畢業(yè)論文落體偏東問題的理解

1、關(guān)鍵詞 落體偏東 計算機模擬引言 現(xiàn)在科技飛速發(fā)展,武器的科技含金量也不斷提高,目前不少殺傷力巨大的導彈都采用了精確制導.而高的精度離不開對導彈受力情況的完整分析,這當然少不了地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的影響,本文就將對此問題進行簡單分析.某物體從地球表面高h處自由下落,如果不考慮地球?qū)λ挠绊懩敲次矬w將豎直落到地面上.但是由于物體在下落過程中還要受到地球自轉(zhuǎn)的影響,因而物體落到位置將較垂足偏東些.雖然偏東幅度并不是很大,但是對于象導彈等精密武器來說,它的影響也是不能忽略的,因此從理論上研究落體偏東也就有了實際的意義.下面就對地球上緯度為高度為h的一個自由下落物體(當作質(zhì)點)的運動進行分析.x(南)y(東)

2、北極wo赤道z(天)在地球上建立坐標系oxyz;原點o點在地面,軸指南,軸指東,oz軸垂直地面向上,由于地球是非慣性系,質(zhì)點除了受重力之外還受到慣性力的作用,當把m理解為表觀重力時,慣性力中只需考慮科氏力的影響.(因為此時慣性離心力已經(jīng)考慮了).故質(zhì)點相對于地球的運動微分方程為wy(東)z(天)x(南)wcosh 其中為地球的自轉(zhuǎn)角速度.于是可得到式在oxyz系內(nèi)的投影方程為 式是線性微分方程組,可求解析解.設(shè)初始條件為t=0時x=y=0,z=h,將式中三個式子積一次分并定出積分常數(shù),得 將上式代入式得由于項可以忽略,于是上式化為對上式積分兩次并定出積分常數(shù),得到在忽略項的條件下,科氏力對ox

3、和oz方向的運動幾乎沒有影響,y值反映出其偏東效應(yīng).由上式消去時間t可得質(zhì)點運動的軌道方程. 下面我們對式用matlab求其數(shù)值解并作圖可得直觀圖形,進行數(shù)值解法的方程為(從式得到)分別令緯度為得到下面的圖形 從得到的matlab模擬圖來看緯度為(赤道處)時物體偏東比較厲害,且隨著緯度的增加,偏東效應(yīng)漸漸減小,當緯度達到時(對應(yīng)于地球的北極),物體不發(fā)生偏東,而是直接豎直下落到地面.這與上面理論得到的結(jié)果相符,在中從而可以得到物體下落的偏東位移隨著緯度的增加,cos減小,偏東量y減小,這與上面模擬得到的圖線變化趨勢相符.同時如果,那么cos將等于0,對應(yīng)的偏東量也就為0,也就是說,物體將豎直落

4、到地面.這一點也可以從物體受科氏力情況的分析簡單地得到,緯度為90度時,物體的速度方向與地球自轉(zhuǎn)角速度的方向平行,科氏力,物體相當于在此情況下只受重力作用,因而豎直下落,不發(fā)生偏東.上面考察了緯度對偏東效應(yīng)的影響,下面再就地球自轉(zhuǎn)角速度對它的影響進行一些討論.上面那張模擬圖是在自轉(zhuǎn)周期為24小時時得到的,而下面一張圖則是自轉(zhuǎn)周期t=30小時時得到的(雖然不大符合實際,但這樣更便于觀察變化趨勢)可以看出物體的偏東效應(yīng)明顯減小,例如:周期t=24小時,緯度為0度時,物體偏東約為0.06米;當周期t=30小時,緯度為0度時,物體偏東約為0.05米,明顯減小.這種現(xiàn)象也可以從理論上得到解釋,因為當?shù)厍?/p>

5、自轉(zhuǎn)周期t增大時,角速度w減小,因而同一緯度下偏東量減小.以上是t變大的情形,我們再來看看t減小時的情形.下面的左圖是t=10小時得到的圖象,可以看到圖象并沒有發(fā)生突變,仍可以按上面的理論進行分析.但是若t繼續(xù)急劇下降,當t=0.001小時時(雖然地球絕對不可能轉(zhuǎn)這么快,但對它的分析也有一定理論作用,后面將提到),圖象便突變?yōu)橄逻叺挠覉D.圖線明顯出現(xiàn)彎曲,這就不能用上面得到的公式進行解釋了.問題出在哪里呢?原來我們在解方程的過程中進行了一些簡化(可參看上面的方程),忽略掉了二階小項,這在很小的情況下是相當合理的.當逐漸增大,大到一定程度后, 項的影響就不能再忽略了,這樣方程就附加了一個非線性項

6、,也就產(chǎn)生了上面圖線彎曲的情況.而實際中并未出現(xiàn)這種情況,因為實際地球的角速度足夠小, 項可以不予考慮.從上面極端情況的分析我們體會到了解方程中的近似處理是相當符合實際的.以上的這些便是我對落體偏東問題的一些認識,其實落體偏東問題有相當廣闊的實際背景,特別是在導彈發(fā)射中應(yīng)相當注意.第一次世界大戰(zhàn)時,英國的炮手就應(yīng)為沒有正確考慮落體偏東效應(yīng),而導致多發(fā)炮彈未準確命中目標.當然地球表面的遠程拋體運動是相當復雜的,空氣阻力,地球自轉(zhuǎn),風向等因素對會對其產(chǎn)生影響,我們只是對其中的一部分進行了分析,要對具體發(fā)射進行精確制導,需進行大量數(shù)值計算,這就不是我們能解決的問題了,只能交給計算機,但不管怎樣,基本

7、原理是永遠不會變的.參考書目理論力學 張雄等編 p230理論力學輔導與習題集 高云峰 李俊峰編著 p248這學期我們開設(shè)了理論力學課,可以說這是目前我們所學的最有難度的一門課,但是我們很幸運地遇到張老師,張老師是一位很負責的老師,課講的很好,也挺幽默,在他的指導下,我順利地完成了本學期的學習任務(wù),雖然不能說是學的多出色,但是我個人認為也是收獲不小.理論力學這門課同我們所學的大學物理既有聯(lián)系又有區(qū)別,這區(qū)別就在于大學物理把重點放在牛頓力學的講解上,并且主要偏重于原理的闡述,而理論力學除了講解牛頓力學外,還加入了分析力學的部分知識,并且和我們的工程實際聯(lián)系更加緊密,數(shù)學水平也要求更高.雖然課程挺難

8、,但是只要把握住牛頓力學,分析力學兩條主線,就不難學懂.總體來說,這門課對我?guī)椭恍?大大提高了我解決實際問題的能力,在此也對張老師表示感謝,謝謝你了.關(guān)于小論文小論文可以說是鍛煉學生分析實際問題的一種好途徑.在剛開始時,我拿不準要選什么題目,因為很多題目都被其他同學寫過了,而我自己的知識又比較有限.后來我想,既然理論力學是解決工程當中的實際問題,那么何不把計算機的應(yīng)用也引入其中,這樣便可大大提高效率,同時也使分析更直觀,于是我選擇了“落體偏東”這個我平常沒多大弄懂的問題(有些慚愧,呵呵),然后用matlab進行模擬.在數(shù)學建模和編程中都遇到了不少的困難,關(guān)于數(shù)學建模我后來是翻閱了資料(主要是課本),編程中也請教了不少matlab的編程高手(本班同學賈蘊龍),在得到模擬結(jié)果后,我又自己進行了理論分析,終于將整個問題搞明白了.特別值得一提的是原來我在解聯(lián)立方程組時,老是解不出來,原因是未作恰當?shù)慕?導致方程組不是線性方程,代數(shù)無法求解;后來得到模擬結(jié)果后,經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)忽略掉,化非線性方程為線性,是相當精確的,不會影響問題的解決(具體分析見前面).