 16 155 4mnA 例例4 4若，則m ，n 1714第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理325454AA1 1計算：（計算：（1）

14、12344444AAAA（2）課堂練習課堂練習2從從4種蔬菜品種中選出種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地塊土地上進行試驗，有上進行試驗，有種不同的種植方法？種不同的種植方法？4信號兵用信號兵用3種不同顏色的旗子各一面，每次打出種不同顏色的旗子各一面，每次打出3面，最多能面，最多能打出不同的信號有（打出不同的信號有（ ）D.27種 C.6種 種 B.3 種1 .A3483443455452435 AA348643從參加乒乓球團體比賽的從參加乒乓球團體比賽的5名運動員中選出名運動員中選出3名進行某場比賽，名進行某場比賽，并排定他們的出場順序，有并排定他們的出

15、場順序，有種不同的方法？種不同的方法？64123423434444342414AAAA24602423434A6034535AC612333A第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理 5. 5.（1 1）從）從5 5本不同的書中選本不同的書中選3 3本送給本送給3 3名同學，每人各名同學，每人各1 1本，共有多少種不同的本，共有多少種不同的送法？送法？ （2 2）從）從5 5種不同的書中買種不同的書中買3 3本送給本送給3 3名同名同學，每人各學，每人各1 1本，共有多少種不同的送法？本，共有多少種不同的送法？ 3560A=( (種種) )35125=( (種種) )第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理 排列問題，是

16、取出排列問題，是取出m個元素后，還要按一定個元素后，還要按一定的順序排成一列，取出同樣的的順序排成一列，取出同樣的m個元素，只要個元素，只要，就視為完成這件事的兩種不，就視為完成這件事的兩種不同的方法（兩個不同的排列）同的方法（兩個不同的排列） 由排列的定義可知，由排列的定義可知，也就是說與位置有關的問題才能歸結(jié)為排列問也就是說與位置有關的問題才能歸結(jié)為排列問題當元素較少時，可以根據(jù)排列的意義寫出題當元素較少時，可以根據(jù)排列的意義寫出所有的排列所有的排列 第第1章計數(shù)原理章計數(shù)原理 1.判斷一件事是否為排列關鍵有兩個要判斷一件事是否為排列關鍵有兩個要素，一是取出的元素要考慮順序，二是素，一是取出的元素要考慮順序，二是事件中沒有重復元素，否則就不能按排事件中沒有重復元素，否則就不能按排列原理求方法數(shù)列原理求方法數(shù). 2.排列與排列數(shù)是兩個不同的概念，前排列與排列數(shù)是兩個不同的概念，前者是指按照一定順序排成的一列元素，者是指按照一定順序排成