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1、2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)同步專題提升練習(xí)題:圓錐曲線綜合(含答案)1直線過定點例1:已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓的離心率為,過左焦點且垂直于軸的直線交橢圓于,兩點,且(1)求的方程;(2)若直線是圓上的點處的切線,點是直線上任一點,過點作橢圓的切線,切點分別為,設(shè)切線的斜率都存在求證:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo)【答案】(1);(2)證明見解析,【解析】(1)由已知,設(shè)橢圓的方程為,因為,不妨設(shè)點,代入橢圓方程得,又因為,所以,所以,所以的方程為(2)依題設(shè),得直線的方程為,即,設(shè),由切線的斜率存在,設(shè)其方程為,聯(lián)立得,由相切得,化簡得,即,因為方程只有一解,所以,所以切線的方程為
2、,即,同理,切線的方程為,又因為兩切線都經(jīng)過點,所以,所以直線的方程為,又,所以直線的方程可化為,即,令,得,所以直線恒過定點2面積問題例2:已知橢圓的左、右焦點分別為、,焦距為4,直線與橢圓相交于、兩點,關(guān)于直線的對稱點在橢圓上斜率為的直線與線段相交于點,與橢圓相交于、兩點(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求四邊形面積的取值范圍【答案】(1);(2)【解析】(1)由橢圓焦距為4,設(shè),連結(jié),設(shè),則,又,得,解得,所以橢圓方程為(2)設(shè)直線方程:,、,由,得,所以,由(1)知直線:,代入橢圓得,得,由直線與線段相交于點,得,而與,知,由,得,所以,四邊形面積的取值范圍3參數(shù)的值與范圍例3:已知拋物線
3、的焦點,點在拋物線上,過焦點的直線交拋物線于,兩點(1)求拋物線的方程以及的值;(2)記拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點,若,求的值【答案】(1),;(2)【解析】(1)拋物線的焦點,則,拋物線方程為;點在拋物線上,(2)依題意,設(shè),設(shè)、,聯(lián)立方程,消去,得所以 ,且,又,則,即,代入得,消去得,則,則,當(dāng),解得,故4弦長類問題例4:已知橢圓的左右頂點是雙曲線的頂點,且橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為(1)求橢圓的方程;(2)若直線與相交于,兩點,與相交于,兩點,且,求的取值范圍【答案】(1);(2)【解析】(1)由題意可知:,又橢圓的上頂點為,雙曲線的漸近線為:,由點到直線的距離公式有:,橢圓方程
4、(2)易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為,代入,消去并整理得:,要與相交于兩點,則應(yīng)有:,設(shè),則有:,又又:,所以有:,將,代入,消去并整理得:,要有兩交點,則由有設(shè)、有,將代入有,令,令,所以在內(nèi)恒成立,故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,故5存在性問題例5:已知橢圓的左、右焦點分別為,點在橢圓上(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)是否存在斜率為2的直線,使得當(dāng)直線與橢圓有兩個不同交點,時,能在直線上找到一點,在橢圓上找到一點,滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由【答案】(1);(2)不存在,見解析【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為,則,在橢圓上,故橢圓的方程為(2)假設(shè)這樣的直線存在,設(shè)直線的方程為,
5、設(shè),的中點為,由,消去,得,且,故且,由,知四邊形為平行四邊形,而為線段的中點,因此為線段的中點,得,又,可得,點不在橢圓上,故不存在滿足題意的直線對點增分集訓(xùn)一、解答題1已知動圓過點并且與圓相外切,動圓圓心的軌跡為(1)求曲線的軌跡方程;(2)過點的直線與軌跡交于、兩點,設(shè)直線,設(shè)點,直線交于,求證:直線經(jīng)過定點【答案】(1);(2)見解析【解析】(1)由已知,軌跡為雙曲線的右支,曲線標(biāo)準(zhǔn)方程(2)由對稱性可知,直線必過軸的定點,當(dāng)直線的斜率不存在時,知直線經(jīng)過點,當(dāng)直線的斜率存在時,不妨設(shè)直線,直線,當(dāng)時,得,下面證明直線經(jīng)過點,即證,即,即,由,整理得,即即證經(jīng)過點,直線過定點2已知點在
6、橢圓上,設(shè),分別為橢圓的左頂點、下頂點,原點到直線的距離為(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)為橢圓在第一象限內(nèi)一點,直線,分別交軸、軸于,兩點,求四邊形的面積【答案】(1);(2)【解析】(1)因為橢圓經(jīng)過點,有,由等面積法,可得原點到直線的距離為,聯(lián)立兩方程解得,所以橢圓的方程為(2)設(shè)點,則,即直線,令,得從而有,同理,可得所以四邊形的面積為所以四邊形的面積為3已知點為圓的圓心,是圓上的動點,點在圓的半徑上,且有點和上的點,滿足,(1)當(dāng)點在圓上運動時,判斷點的軌跡是什么?并求出其方程;(2)若斜率為的直線與圓相切,與(1)中所求點的軌跡交于不同的兩點,且(其中是坐標(biāo)原點),求的取值范圍【答案】
7、(1)是以點,為焦點,焦距為2,長軸長為的橢圓,;(2)【解析】(1)由題意是線段的垂直平分線,所以,所以點的軌跡是以點,為焦點,焦距為2,長軸長為的橢圓,故點的軌跡方程是(2)設(shè)直線:,直線與圓相切,得,即,聯(lián)立,消去得:,得,所以,得,解得或,故所求范圍為4已知橢圓的焦距為,離心率為,圓,是橢圓的左右頂點,是圓的任意一條直徑,面積的最大值為2(1)求橢圓及圓的方程;(2)若為圓的任意一條切線,與橢圓交于兩點,求的取值范圍【答案】(1),;(2)【解析】(1)設(shè)點到軸距離為,則,易知當(dāng)線段在軸時,所以橢圓方程為,圓的方程為(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為,此時;設(shè)直線方程為:,直線為圓的切線,直線與橢圓聯(lián)立,得,判別式,由韋達(dá)定理得:,所以弦長,令,所以;綜上,5如圖,己知、是橢圓的左、右焦點,直線經(jīng)過左焦點,且與橢圓交,兩點,的周長為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)是否存在直線,使得為等腰直角三角形?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由【答案】(1);(2)不存在,見解析【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為,因為直線與軸的交點為,故又的周長為,即,故,所以,因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)不存在理由如下:先用反證法證明不可能為底邊,即由題意知,設(shè),假設(shè),則,又,
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