2.1新多元函數(shù)的極值與最值ppt課件

1、 第六章第五節(jié)第五節(jié) 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值定義一、二元函數(shù)的極值定義 三、條件極值三、條件極值 二、最值應(yīng)用問(wèn)題二、最值應(yīng)用問(wèn)題 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 2/19回憶一元函數(shù)的極值回憶一元函數(shù)的極值設(shè) f x0U x在內(nèi)有定義，假如0 xU x 0f xf x 0f xf x有或則稱(chēng)0f x f x是的一個(gè)極大值或極小值必要條件：必要條件：定義：定義： f x在0 x處可導(dǎo)，且在0 x處取得極值，那么00fx最值最值 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 3/19一、一、 二元函數(shù)的極值定義二元函數(shù)的極值定義 定義定義: 若函數(shù)若函數(shù)則稱(chēng)

2、函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值例如例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無(wú)極值.極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).00( , )(,)f x yf x y00( , )(,)f x yf xy或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有xyzOxyzOxzyO(極小值). 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 4/19說(shuō)明說(shuō)明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn)的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn) . 例如,定理定理1 (必要條件必要條件) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.00

3、00(,)0 ,(,)0 xyfxyfxy取得極值 ,取得極值取得極值函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)具有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 具有偏導(dǎo)數(shù)的 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 5/19時(shí), 具有極值定理定理2 (充分條件充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 令那么: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時(shí), 沒(méi)有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(

4、00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC且, 0),( yxfx0),( yxfy 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 7/19例例1 1求函數(shù)解解: : 第一步第一步 求駐求駐點(diǎn)點(diǎn). .得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),

5、(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(22331, 3x 0,2y 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 8/19在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC例7.30 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 9/19二、最

6、值應(yīng)用問(wèn)題二、最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 極值點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí)時(shí), )(Pf為極小值)(Pf為最小值( (大大) )( (大大) )根據(jù) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 10/19（1有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)求最值的一般方法有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)求最值的一般方法 將函數(shù)在將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者

7、即為最小值值，最小者即為最小值. 與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用函數(shù)的極值與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值. .【二元函數(shù)的最值】【二元函數(shù)的最值】分為分為(1) 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)求最值有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)求最值(2) 實(shí)際問(wèn)題求最值實(shí)際問(wèn)題求最值 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 11/19解解: 設(shè)水箱長(zhǎng)設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水箱,問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用

8、料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233例例2 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 12/19三、條件極值三、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其他條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz 目錄 上頁(yè)

9、 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 13/19,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.),(的極值求函數(shù)yxfz 例如例如,引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱(chēng)為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格則極值點(diǎn)滿(mǎn)足:朗日函數(shù)求極值的方法稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyxfF 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 14/19推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21

10、zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F20F 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 15/19例例3 要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為0V則問(wèn)題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱, 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz試問(wèn) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 16/19得唯一駐點(diǎn),2230Vzyx302

11、4V由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省.因而 , 當(dāng)高為,340Vxyz考慮考慮:1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對(duì)稱(chēng)性可知利用對(duì)稱(chēng)性可知,30Vzyx2) 當(dāng)開(kāi)口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià) 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長(zhǎng)、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長(zhǎng)、寬、高尺寸相等 .最省,例7.34 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 17/19內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問(wèn)題函數(shù)的極值問(wèn)題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問(wèn)題函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1) 簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法, ),(yxf