第4章 圖像變換

1、數(shù)字圖像處理-圖像變換Slide 2內(nèi)容提要l主要介紹圖像處理中常用的二維離散變換的定主要介紹圖像處理中常用的二維離散變換的定義、性質(zhì)、實(shí)現(xiàn)方法及應(yīng)用。義、性質(zhì)、實(shí)現(xiàn)方法及應(yīng)用。l經(jīng)典變換經(jīng)典變換離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）l離散余弦變換（離散余弦變換（DCT）l離散沃爾什離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換（哈達(dá)瑪變換（DWT）lK-L變換（變換（KLT）l離散小波變換（離散小波變換（DWT）及其應(yīng)用）及其應(yīng)用Slide 3知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn) l余弦型變換：余弦型變換：l傅里葉變換和余弦變換。傅里葉變換和余弦變換。l方波型變換：方波型變換：l沃爾什沃爾什- -哈達(dá)瑪變換。哈達(dá)瑪變換。l基于特征向

2、量的變換：基于特征向量的變換：lK-LK-L變換。變換。l從哈爾變換、短時(shí)傅里葉變換到小波變換。從哈爾變換、短時(shí)傅里葉變換到小波變換。l各種變換的定義和有關(guān)快速算法及實(shí)現(xiàn)方法。各種變換的定義和有關(guān)快速算法及實(shí)現(xiàn)方法。Slide 44.1 4.1 二維離散傅里葉變換（二維離散傅里葉變換（DFTDFT）4.1.1 二維連續(xù)傅里葉變換二維連續(xù)傅里葉變換l定義：設(shè) f (x, y) 是獨(dú)立變量x和y 的函數(shù)，且在 上絕對(duì)可積，則定義積分 為二維連續(xù)函數(shù) f (x, y) 的傅里葉變換，并定義 為F (u, v) 的反變換。 f (x, y) 和F (u, v)為傅里葉變換對(duì)。 |( , )|d df

3、x yx y j2() ( , )( , )ed dux vyf x yF u vu v -j2() ( , )( , )edxdyux vyF u vf x ySlide 5【例例4.1】求圖4.1所示函數(shù)的傅里葉變換。 他其, 0,),(YyXxAyxf解：解： j2()j2j2 0 0jj( , )( , )ed dededsin()sin()eeXYux vyuxvyuxvyF u vf x yx yAxyuXvYAXYuXvYsin() sin()( , )uXvYF u vAXYuXvY圖4.1 二維信號(hào)f (x, y) 其幅度譜為其幅度譜為Slide 6二維信號(hào)的頻譜圖（a）信號(hào)

4、的頻譜圖）信號(hào)的頻譜圖 （b）圖（）圖（a）的灰度圖）的灰度圖圖圖4.2 信號(hào)的頻譜圖信號(hào)的頻譜圖 Slide 74.1.2 4.1.2 二維離散傅里葉變換二維離散傅里葉變換l尺寸為MN的離散圖像函數(shù)的DFT 1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuFl反變換可以通過對(duì)F(u,v) 求IDFT獲得 1010)/(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxfSlide 8lF(u, v)即為f (x, y)的頻譜，通常是復(fù)數(shù)：( , )( , )j ( , )F u vR u vI u v221/2|( , )| ( , )( , )F u vR u vIu v

5、( , )( , )arctan( , )I u vu vR u v幅度譜幅度譜 相位譜相位譜 Slide 9DFT幅度譜的特點(diǎn)幅度譜的特點(diǎn) l 頻譜的直流成分頻譜的直流成分說明在頻譜原點(diǎn)的傅說明在頻譜原點(diǎn)的傅里葉變換里葉變換F(0, 0)等于圖像的平均灰度級(jí)。等于圖像的平均灰度級(jí)。l 幅度譜幅度譜|F(u, v)|關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。l 圖像圖像f (x, y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生變化。僅有相位發(fā)生變化。Slide 104.1.3 4.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì)l1 1變換可分離性l二維DFT可以用兩個(gè)可分離的

6、一維DFT之積表示：11j2/j2/0011( , )e( , )eMNux Mvy NxyF u vf x yMN1j2/01( , )eMux MxF x vM式中，式中，1j2/01( , )( , )eNvy NyF x vf x yN結(jié)論：結(jié)論：（1）二維變換可以通過先進(jìn)行二維變換可以通過先進(jìn)行行變換行變換再進(jìn)行再進(jìn)行列變換列變換的兩的兩次一維變換來實(shí)現(xiàn)。（次一維變換來實(shí)現(xiàn)。（2 2）也可以通過先求）也可以通過先求列變換列變換再求再求行變換行變換得到得到二維傅里葉變換。二維傅里葉變換。 Slide 11圖圖4.4 用兩次一維用兩次一維DFT計(jì)算二維計(jì)算二維DFT Slide 122

7、2周期性、共軛對(duì)稱性及頻譜中心化l周期性和共軛對(duì)稱性帶來了許多方便。l首先來看一維的情況。l設(shè)有一矩形函數(shù),求出它的傅里葉變換： ,0( )0,AxXf x其他jsin( )euXuXF uAXuXsin( )uXF uAXuXSlide 13在進(jìn)行在進(jìn)行DFT之前用輸入信號(hào)乘以（之前用輸入信號(hào)乘以（-1）x，便可，便可以在一個(gè)周期的變換中求得一個(gè)完整的頻譜。以在一個(gè)周期的變換中求得一個(gè)完整的頻譜。 （a）幅度譜）幅度譜 （b）原點(diǎn)平移后的幅度譜）原點(diǎn)平移后的幅度譜 圖圖4.6 頻譜圖頻譜圖 2211j(/2)j0011(/2)( )e( 1)( )eNNx u NxuxNNxxF uNf x

8、f xNNSlide 14 用(-1)x+y 乘以輸入的圖像函數(shù)，則有：)2/, 2/() 1)(,(NvMuFyxfDFTyxl原點(diǎn)原點(diǎn)F(0,0)被設(shè)置在被設(shè)置在 u = M/2和和v = N/2上。上。l如果是一幅圖像，在原點(diǎn)的傅里葉變換如果是一幅圖像，在原點(diǎn)的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級(jí)，也稱作頻率等于圖像的平均灰度級(jí)，也稱作頻率譜的直流成分。譜的直流成分。 Slide 15圖4.7 圖像頻譜的中心化（a）原始圖像）原始圖像 (b) 中心化前的頻譜圖中心化前的頻譜圖 (c) 中心化后的頻譜中心化后的頻譜圖圖3.6 圖像頻譜的中心化圖像頻譜的中心化中心化的原因？P56,P5

9、7Slide 163離散卷積定理l設(shè)f (x, y)和g(x, y) 是大小分別為AB和CD的兩個(gè)數(shù)組，則它們的離散卷積定義為DFT ( , )* ( , )( , ) ( , )f x yg x yF u v G u vl卷積定理卷積定理1010),(),(),(*),(MmNnnymxgnmfyxgyxfSlide 17【例4.2】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換。l為了增強(qiáng)顯示效果，用對(duì)數(shù)對(duì)頻譜的幅度進(jìn)行壓縮，然為了增強(qiáng)顯示效果，用對(duì)數(shù)對(duì)頻譜的幅度進(jìn)行壓縮，然后將頻譜幅度的對(duì)數(shù)值用在后將頻譜幅度的對(duì)數(shù)值用在010之間的值進(jìn)行顯示。之間的值進(jìn)行顯示。l【解解】MATLAB程序如下：程序如

10、下：lI = imread(pout.tif);%讀入圖像讀入圖像limshow(I); %顯示圖像顯示圖像lF1 = fft2(I); %計(jì)算二維傅里葉變換計(jì)算二維傅里葉變換lfigure, imshow(log(abs(F1)+1),0 10); l%顯示對(duì)數(shù)變換后的頻譜圖顯示對(duì)數(shù)變換后的頻譜圖lF2 = fftshift(F1); %將直流分量移到頻譜圖的中心將直流分量移到頻譜圖的中心lfigure, imshow(log(abs(F2)+1),0 10); l%顯示對(duì)數(shù)變換后中心化的頻譜圖顯示對(duì)數(shù)變換后中心化的頻譜圖Slide 18 （a）原始圖像 （b）圖像的頻譜圖 （c）中心化的頻

11、譜圖圖3.7 傅里葉變換Slide 19 Slide 20 Slide 214.2 二維離散余弦變換（二維離散余弦變換（DCT） l任何實(shí)對(duì)稱函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項(xiàng)，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡(jiǎn)化DFT的重要方法。4.2.1 一維離散余弦變換一維離散余弦變換l將一個(gè)信號(hào)通過對(duì)折延拓成實(shí)偶函數(shù)，然后進(jìn)行傅里葉變換，我們就可用2N點(diǎn)的DFT來產(chǎn)生N點(diǎn)的DCT。 1以x = -1/2為對(duì)稱軸折疊原來的實(shí)序列f (n) 得：1),1(10),(nNnfNnnfSlide 22-N-10N-1NN+1f (n)延拓示意圖延拓示意圖 2以2N為周期將其周期延拓，其中f（0）f（1），f（

12、N1）f（N） 12),12(10),(NnNnNfNnnffc(2N n 1) = fc(n) Slide 233對(duì)0到2N1的2N個(gè)點(diǎn)的離散周期序列 作DFT，得)(kFc1202)(NnnkNcWnf 102)(NnnkNWnf122) 12(NNmmkNWmNf 令i2Nm1，則上式為 )(kFc102)(NnnkNWnf 01)12(2)(NikiNNWif 22kNW102) 12(cos)(NnNknnfSlide 24l 保證變換基的規(guī)范正交性，引入常量，定義：F(k)C(k) N2102) 12(cos)(NnNknnfC(k)= 其中11, 10,21NkkDCT逆變換為

13、1112(21)( )(0)( )cos2Nunuf nCF uNNNSlide 254.2.2 二維離散余弦變換二維離散余弦變換 l正變換：l逆變換：1100211( , )( ) ( )( , )coscos22MNxyF u vC u C vf x yu xv yMNMN1100211( , )( ) ( ) ( , )cos() cos()22MNuvf x yC u C v F u vu xv yMNMN Slide 264.2.3 二維DCT的應(yīng)用l典型應(yīng)用是對(duì)靜止圖像和運(yùn)動(dòng)圖像進(jìn)行性能優(yōu)良的有損數(shù)據(jù)壓縮。l在靜止圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)JPEG、運(yùn)動(dòng)圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)MJPEG和MPEG等標(biāo)準(zhǔn)中都

14、使用了88塊的離散余弦變換，并將結(jié)果進(jìn)行量化之后進(jìn)行熵編碼。lDCT具有很強(qiáng)的能量集中在頻譜的低頻部分的特性，而且當(dāng)信號(hào)具有接近馬爾可夫過程的統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，DCT的去相關(guān)性接近于具有最優(yōu)去相關(guān)性的K-L變換的性能。Slide 27【例4.3】應(yīng)用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的DCT變換。l【解】MATLAB程序如下：lI = imread(wpeppers2.png);lJ = rgb2gray(I); %轉(zhuǎn)換彩色圖像為灰度圖像lsubplot(1,2,1),imshow(J); %顯示原灰度圖像lK = dct2(J); %對(duì)圖像做DCT變換lsubplot(1,2,2), imshow(log(ab

15、s(K)+1,0 10); l %顯示DCT變換結(jié)果limshow(log(abs(C2)+1,0 10); l %顯示DCT變換結(jié)果Slide 28圖4.10 離散余弦變換 （a）wpeppers2圖像 （b）wpeppers2圖像的DCT系數(shù) Slide 29應(yīng)用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的DCT變換。 解：解：MATLAB程序如下： A=imread(cameraman.tif); %讀入圖像 I=dct2(A); %對(duì)圖像作DCT變換subplot(1,2,1),imshow(A); %顯示原圖像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I),0 5); Slide 30

16、4.3 4.3 二維離散沃爾什二維離散沃爾什- -哈達(dá)瑪變換（哈達(dá)瑪變換（DHTDHT）l前面的變換是余弦型變換，基底函數(shù)選用的是余弦型。l圖像處理中有些變換常常選用方波信號(hào)或者它的變形。l沃爾什（Walsh）變換。l沃爾什函數(shù)是一組矩形波，其取值為1和-1，便于計(jì)算機(jī)運(yùn)算。l函數(shù)有三種排列或編號(hào)方式，以哈達(dá)瑪排列最便于快速計(jì)算。l采用哈達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)進(jìn)行的變換稱為沃爾什-哈達(dá)瑪變換，簡(jiǎn)稱WHT或直稱哈達(dá)瑪變換。Slide 314.3.1 沃爾什變換l沃爾什函數(shù)系沃爾什函數(shù)系l函數(shù)值僅取函數(shù)值僅取+1和和1兩值的非正弦型的標(biāo)兩值的非正弦型的標(biāo)準(zhǔn)正交完備函數(shù)系。準(zhǔn)正交完備函數(shù)系。l由于二值

17、正交函數(shù)與數(shù)字邏輯中的兩由于二值正交函數(shù)與數(shù)字邏輯中的兩個(gè)狀態(tài)相對(duì)應(yīng)，所以非常便于計(jì)算機(jī)個(gè)狀態(tài)相對(duì)應(yīng)，所以非常便于計(jì)算機(jī)和數(shù)字信號(hào)處理器運(yùn)算。和數(shù)字信號(hào)處理器運(yùn)算。Slide 32圖4.11 沃爾什函數(shù)系的前10個(gè)函數(shù)Slide 33沃爾什函數(shù)有三種排列或編號(hào)方式l列率排列、佩利（列率排列、佩利（Paley）排列和哈達(dá)瑪）排列和哈達(dá)瑪（Hadamard）排列。）排列。l沃爾什變換的排列方式為列率排列。沃爾什變換的排列方式為列率排列。l與正弦波頻率相對(duì)應(yīng)，非正弦波形可用列率與正弦波頻率相對(duì)應(yīng)，非正弦波形可用列率描述。描述。l列率表示某種函數(shù)在單位區(qū)間上函數(shù)值為零列率表示某種函數(shù)在單位區(qū)間上函數(shù)值

18、為零的零點(diǎn)個(gè)數(shù)之半。的零點(diǎn)個(gè)數(shù)之半。Slide 34一維沃爾什變換核g(x,u)l設(shè)N = 2n，變換核為11( )( )01( , )( 1)ininbx buig x uN bk(z)代表z的二進(jìn)制表示的第k位值。核是一個(gè)對(duì)稱陣列，其行和列是正交的。Slide 35一維沃爾什變換 l正變換：l逆變換：111( )( )001( )( )( 1)iniNnbx buixW uf xN 111( )( )00( )( )( 1)iniNnbx buiuf xW u Slide 36二維沃爾什變換 l正變換：l逆變換：11111( )( )( )( )0001( , )( , )( 1)inii

19、niNNnb x buby bvixyW u vf x yN 11111( )( )( )( )0001( , )( , )( 1)iniiniNNnb x buby bviuvf x yW u vN Slide 37【例4.5】求圖像 f 的DWT，并反求 f。l【解】W =G f G，采用MATLAB程序求解W。lf = 2 5 5 2; 3 3 3 3; 3 3 3 3; 2 5 5 1;lG = 1 1 1 1; 1 1 -1 -1; 1 -1 -1 1; 1 -1 1 -1;lW = (1/16)*G*f*G2552333333332551fSlide 38l運(yùn)行結(jié)果為lW =l 3

20、.18750.0625 -0.8125 0.0625l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625l 0.18750.0625 -0.8125 0.0625l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625Slide 39l反求 f 的程序如下：lW = 3.1875 0.0625 -0.8125 0.0625;l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625;l 0.1875 0.0625 -0.8125 0.0625;l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625lG = 1 1 1 1; 1 1 -1 -1; 1 -1 -1 1;

21、 1 -1 1 -1;lf = G*W*GSlide 40l運(yùn)行結(jié)果為lf =l 2 5 5 2l 3 3 3 3l 3 3 3 3l 2 5 5 1Slide 414.3.2 4.3.2 哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪變換l哈達(dá)瑪矩陣：元素僅由1和1組成的正交方陣。l正交方陣：指它的任意兩行（或兩列）都彼此正交，或者說它們對(duì)應(yīng)元素之和為零。l哈達(dá)瑪變換要求圖像的大小為N2n 。l一維哈達(dá)瑪變換核為 其中， bk(z) 代表z的二進(jìn)制表示的第k位值。10)()() 1(1),(niiiubxbNuxgSlide 42一維、二維哈達(dá)瑪正、逆變換l一維哈達(dá)瑪正變換 l一維哈達(dá)瑪逆變換l二維哈達(dá)瑪正變換l二維哈達(dá)

22、瑪逆變換10)()(10) 1)(1)(nxubxbniiixfNuH10)()(10) 1)()(nuubxbniiiuHxf1010)()()()(10) 1)(,(1),(NxNyvbybubxbniiiiiyxfNvuH1010)()()()(10) 1)(,(1),(NuNvvbybubxbniiiiivuHNyxfSlide 43二維哈達(dá)瑪正、逆變換具有相同形式l正反變換都可通過兩個(gè)一維變換實(shí)現(xiàn)。l最低階哈達(dá)瑪矩陣為：l高階哈達(dá)瑪矩陣可以通過如下方法求得：21111H2222NNNNNHHHHHSlide 44二維哈達(dá)瑪正、逆變換具有相同形式lN4的哈達(dá)瑪矩陣為 ： N8的哈達(dá)瑪矩

23、陣為 ： 5261437011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112218H224221111111111111111HHHHHSlide 454.4 卡胡南卡胡南-列夫變換（列夫變換（K-L變換）變換）lKahunen-Loeve變換是在均方意義下的最佳變換。l優(yōu)點(diǎn)：l能夠完全去除原信號(hào)中的相關(guān)性，因而具有非常重要的理論意義。l缺點(diǎn)：l基函數(shù)取決于待變換圖像的協(xié)方差矩陣，因而基函數(shù)的形式是不定的，且計(jì)算量很大。Slide 46l設(shè)原圖像為X，采用KLT恢復(fù)的圖像 ，則和原圖像X具有最小的均方誤差，即XT

24、minEXXXXT(0,0),(0,1),(0,1),(1,0),( ,1),(1,1)iiiiiiifffNff r Nf NNX對(duì)第i次獲得的圖像fi(x, y)可以用N2維向量Xi表示： 11 MxiiEMmXXSlide 47lCx是一個(gè)N2N2的實(shí)對(duì)稱矩陣。令i和ai（i = 1, 2, , N2）分別為Cx的第i個(gè)特征值和特征向量，其特征向量構(gòu)成的矩陣是一個(gè)正交矩陣 TTT1111()()MMxixixiixxiiMMCXmXmX Xm m222222112111222212NNNNN NaaaaaaaaaASlide 48l ATCxA = A1CxA = （3.51）l 為Cx

25、的特征值構(gòu)成的對(duì)角線矩陣。K-L變換選取一個(gè)上述的正交變換A，使得變換后的圖像Y滿足l Y = A(X mx) （3.52）l優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：能夠完全去除原信號(hào)中的相關(guān)性，因而具有重要的理論意義。 l缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：計(jì)算量很大。Slide 494.5 4.5 二維離散小波變換二維離散小波變換l小波分析是小波分析是20世紀(jì)世紀(jì)80年代開始逐漸發(fā)展成熟的年代開始逐漸發(fā)展成熟的應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。l主要特點(diǎn)：主要特點(diǎn)：l對(duì)時(shí)間（二維信號(hào)為空間）對(duì)時(shí)間（二維信號(hào)為空間）-頻率的雙重分析和多分頻率的雙重分析和多分辨率分析能力。辨率分析能力。l被譽(yù)為被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡數(shù)學(xué)顯微鏡”，在信號(hào)和圖像

26、處理等，在信號(hào)和圖像處理等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。Slide 504.5.1 小波分析的思想來源l哈爾提出了一種正交歸一化函數(shù)系，以其作為哈爾提出了一種正交歸一化函數(shù)系，以其作為正交規(guī)范基的哈爾變換收斂均勻而迅速，在圖正交規(guī)范基的哈爾變換收斂均勻而迅速，在圖像信息壓縮和特征編碼等方面獲得應(yīng)用。像信息壓縮和特征編碼等方面獲得應(yīng)用。l哈爾變換特點(diǎn)：哈爾變換特點(diǎn)：l（1）具有尺度和位移兩個(gè)特性；）具有尺度和位移兩個(gè)特性；l（2）變換范圍窄；）變換范圍窄；l（3）變換特性與圖像邊界的特性十分接近。）變換特性與圖像邊界的特性十分接近。Slide 51圖4.12 Haar函數(shù)系的前

27、幾個(gè)函數(shù)波形函數(shù)系的前幾個(gè)函數(shù)波形lHaar函數(shù)的定義域t為0,1，可將它延拓到整個(gè)時(shí)間軸。lHaar函數(shù)表示為har(2p + n, t)，其中p = 1, 2, , ；n = 0, 1, 2p 1。Slide 52窗口傅里葉變換（WFT） l信號(hào)f (x)的窗口傅里葉變換定義為j* 1WFT ( ,)( )()ed2xfRbf x WxbxlWFT的重構(gòu)公式為2j 1( )WFT ( ,)()ed d2xfRf xbW xbbl常見的窗函數(shù)具有相對(duì)短的時(shí)間窗寬，例如可選為高斯函數(shù)，所以WFT也稱為短時(shí)傅里葉變換（ STFT）。Slide 53WFT的不足的不足l窗口傅里葉變換是一種大小及形

28、狀均固定的時(shí)頻化分析。l實(shí)際信號(hào)進(jìn)行時(shí)間和頻率分析時(shí)，分辨率往往是相對(duì)的，即反映信號(hào)高頻成分需要較高的時(shí)間分辨率，因此窗函數(shù)寬度應(yīng)該窄一些，而反映低頻成分則需要較高的頻率分辨率，窗函數(shù)寬度應(yīng)該寬一些。l窗口傅里葉變換不能滿足上述要求。Slide 544.5.2 連續(xù)小波變換l小波變換的窗口具有大小（面積）固定但形狀可改變的特點(diǎn)，能滿足上述時(shí)-頻局部化分析的要求。l按如下方式生成的函數(shù)族為連續(xù)小波（分析小波）：12,( )a bxbxaal (x)稱為基本小波或母波la稱為伸縮因子，b為平移因子。母波可由平移與尺度變換構(gòu)造小波基函數(shù)。 Slide 55圖4.13 小波函數(shù)的平移與擴(kuò)展Slide

29、56信號(hào)的連續(xù)小波變換 l正變換：l反變換：1*2, ( , ),( )( )dfa bRxbWa bfxaf xxa ,2 1d( )( , )( )dfa baf xWa bxbCaSlide 574.5.3 一維離散小波變換l把連續(xù)小波變換離散化更有利于實(shí)際應(yīng)用。l對(duì)a和b按如下規(guī)律取樣：l其中 ； ； ，得離散小波：mmanbbaa000,10aZnm,)()(0020,nbxaaxmmnm)(),()()(,xxfdxxxfWnmnmnmnmnmnmnmnmnmfWkf,)(Rb 0 離散小波變換和逆變換為 Slide 584.5.4 二維離散小波變換l信號(hào)f (x, y)的連續(xù)小波

30、變換Wf(a,bx,by)為 2*, 1( ,),( , )( , ),d dx yfxya b bRxb ybWa b bfx yf x yx yaaa2 ,2 1( , )( ,),dddyxfxya bxyRRybxbf x yWa b bbbaaaa 由Wf(a,bx,by)重構(gòu)f (x, y)的小波逆變換為定義二維離散小波變換逼近，并采用Mallat二維快速算法求解。與DFT類似，可分離二維小波變換最終可轉(zhuǎn)化為兩次一維小波變換。Slide 59圖4.14 可分離二維小波變換的頻率域分解（a）1層分解 （b）2層分解 （c）3層分解詳細(xì)理解頻率域分解，有利于理解小波函數(shù)。Slide 6

31、0重構(gòu)算法按相反的步驟進(jìn)行l(wèi)這樣就構(gòu)成了2D DWT的金字塔結(jié)構(gòu)。l由于小波變換的理論和算法比較復(fù)雜，從應(yīng)用的角度看，讀者可以將注意力集中在用MATLAB對(duì)圖像進(jìn)行小波變換和重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)過程中。Slide 61【例4.6】對(duì)圖像實(shí)現(xiàn)小波變換lbior3.7是雙正交樣條小波對(duì)應(yīng)的濾波器。圖像：wbarb.mat。l【解】MATLAB程序如下：lload wbarb;%從磁盤調(diào)入磁盤文件wbarb.matlimage(X);%將矩陣X顯示為圖像.lcolormap(map);%配合函數(shù)image()畫出連續(xù)的灰度圖lcA1,cH1,cV1,cD1 = dwt2(X,bior3.7);l %對(duì)X進(jìn)行D

32、WT，bior3.7是雙正交樣條小波對(duì)應(yīng)的濾波器lA1 = upcoef2(a,cA1,bior3.7,1);lH1 = upcoef2(h,cV1,bior3.7,1);lV1 = upcoef2(v,cV1,bior3.7,1);lD1 = upcoef2(d,cD1,bior3.7,1);Slide 62lfigure;colormap(map) ; lsubplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,180);ltitle(Approximation A1)lsubplot(2,2,2); image(wcodemat(H1, 255);ltitle(Horizonta