大學物理作業(yè)

1、5-9 5-9 若電荷均勻地分布在長為若電荷均勻地分布在長為L 的細棒上，求證：的細棒上，求證：（1 1）在棒的延長線上，且離棒中心為）在棒的延長線上，且離棒中心為r處的電場強度為：處的電場強度為：（2 2）在棒的垂直平分上，且離棒中心為）在棒的垂直平分上，且離棒中心為r r處的電場強度為：處的電場強度為：220124QErrL22014QErL證明：證明：（1 1）考慮棒的延長線上距棒中心為）考慮棒的延長線上距棒中心為r的的P點；點；取坐標如右圖所示；取坐標如右圖所示；在棒上在棒上x處取線元處取線元dx，線元線元dx的帶電量的帶電量dq為：為：QdqdxL若棒為無限長（即若棒為無限長（即L）

2、，試將結果與無限長均勻帶電直線），試將結果與無限長均勻帶電直線的電場強度相比較。的電場強度相比較。即，即，的大小的大小dE為：為：dEdE的方向為：的方向為： 沿沿x軸正向；軸正向；204()QdxdELrx應用電場強度的疊加原理，應用電場強度的疊加原理，得到總場強的大小得到總場強的大小E為：為：EdE22024()LLQdxLrx011422QLrLrL即，即，22014QErL總場強的方向為：總場強的方向為： 沿沿x軸正向。軸正向。dq在在P點的場強點的場強的大小的大小dE為：為：dE2014()dqdErx（2 2）考慮棒的垂直平分線上距棒中心為）考慮棒的垂直平分線上距棒中心為r的的B點

3、；點；在棒上在棒上x處取線元處取線元dx，線元，線元dx的帶的帶電量電量dq為：為：QdqdxL取坐標如右圖所示；取坐標如右圖所示；該該dq在在B點產生的場強點產生的場強dE的大小的大小dE為：為：22014dqdErx2204QdxdEL rx即，即，dE的方向：的方向： 如右圖所示；如右圖所示；將將dE分解為：分解為：sinxdEdEcosydEdE22sinxrx注意到：注意到：22cosrrx222204xQdxxdEL rxrx所以所以222204yQdxrdEL rxrx即，即，223 204()xQxdxdEL rx223 204()yQrdxdELrxxxEdE2223 202

4、4()LLQxdxLrx0yyEdE2223 2024()LLQrdxLrx220124QrLr積分得：積分得：xyEE iE j所以，所以，B點的電場強度為：點的電場強度為：220124QjrLr當當L時，注意到：時，注意到：QL220/1lim214LQLErrL02r結果與無限長帶電直線周圍的電場強度分布相同；結果與無限長帶電直線周圍的電場強度分布相同；這說明，只滿足這說明，只滿足221rL ，帶電長直細棒就可看作為無，帶電長直細棒就可看作為無限長帶電直線。限長帶電直線。 5-10 一半徑為R的半球殼，均勻地帶有電荷，電荷面密度為 ， 求球心處電場強度的大小。 dSdqdR sin22將

5、半球殼分割為一組平行細圓環(huán)，任一個圓環(huán)所帶電荷元在點O激發(fā)的電場強度為解解ixxd41d23220 cosRx sinRr 由于平行細圓環(huán)在點O激發(fā)的電場強度方向相同，利用幾何關系統(tǒng)一積分變量，有ddRRRrxxdqdEcossin2sin2cos4141023023220積分得球心的電場強度為 20004cossin2dE或iidE200042cossinyz和和zx平面，立方體的一個頂點為坐標原點?，F將立方體置于電平面，立方體的一個頂點為坐標原點?，F將立方體置于電場強度為場強度為12()EEkx iE j的非均勻電場中，求立方體各表的非均勻電場中，求立方體各表面的電場強度通量。面的電場強度

6、通量。解：解：對立方體的各個頂點標上符號，對立方體的各個頂點標上符號，如右圖所示，如右圖所示，（1 1）對于）對于ABOC平面，平面，x = 012EE iE j2Sa i = =恒矢量恒矢量所以，所以，ABOCE S212() ()E iE ja i 21E a （2 2）對于）對于DFGH平面，平面，x = a12()EEka iE j= =恒矢量恒矢量2Sa i所以，所以，DFGHE S212() ()Eka iE ja i231E aka5-15 5-15 如圖所示，邊長為如圖所示，邊長為a 的立方體，其表面分別平行于的立方體，其表面分別平行于xy、（3 3）對于）對于BGHO平面，平

7、面，12()EEkx iE jdSdSk 所以，所以，00BGHSE dS（4 4）對于）對于AFDC平面（類似于平面（類似于BGHO平面），平面），所以，所以，0AFDCSE dS12()EEkx iE jdSdSk（5 5）對于）對于ABGF平面，平面，12()EEkx iE jdSdSj所以，所以，ABGFSE dS12() ()SEkx iE jdSj22E a（6 6）對于）對于CDHO平面（類似于平面（類似于ABGF平面），平面），12()EEkx iE jdSdSj ABGFSE dS12() ()SEkx iE jdSj 22E a 所以，所以，因此，整個立方體表面的電場強度通

8、量為：因此，整個立方體表面的電場強度通量為：ABOCDFGHBGHOAFDCABGFCDHO 223221122()00()E aE akaE aE a 3ka5-17 5-17 設半徑為設半徑為R的球體內，其電荷為對稱分布，電荷體密度的球體內，其電荷為對稱分布，電荷體密度 為為0kr解解: :k為一常數；試用高斯定理求電場強度為一常數；試用高斯定理求電場強度0rRrRE與與r的函數關系。（你能用電場疊加原理的函數關系。（你能用電場疊加原理求解這個問題嗎？）求解這個問題嗎？）電場分布也是球對稱的，同心球面電場分布也是球對稱的，同心球面由于電荷分布具有球對稱性，所以由于電荷分布具有球對稱性，所以

9、上各點電場強度的大小為常量；以同心球面為高斯面，則有：上各點電場強度的大小為常量；以同心球面為高斯面，則有：24SE dSEr當當0rR 時時, ,高斯面所包圍的電荷電量高斯面所包圍的電荷電量q為為: :211104rqkrr dr31104rkr dr4kr204rkrEe4204rkREer應用高斯定理，得：應用高斯定理，得：2404Erkr故：故：204kEr或，或，（0rR）當當 r R 時，時，高斯面所包圍的電荷電量高斯面所包圍的電荷電量q為為: :211104Rqkrr dr應用高斯定理，得：應用高斯定理，得：2404ErkR故：故：4204kREr或，或，（ r R ）31104

10、Rkr dr4kR5-20 5-20 一個內外半徑分別為一個內外半徑分別為R1和和R2的均勻帶電球殼，總電荷為的均勻帶電球殼，總電荷為Q1，球殼外同心罩一個半徑為，球殼外同心罩一個半徑為R3的均勻帶電球面，球面電荷為的均勻帶電球面，球面電荷為Q2，求電場分布。電場強度是否為離球心距離的連續(xù)函數？試分析。求電場分布。電場強度是否為離球心距離的連續(xù)函數？試分析。解：解： 如右圖所示，如右圖所示，球殼和球面將空間分為四個部分；球殼和球面將空間分為四個部分；（1 1）求球殼內部空間的場強）求球殼內部空間的場強E1由于電荷分布具有球對稱性，由于電荷分布具有球對稱性，所以電場的分布也具有球對稱性；所以電場

11、的分布也具有球對稱性；在球殼內部空間作一半徑為在球殼內部空間作一半徑為r 的球面為的球面為高斯面高斯面S1，如右圖所示；則，如右圖所示；則S1面上各點面上各點所以，所以，11SE dS 1()rR214Er高斯面高斯面S1內的電荷內的電荷q為：為：0q 所以，由高斯定理得到球殼內部空間所以，由高斯定理得到球殼內部空間10E 1()rR的電場強度的電場強度E1為：為：（2 2）求球殼內空間的場強）求球殼內空間的場強E2在球殼內空間作一半徑為在球殼內空間作一半徑為r的球面為高的球面為高斯面斯面S2，如右圖所示；，如右圖所示；類似（類似（1 1）的分析，得到：）的分析，得到：22SE dS 12()

12、RrR224Er高斯面高斯面S2內的電荷內的電荷q為：為：33113342134()() 3QqrRRR33113321()()Q rRRR由高斯定理，得到場強由高斯定理，得到場強E2為：為：331123320214()QrRERR r12()RrR（3 3）求球殼與球面間空間的場強）求球殼與球面間空間的場強E3在球殼與球面間作一半徑為在球殼與球面間作一半徑為r的球面為高的球面為高斯面斯面S3，如右圖所示；，如右圖所示；類似（類似（1 1）的分析，得到：）的分析，得到：33SE dS 23()RrR234Er高斯面高斯面S3內的電荷內的電荷q為：為：1qQ由高斯定理，得到場強由高斯定理，得到場

13、強E3為：為：132014QEr23()RrR（4 4）求球面外空間的場強）求球面外空間的場強E4在球殼與球面間作一半徑為在球殼與球面間作一半徑為r的球面為高斯面的球面為高斯面S4，如上圖所示；，如上圖所示；類似（類似（1 1）的分析，得到：）的分析，得到：44SE dS 3()Rr244Er高斯面高斯面S4內的電荷內的電荷q為：為：12qQQ由高斯定理，得到場強由高斯定理，得到場強E4為：為：1242014QQEr3()rR電場強度分布為：電場強度分布為：10E 1()rR331123320214()QrRERR r12()RrR132014QEr23()RrR1242014QQEr3()r

14、R電場強度的方向均沿矢徑方向。電場強度的方向均沿矢徑方向。各區(qū)域的電場強度分布如右圖所示。各區(qū)域的電場強度分布如右圖所示。在帶電球面的兩側，電場強度的在帶電球面的兩側，電場強度的左右極限不同，電場強度不連續(xù)，而左右極限不同，電場強度不連續(xù)，而在緊貼在緊貼r=R3 的帶電球面兩側，電場強的帶電球面兩側，電場強度的躍變量度的躍變量E為：為：3343|r Rr REEE22034QR0這一躍變是將帶電球面的厚度抽象為零的結果，且具有普遍這一躍變是將帶電球面的厚度抽象為零的結果，且具有普遍性。實際的帶電球面都是有一定厚度的球殼，球殼內外的電場強性。實際的帶電球面都是有一定厚度的球殼，球殼內外的電場強度

15、也是連續(xù)變化的，如本題中帶電球殼內外的電場度也是連續(xù)變化的，如本題中帶電球殼內外的電場E2 ，如果球殼，如果球殼的厚度變小，的厚度變小，E2的變化就變陡，最后當厚度趨向于零時，的變化就變陡，最后當厚度趨向于零時，E2的變的變化就變成為躍變?；妥兂蔀檐S變。場強度：場強度：（1 1） r R1 ；（2 2） R1 r R2 解：解： 由于電荷分布在無限長的同軸圓柱面上，電由于電荷分布在無限長的同軸圓柱面上，電場強度也一定呈對稱性分布，沿矢徑方向。場強度也一定呈對稱性分布，沿矢徑方向。（1 1）求）求 r R2），單位長度上的電荷為），單位長度上的電荷為；求離軸線為；求離軸線為r r處的電處的電（

16、2 2） 求求R1 r R2 的電場強度的電場強度qh作半徑為作半徑為r（ R1 r R2 ）、高為）、高為h的高斯面，的高斯面，如右圖所示，只有側面有電通量，如右圖所示，只有側面有電通量，所以，所以，SE dS 2E dSE dS側面底面22Erh這個高斯面內的電荷這個高斯面內的電荷q為：為：202Erhh應用高斯定理，得：應用高斯定理，得：所以，所以，202Er（ R1 r R2）、高為）、高為h的高斯的高斯面，如右圖所示，只有側面有電通量，面，如右圖所示，只有側面有電通量，所以，所以，SE dS 2E dSE dS側面底面32Erh這個高斯面內的電荷這個高斯面內的電荷q為：為：320Er

17、h應用高斯定理，得：應用高斯定理，得：所以，所以，30E （3 3）求）求r R2的電場強度的電場強度()qhh 0在帶電面附近，電場強度大小不連續(xù)，在帶電面附近，電場強度大小不連續(xù)，有一定的躍變；有一定的躍變；02Er02LrL0與題與題8-208-20分析討論的結果一致。分析討論的結果一致。（r R2）5-23 5-23 已知均勻帶電直線附近的電場強度近似為已知均勻帶電直線附近的電場強度近似為02rEer解解: :（1 1）求在）求在r = = r1 1和和r = = r2 2 兩點間的電勢差；兩點間的電勢差；其中其中為電荷線密度。為電荷線密度。（2 2）在點電荷的電場中，我們曾?。┰邳c電

18、荷的電場中，我們曾取r處間的電勢為零，求均勻處間的電勢為零，求均勻帶電直線附近的電勢能否這樣??？試說明。帶電直線附近的電勢能否這樣??？試說明。2112rrUE dr（1）由于電場力作功與路徑無關，所以取徑向為積分路徑，由于電場力作功與路徑無關，所以取徑向為積分路徑，則得：則得：（2）不能。不能。因為因為r 處的電勢與直線上的電勢相等。處的電勢與直線上的電勢相等。2102rrdrr2102rrredrr201ln2rr和和Q2 ；求（；求（1 1）各區(qū)域的電勢分布，并畫出分布曲線；（）各區(qū)域的電勢分布，并畫出分布曲線；（2 2）兩球）兩球面上的電勢差為多少？面上的電勢差為多少？解：解： （1 1

19、）由高斯定理可求得電場分布為：）由高斯定理可求得電場分布為：10E 12204rQEer123204rQQEer1rR12RrR2rR由電勢公式由電勢公式rVE dl，取積分路徑沿矢徑方向，就可，取積分路徑沿矢徑方向，就可求得各區(qū)域的電勢分布；求得各區(qū)域的電勢分布；5-27 5-27 兩個同心球面的半徑分別為兩個同心球面的半徑分別為R1和和R2 ，各自帶有電荷，各自帶有電荷Q1當當0rR1 時，有：時，有：12121123RRrRRVEdlEdlEdl12121122200044RRrRRQQQdrdrdrrr1120120211044QQQRRR12010244QQRR同理，當同理，當 R1

20、 rR2 時，有：時，有：22223RrRVEdlEdl22112220044RrRQQQdrdrrr11202021144QQQrRR1200244QQrR同理，當同理，當r R2 時，有：時，有：33rVEdl12204rQQdrr1204QQr（2 2）兩個球面間的電勢差）兩個球面間的電勢差21122RRVEdl211204RRQdrr1012114QRR5-28 5-28 一半徑為一半徑為R的無限長帶電細棒，其內部的電荷均勻分布，的無限長帶電細棒，其內部的電荷均勻分布，電荷體密度為電荷體密度為?，F取棒表面為零電勢，求空間電勢分布并畫出?，F取棒表面為零電勢，求空間電勢分布并畫出電勢分布曲線。電勢分布曲線。2012Erhr h 2qr h 解：解：由于無限長帶電細棒電荷是軸對稱分布的，由于無限長帶電細棒電荷是軸對稱分布的，所以其電場強度和電勢的分布也呈軸對稱。所以其電場強度和電勢的分布也呈軸對稱。如圖，作半徑為如圖，作半徑為r 、高為、高為h 的同軸圓柱面為的同軸圓柱面為高斯面則有高斯面則有: :2SE dSErh應用高斯定理，得：應用高斯定理，得：即，即，02rE（0 r R）當