《第1章+勾股定理》2013年單元測試卷

1、第1章 勾股定理2013年單元測試卷一、填空題1（3分）（2012秋富民縣校級月考）利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱為弦圖從圖中可以看到：大正方形面積=小正方形面積+四個直角三角形面積因而c2=+化簡后即為c2=2（3分）（2012秋南京期末）如圖，有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高2米，兩樹相距3米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了米3（3分）（2011黔南州）如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線l上，按順時針方向在l上轉(zhuǎn)動兩次，使它轉(zhuǎn)到ABC的位置若BC=1，AC=，則頂點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)A的位置時，點(diǎn)A兩次運(yùn)動所經(jīng)過的路程（計(jì)算結(jié)果不取近似值）

2、4（3分）已知：正方形的邊長為1（1）如圖（a），可以計(jì)算出正方形的對角線長為，求兩個并排成的矩形的對角線的長n個呢？（2）若把（c）（d）兩圖拼成如下“L”形，過C作直線交DE于A，交DF于B若DB=，求DA的長度為；5（3分）（2003寧夏）在傾斜角為30的山坡上種樹，要求相鄰兩棵樹間的水平距離為3米，那么，相鄰兩棵樹間的斜坡距離為米6（3分）（2004蕪湖）如圖，已知CD是RtABC的斜邊上的高，其中AD=9cm，BD=4cm，那么CD等于cm7（3分）（2014春沅陵縣校級期末）如圖所示，在RtABC中，B=90，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，DE=4cm，AC=10cm，則AB=二、

3、選擇題8（3分）（2012安徽模擬）五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖，其中正確的是（）ABCD9（3分）（2014春成都校級月考）ABC中，B=90，AB=7，BC=24，AC=25在ABC內(nèi)有一點(diǎn)P到各邊的距離相等，則這個距離為（）A2B3C4D510（3分）（2011嶧城區(qū)校級模擬）ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則ABC的周長為（）A42B32C42或32D37或3311（3分）（2012秋沙河市期末）已知一直角三角形的木版，三邊的平方和為1800cm2，則斜邊長為（）A80cmB30cmC90cmD120cm12（3分

4、）直角三角形一直角邊長為11，另兩邊均為自然數(shù)，則其周長為（）A121B120C132D以上都不對13（3分）（2010江寧區(qū)二模）一棵大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30夾角，這棵大樹在折斷前的高度為（）A10米B15米C25米D30米三、解答題14在ABC中，三條邊的長分別為a、b、c，a=n21，b=2n，c=n2+1（n1，且n為整數(shù)），這個三角形是直角三角形嗎？若是，哪個角是直角？15（2008黔東南州）為解決樓房之間的擋光問題，某地區(qū)規(guī)定：兩幢樓房間的距離至少為40米，中午12時不能擋光如圖，某舊樓的一樓窗臺高1米，要在此樓正南方40米處再建一幢新樓已知該

5、地區(qū)冬天中午12時陽光從正南方照射，并且光線與水平線的夾角最小為30，在不違反規(guī)定的情況下，請問新建樓房最高多少米？16如圖：A、B兩點(diǎn)與建筑物底部D在一直線上，從建筑物頂部C點(diǎn)測得A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30、60，且AB=20，求建筑物CD的高17如圖，海中有一小島A，在該島周圍10海里內(nèi)有暗礁，今有貨船由西向東航行，開始在A島南偏西45的B處，往東航行20海里后達(dá)到該島南偏西30的C處，之后繼續(xù)向東航行，你認(rèn)為貨船繼續(xù)向東航行會有觸礁的危險(xiǎn)嗎？計(jì)算后說明理由18（2004北碚區(qū)）如圖，點(diǎn)A是一個半徑為300米的圓形森林公園的中心，在森林公園附近有B、C兩個村莊，現(xiàn)要在B、C兩村莊之間修一條

6、長為1000米的筆直公路將兩村連通經(jīng)測得ABC=45，ACB=30，問此公路是否會穿過森林公園？請通過計(jì)算進(jìn)行說明第1章 勾股定理2013年單元測試卷參考答案與試題解析一、填空題1（3分）（2012秋富民縣校級月考）利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱為弦圖從圖中可以看到：大正方形面積=小正方形面積+四個直角三角形面積因而c2=4ab+（ba）2化簡后即為c2=a2+b2【考點(diǎn)】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】用大正方形的面積等于4個三角形的面積加上中間小正方形的面積，進(jìn)而證明問題即可【解答】解：由圖可知：S正方形=4ab+（ba）2=2ab+b2+a22ab=a2+b2

7、S正方形=c2，所以a2+b2=c2故答案為：4ab+（ba）2，a2+b2=c2【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的證明，利用圖形面積得出是解題關(guān)鍵2（3分）（2012秋南京期末）如圖，有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高2米，兩樹相距3米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了5米【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】應(yīng)用題【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹尖進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出【解答】解：兩棵樹的高度差為62=4m，間距為3m，根據(jù)勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離=5m故答案為：5【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)

8、用，解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實(shí)問題建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解3（3分）（2011黔南州）如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線l上，按順時針方向在l上轉(zhuǎn)動兩次，使它轉(zhuǎn)到ABC的位置若BC=1，AC=，則頂點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)A的位置時，點(diǎn)A兩次運(yùn)動所經(jīng)過的路程（計(jì)算結(jié)果不取近似值）【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題【分析】根據(jù)題意得到直角三角形在直線l上轉(zhuǎn)動兩次點(diǎn)A分別繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)120和繞C旋轉(zhuǎn)90，將兩條弧長求出來加在一起即可【解答】解：在RtABC中，BC=1，AC=，AB=2，CBA=60，弧AA=，弧AA=，點(diǎn)A經(jīng)過的路線的長是 故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了弧長的

9、計(jì)算方法及勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的轉(zhuǎn)動過程判斷點(diǎn)A是以那一點(diǎn)為圓心轉(zhuǎn)動多大的角度4（3分）已知：正方形的邊長為1（1）如圖（a），可以計(jì)算出正方形的對角線長為，求兩個并排成的矩形的對角線的長n個呢？（2）若把（c）（d）兩圖拼成如下“L”形，過C作直線交DE于A，交DF于B若DB=，求DA的長度為；【考點(diǎn)】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）根據(jù)前面幾個圖形及正方形的邊長為1，利用勾股定理可得出答案；根據(jù)以上規(guī)律可得出n個正方形并排成的矩形的對角線長；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出AN，即可得出AD的長【解答】解：（1）利用勾股定理可得：可以計(jì)算出正方形的對角線長為；兩個正方形并

10、排成的矩形的對角線的長為；三個正方形并排成的矩形的對角線的長為 ；四個正方形并排成的矩形的對角線的長為；根據(jù)以上規(guī)律，n個正方形并排成的矩形的對角線長為；（2）過點(diǎn)B作BFNC于點(diǎn)F，由題意可得出：ANCBFC，=，=，解得：AN=，AD=1+=故答案為：【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理的知識以及相似三角形的判定與性質(zhì)和規(guī)律性問題，關(guān)鍵是得出ANCBFC5（3分）（2003寧夏）在傾斜角為30的山坡上種樹，要求相鄰兩棵樹間的水平距離為3米，那么，相鄰兩棵樹間的斜坡距離為米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】利用所給角的余弦函數(shù)求解【解答】解：如圖，C=90，A

11、=30，AC=3AB=ACcos30=2（米）【點(diǎn)評】本題考查了余弦定義的應(yīng)用6（3分）（2004蕪湖）如圖，已知CD是RtABC的斜邊上的高，其中AD=9cm，BD=4cm，那么CD等于6cm【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】利用ACDCBD，對應(yīng)線段成比例就可以求出【解答】解：CDAB，ACB=90ACDCBD，=，=，CD=6【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵在于從相似三角形中找對應(yīng)比例線段，由相似三角形對應(yīng)線段成比例來解題7（3分）（2014春沅陵縣校級期末）如圖所示，在RtABC中，B=90，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，DE=4cm，AC=10cm，則AB=6cm【考點(diǎn)】三角形中位

12、線定理；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】首先根據(jù)三角形中位線定理可得DE=BC，再由DE=4可得到CB的長，然后在RtABC中利用勾股定理可以算出AB的長【解答】解：D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，DE=BC，DE=4cm，BC=8cm，在RtABC中，AB2=AC2BC2，AC=10cm，AB=6cm故答案為：6cm【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半二、選擇題8（3分）（2012安徽模擬）五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖，其中正確的是（）ABCD【

13、考點(diǎn)】勾股定理的逆定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可【解答】解：A、72+242=252，152+202242，222+202252，故A不正確；B、72+242=252，152+202242，故B不正確；C、72+242=252，152+202=252，故C正確；D、72+202252，242+152252，故D不正確故選：C【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角

14、三角形9（3分）（2014春成都校級月考）ABC中，B=90，AB=7，BC=24，AC=25在ABC內(nèi)有一點(diǎn)P到各邊的距離相等，則這個距離為（）A2B3C4D5【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】連接AP，BP，CP，根據(jù)直角三角形的面積公式即可求得該距離的長【解答】解：連接AP，BP，CP設(shè)PE=PF=PG=xSABC=ABCB=84，SABC=ABx+ACx+BCx=（AB+BC+AC）x=56x=28x，則28x=84，x=3故選B【點(diǎn)評】考查了三角形的面積注意構(gòu)造輔助線，則直角三角形的面積有兩種表示方法：一是整體計(jì)算，即兩條直角邊乘積的一半；二是等于三個小三角形的面積和，即

15、（AB+AC+BC）x，然后即可計(jì)算x的值10（3分）（2011嶧城區(qū)校級模擬）ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則ABC的周長為（）A42B32C42或32D37或33【考點(diǎn)】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)ABC為銳角三角形時，在RtABD和RtACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長求出，兩者相加即為BC的長，從而可將ABC的周長求出；（2）當(dāng)ABC為鈍角三角形時，在RtABD和RtACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長求出，兩者相減即為BC的長，從而可將ABC的周長求出【解答】解：此題應(yīng)分兩種情況說明：（1）當(dāng)ABC為銳角三角形時，在Rt

16、ABD中，BD=9，在RtACD中，CD=5BC=5+9=14ABC的周長為：15+13+14=42；（2）當(dāng)ABC為鈍角三角形時，在RtABD中，BD=9，在RtACD中，CD=5，BC=95=4ABC的周長為：15+13+4=32當(dāng)ABC為銳角三角形時，ABC的周長為42；當(dāng)ABC為鈍角三角形時，ABC的周長為32故選C【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理及解直角三角形的知識，在解本題時應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，易錯點(diǎn)在于漏解，同學(xué)們思考問題一定要全面，有一定難度11（3分）（2012秋沙河市期末）已知一直角三角形的木版，三邊的平方和為1800cm2，則斜邊長為（）A80cmB30cmC90cmD120

17、cm【考點(diǎn)】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】設(shè)此直角三角形的斜邊是c，根據(jù)勾股定理及已知不難求得斜邊的長【解答】解：設(shè)此直角三角形的斜邊是c，根據(jù)勾股定理知，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方所以三邊的平方和即2c2=1800，c=30（負(fù)值舍去），取c=30故選B【點(diǎn)評】熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，從而求出斜邊的長12（3分）直角三角形一直角邊長為11，另兩邊均為自然數(shù)，則其周長為（）A121B120C132D以上都不對【考點(diǎn)】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】設(shè)另一直角邊為x，斜邊為y，根據(jù)勾股定理列方程，從而求得x，y的值，從而不難求得其周長【解答】解：設(shè)另一直角邊為x，斜邊為y根據(jù)勾股定理得：y

18、2=x2+121，y2x2=121，（y+x）（yx）=121=1211，x，y為自然數(shù)，x+y=121，yx=1，x=60，y=61，周長為：11+61+60=132故選C【點(diǎn)評】本題考查勾股定理，解這類題的關(guān)鍵是利用直角三角形，用勾股定理來尋求未知系數(shù)的等量關(guān)系13（3分）（2010江寧區(qū)二模）一棵大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30夾角，這棵大樹在折斷前的高度為（）A10米B15米C25米D30米【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】如圖，在RtABC中，ABC=30，由此即可得到AB=2AC，而根據(jù)題意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就求出了大樹在折

19、斷前的高度【解答】解：如圖，在RtABC中，ABC=30，AB=2AC，CA=5米，AB=10米，AB+AC=15米所以這棵大樹在折斷前的高度為15米故選：B【點(diǎn)評】本題主要利用定理在直角三角形中30的角所對的直角邊等于斜邊的一半，解題關(guān)鍵是善于觀察題目的信息，利用信息解決問題三、解答題14在ABC中，三條邊的長分別為a、b、c，a=n21，b=2n，c=n2+1（n1，且n為整數(shù)），這個三角形是直角三角形嗎？若是，哪個角是直角？【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題【分析】由勾股定理的逆定理，可驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方，從而可知ABC是直角三角形，再利用大邊對大角，可

20、知C=90【解答】解：a=n21，b=2n，c=n2+1（n1，且n為整數(shù)），a2+b2=（n21）2+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2，又c2=（n2+1）2，ABC是直角三角形，C=90答：這個三角形是直角三角形，C=90【點(diǎn)評】本題考查大邊對大角、勾股定理的逆定理的應(yīng)用判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可15（2008黔東南州）為解決樓房之間的擋光問題，某地區(qū)規(guī)定：兩幢樓房間的距離至少為40米，中午12時不能擋光如圖，某舊樓的一樓窗臺高1米，要在此樓正南方40米處再建一幢新樓已知該地區(qū)冬天中午12時陽光從正南方照射，并且光線與水平線

21、的夾角最小為30，在不違反規(guī)定的情況下，請問新建樓房最高多少米？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；平行投影菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】應(yīng)用題；壓軸題【分析】在不違反規(guī)定的情況下，需使陽光能照到舊樓的一樓；據(jù)此構(gòu)造RtDCE，其中有CE=30米，DCE=30，解三角形可得DE的高度，再由DB=BE+ED可計(jì)算出新建樓房的最高高度【解答】解：過點(diǎn)C作CEBD于EAB=40米，CE=40米，陽光入射角為30，DCE=30，在RtDCE中tanDCE=，DE=40=米，AC=BE=1米，DB=BE+ED=1+=米答：新建樓房最高為米【點(diǎn)評】本題考查了平行投影特點(diǎn)：在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例需注意通過投

22、影的知識結(jié)合圖形相似的性質(zhì)巧妙地求解或解直角三角形16如圖：A、B兩點(diǎn)與建筑物底部D在一直線上，從建筑物頂部C點(diǎn)測得A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30、60，且AB=20，求建筑物CD的高【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由題意可知ECA=30，ECB=60，所以可證明ABC是等腰三角形，所以AB=BC，解直角三角形BDC，進(jìn)而求出建筑物CD的高【解答】解：由題意可知ECA=30，ECB=60，BAC=30，ECA=CAB=30，BCA=BAC=30，AB=BC=20，BCD=30，BD=10，DC=10，答：建筑物CD的高是10【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和解直角三角形的應(yīng)用，本題要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形17如圖，海中有一小島A，在該島周圍10海里內(nèi)有暗礁，今有貨船由西向東航行，開始在A島南偏西45的B處，往東航行20海里后達(dá)到該島南偏西30的C處，之后繼續(xù)向東航行，你認(rèn)為貨船繼續(xù)向東航行會有觸礁的危險(xiǎn)嗎？計(jì)算后說明理由【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】行程問題【分析】由貨船的行程圖可得BHA、CHA為直角三角形，因BC=20，BAH=45，CAH=30，所以可以用含AH的式子表示出BC，由此可求出AH的長