第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第七章第七章 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)第一節(jié)第一節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念第二節(jié)第二節(jié) 單正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)單正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)*第三節(jié)第三節(jié) 雙正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)雙正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的關(guān)系參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的關(guān)系第一節(jié)第一節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)這類問(wèn)題稱作這類問(wèn)題稱作假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題 .總體分布總體分布已知已知時(shí)時(shí)檢驗(yàn)未知參數(shù)的某個(gè)

2、假設(shè)檢驗(yàn)未知參數(shù)的某個(gè)假設(shè)總體分布總體分布未知未知時(shí)時(shí)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題我們將討論不同于參數(shù)估計(jì)的另一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題我們將討論不同于參數(shù)估計(jì)的另一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題. 這就是這就是根據(jù)樣本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個(gè)假設(shè)是否正確根據(jù)樣本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個(gè)假設(shè)是否正確.一、假設(shè)檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn)(hypothesis testing)的基本思想和方法的基本思想和方法數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 生產(chǎn)流水線上罐裝可樂(lè)不斷地封裝生產(chǎn)流水線上罐裝可樂(lè)不斷地封裝, 然后裝箱外運(yùn)然后裝箱外運(yùn). 怎么知道這批罐裝可樂(lè)的容量是否合格呢？怎么知道這批罐裝可樂(lè)的容量是否合格呢？把每一罐都打開倒入量杯把每一罐都打

3、開倒入量杯, 看看容量是否合于標(biāo)準(zhǔn)看看容量是否合于標(biāo)準(zhǔn). 這樣做顯然不行！這樣做顯然不行！罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和毫升和360毫升之間毫升之間.讓我們先看一個(gè)例子讓我們先看一個(gè)例子:每隔一定時(shí)間每隔一定時(shí)間, 抽查若干罐抽查若干罐. 如每隔如每隔1小時(shí)小時(shí), 抽查抽查5罐罐, 得得5個(gè)容量的值個(gè)容量的值x1, , x5, 根據(jù)這些值來(lái)判斷生產(chǎn)是否正常根據(jù)這些值來(lái)判斷生產(chǎn)是否正常.如如發(fā)現(xiàn)不正常發(fā)現(xiàn)不正常, 就就應(yīng)停產(chǎn)應(yīng)停產(chǎn), 找出原因找出原因, 排除故障排除故障, 然后再生產(chǎn)然后再生產(chǎn);如如沒(méi)有問(wèn)題沒(méi)有問(wèn)題, 就繼續(xù)按規(guī)定時(shí)間就繼續(xù)按規(guī)定時(shí)間再抽樣再抽樣,

4、以此監(jiān)督生產(chǎn)以此監(jiān)督生產(chǎn), 保證質(zhì)量保證質(zhì)量.通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查!數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 很明顯很明顯, 不能由不能由5罐容量的數(shù)據(jù)罐容量的數(shù)據(jù), 在把握不大的情況下就判斷生產(chǎn)不正常在把握不大的情況下就判斷生產(chǎn)不正常, 因?yàn)橥．a(chǎn)的損失是很大的因?yàn)橥．a(chǎn)的損失是很大的;當(dāng)然也不能總認(rèn)為正常當(dāng)然也不能總認(rèn)為正常, 有了問(wèn)題不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)有了問(wèn)題不能及時(shí)發(fā)現(xiàn), 這也要造成損失這也要造成損失.如何處理這兩者的關(guān)系如何處理這兩者的關(guān)系, 假設(shè)檢驗(yàn)面對(duì)的就是這種矛盾假設(shè)檢驗(yàn)面對(duì)的就是這種矛盾.在正常生產(chǎn)條件下在正常生產(chǎn)條件下, 由于由于種種隨機(jī)因素的影響種種隨機(jī)因素的影響,每罐可樂(lè)的容

5、量應(yīng)在每罐可樂(lè)的容量應(yīng)在355毫升上下波動(dòng)毫升上下波動(dòng). 這些因素中沒(méi)有哪一個(gè)占有特殊重要的地位這些因素中沒(méi)有哪一個(gè)占有特殊重要的地位. 因此因此, 根據(jù)根據(jù)中心極限定理中心極限定理, 假定每罐容量服從假定每罐容量服從正態(tài)分布正態(tài)分布是合理的是合理的.現(xiàn)在我們就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)在我們就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題.罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和毫升和360毫升之間毫升之間.這樣這樣, 我們可以認(rèn)為我們可以認(rèn)為x1, , x5是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體 n(,2)的樣本的樣本, 當(dāng)生產(chǎn)比較穩(wěn)定時(shí)當(dāng)生產(chǎn)比較穩(wěn)定時(shí), 2是一個(gè)常數(shù)是一個(gè)常數(shù). 數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 它的對(duì)立假設(shè)是：它的

6、對(duì)立假設(shè)是：稱稱h0為原假設(shè)為原假設(shè)(或或零假設(shè)零假設(shè))(null hypothesis);稱稱h1為備選假設(shè)為備選假設(shè)(或或?qū)α⒓僭O(shè)對(duì)立假設(shè)) (alternative hypothesis);.在實(shí)際工作中在實(shí)際工作中,往往把不輕易否定的往往把不輕易否定的命題作為原假設(shè)命題作為原假設(shè). h0： = 0 (0 = 355)h1： 0現(xiàn)在要檢驗(yàn)的假設(shè)是：現(xiàn)在要檢驗(yàn)的假設(shè)是：那么那么, 如何判斷原假設(shè)如何判斷原假設(shè)h0 是否成立呢是否成立呢?由于由于是正態(tài)分布的期望值是正態(tài)分布的期望值, 它的估計(jì)量是樣本均值它的估計(jì)量是樣本均值 ,因此可以根據(jù)因此可以根據(jù) 與與0的差距的差距 來(lái)判斷來(lái)判斷h0

7、是否成立是否成立.xx|0x較小較小時(shí)時(shí), 可以認(rèn)為可以認(rèn)為h0是是成立成立的的;當(dāng)當(dāng)|0x當(dāng)當(dāng)較大較大時(shí)時(shí), 應(yīng)認(rèn)為應(yīng)認(rèn)為h0 0不成立不成立, 即生產(chǎn)已不正常即生產(chǎn)已不正常. .|0x問(wèn)題歸結(jié)為對(duì)差異作定量的分析問(wèn)題歸結(jié)為對(duì)差異作定量的分析, 以確定其性質(zhì)以確定其性質(zhì).較大、較小是一個(gè)相對(duì)的概念較大、較小是一個(gè)相對(duì)的概念, 合理的界限在何處合理的界限在何處? 應(yīng)由什么原則來(lái)確定應(yīng)由什么原則來(lái)確定?數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 問(wèn)題是問(wèn)題是: 如何給出這個(gè)量的界限如何給出這個(gè)量的界限?這里用到人們?cè)趯?shí)踐中普遍采用的一個(gè)原則：這里用到人們?cè)趯?shí)踐中普遍采用的一個(gè)原則：小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生小概

8、率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生 .問(wèn)題是問(wèn)題是, 根據(jù)所觀察到的差異根據(jù)所觀察到的差異,如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用, 還是生產(chǎn)確實(shí)不正常？還是生產(chǎn)確實(shí)不正常？即即: 差異是差異是“抽樣誤差抽樣誤差”還是還是“系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差”所引起的所引起的?這里需要給出一個(gè)量的界限這里需要給出一個(gè)量的界限!我們稱這個(gè)小概率為我們稱這個(gè)小概率為顯著性水平顯著性水平(the level of significance), 用用表示表示.的選擇要根據(jù)實(shí)際情況而定的選擇要根據(jù)實(shí)際情況而定. 常取常取:0.1,0.01,0.05. 這種誤差反映偶然、非本質(zhì)的因素所引起的隨機(jī)

9、波動(dòng)這種誤差反映偶然、非本質(zhì)的因素所引起的隨機(jī)波動(dòng).然而然而, 這種隨機(jī)性的波動(dòng)是有一定限度的這種隨機(jī)性的波動(dòng)是有一定限度的, 如果差異如果差異超過(guò)超過(guò)了這個(gè)了這個(gè)限度限度, 則我們就則我們就不能不能用抽樣的隨機(jī)性來(lái)解釋了用抽樣的隨機(jī)性來(lái)解釋了.必須認(rèn)為這個(gè)差異反映了事物的本質(zhì)差別必須認(rèn)為這個(gè)差異反映了事物的本質(zhì)差別, 即反映了生產(chǎn)已不正常即反映了生產(chǎn)已不正常. 這種差異稱作這種差異稱作:“系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差”差異可能由抽樣的隨機(jī)性引起的差異可能由抽樣的隨機(jī)性引起的, 稱為稱為: “抽樣誤差抽樣誤差”或或 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 欲判斷假設(shè)欲判斷假設(shè)h0的真假的真假, 先假定先假定 h

10、0真真, 在此前提下構(gòu)造一個(gè)能說(shuō)明問(wèn)題的小概率事件在此前提下構(gòu)造一個(gè)能說(shuō)明問(wèn)題的小概率事件 a試驗(yàn)取樣試驗(yàn)取樣, 由樣本信息確定由樣本信息確定 a是否發(fā)生是否發(fā)生, 若小概率事件若小概率事件 a發(fā)生發(fā)生, 這與小概率原理相違背這與小概率原理相違背, 說(shuō)明試驗(yàn)的前提條件說(shuō)明試驗(yàn)的前提條件 h0不成立不成立, 拒絕拒絕 h0, 接受接受 h1;若小概率事件若小概率事件 a沒(méi)有發(fā)生沒(méi)有發(fā)生, 沒(méi)有理由拒絕沒(méi)有理由拒絕 h0, 只好接受只好接受h0概率反證法概率反證法:數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 提出假設(shè)提出假設(shè):選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:0(0,1)xunn : :由于由于 已知已知,它能衡量差異它能衡量差異

11、大小且分布已知大小且分布已知 .|0 x罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在 350 毫升和毫升和 360 毫升之間毫升之間. 一批可樂(lè)出廠前應(yīng)進(jìn)行抽樣檢查一批可樂(lè)出廠前應(yīng)進(jìn)行抽樣檢查, 現(xiàn)抽查了現(xiàn)抽查了n 罐罐,測(cè)得容量為測(cè)得容量為 x1, x2, , xn,問(wèn)這一批可樂(lè)的容量是否合格問(wèn)這一批可樂(lè)的容量是否合格?例例1: 現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂(lè)的例中現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂(lè)的例中:在提出原假設(shè)在提出原假設(shè)h0后后, 如何作出接受和拒絕如何作出接受和拒絕h0的結(jié)論呢的結(jié)論呢?h0： = 355h1： 355故我們可取故我們可取拒絕域拒絕域(或或否定域否定域)為：為： w: |u|

12、u/2也就是說(shuō)也就是說(shuō),“|u|u/2”是一個(gè)小概率事件是一個(gè)小概率事件.考察由樣本值算得該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值考察由樣本值算得該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值,如果如果落入?yún)^(qū)域落入?yún)^(qū)域w, 則拒絕則拒絕h0 ; 否則否則, 不能拒絕不能拒絕h0.2|puu 對(duì)給定的顯著性水平對(duì)給定的顯著性水平, 可以在查到分位點(diǎn)的值可以在查到分位點(diǎn)的值 u/2, 使使:數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 如果如果h0是對(duì)的是對(duì)的, 那么衡量差異大小的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量那么衡量差異大小的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量落入?yún)^(qū)域落入?yún)^(qū)域 w(拒絕域拒絕域)是個(gè)小概率事件是個(gè)小概率事件. 如果該統(tǒng)計(jì)量的如果該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值落入實(shí)測(cè)值落入w, 也就是說(shuō)也就是說(shuō),h0 成立下的小概率事

13、件發(fā)生了成立下的小概率事件發(fā)生了,那么就認(rèn)為那么就認(rèn)為h0不可信而否定它不可信而否定它. 否則否則我們就我們就不能否定不能否定h0(只好接受它只好接受它).這里所依據(jù)的邏輯是：這里所依據(jù)的邏輯是：不否定不否定h0并并不是肯定不是肯定h0一定對(duì)一定對(duì), 而只是說(shuō)而只是說(shuō)差異還不夠顯著差異還不夠顯著, 還沒(méi)有還沒(méi)有達(dá)到足以否定達(dá)到足以否定h0的的程度程度.所以假設(shè)檢驗(yàn)又叫所以假設(shè)檢驗(yàn)又叫: “顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn)”如果顯著性水平如果顯著性水平 取得取得很小很小, 則則拒絕域拒絕域也會(huì)比較也會(huì)比較小小.其產(chǎn)生的后果是其產(chǎn)生的后果是: h0難于被拒絕難于被拒絕.如果如果 很小很小的情況下的情況下h0仍

14、被拒絕仍被拒絕, 則說(shuō)明實(shí)際情況很可能與之有則說(shuō)明實(shí)際情況很可能與之有顯著差異顯著差異.基于這個(gè)理由基于這個(gè)理由, 人們常把人們常把 =0.05時(shí)拒絕時(shí)拒絕h0稱為是稱為是顯著顯著的的, 而把在而把在 =0.01時(shí)拒絕時(shí)拒絕h0稱為是稱為是高度顯著高度顯著的的.數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第一步：第一步：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)提出原假設(shè)和備擇假設(shè): : 5 .32:5 .32:10 hh已知已知 xn(, 2), 2未知未知.能衡量差異大小且分布已知能衡量差異大小且分布已知第二步：第二步：取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量, ,在在h0成立下求出它的分布成立下求出它的分布: :32.5 (5)6xtts 例例2

15、: 某某工廠生產(chǎn)的一種螺釘工廠生產(chǎn)的一種螺釘, 標(biāo)準(zhǔn)要求長(zhǎng)度是標(biāo)準(zhǔn)要求長(zhǎng)度是32.5毫米毫米. 實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品, 其長(zhǎng)度其長(zhǎng)度x 假定服從正態(tài)分布假定服從正態(tài)分布 n(, 2), 2未知未知, 現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件件, 得尺寸數(shù)據(jù)如下得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03問(wèn)問(wèn): 這批產(chǎn)品是否合格這批產(chǎn)品是否合格?解解: 分析分析: 這批產(chǎn)品這批產(chǎn)品(螺釘長(zhǎng)度螺釘長(zhǎng)度)的全體組成問(wèn)題的總體的全體組成問(wèn)題的總體 x. 現(xiàn)在要現(xiàn)在要檢驗(yàn)檢驗(yàn) e(x)是否為是否為 32.5.二、假設(shè)檢驗(yàn)的一

16、般步驟二、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 即：即：“| t |t/2(5)” 是一個(gè)是一個(gè)小概率事件小概率事件 . 第三步：第三步：對(duì)給定的顯著性水平：對(duì)給定的顯著性水平：=0.01, 查表確定臨界值查表確定臨界值: :0322. 4)5()5(005. 02 tt , ,使使: : 2|(5)ptt 得否定域得否定域(rejection region) w: | t |4.0322小概率事件在一次試小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生 .故不能拒絕故不能拒絕h0 .第四步：第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量 t 的實(shí)測(cè)值的實(shí)測(cè)值, ,| t |=2.9

17、971.645故拒絕故拒絕h0 , 即認(rèn)為這批燃料率較以往生產(chǎn)的有顯著的提高。即認(rèn)為這批燃料率較以往生產(chǎn)的有顯著的提高。 落入否定域落入否定域解解: :提出假設(shè)提出假設(shè): : 0100:40:hh00.051.645xuun 取統(tǒng)計(jì)量取統(tǒng)計(jì)量: :否定域?yàn)榉穸ㄓ驗(yàn)閣 :0.05uu =1.645例例1: 某廠生產(chǎn)的固體燃料推進(jìn)器的燃燒率服從正態(tài)分布某廠生產(chǎn)的固體燃料推進(jìn)器的燃燒率服從正態(tài)分布:2( ,),40/ ,2/ .ncm scm s 現(xiàn)在用新方法生產(chǎn)了一批推進(jìn)器。從中隨機(jī)取現(xiàn)在用新方法生產(chǎn)了一批推進(jìn)器。從中隨機(jī)取 n=25只, 測(cè)得燃燒率的樣本均值為測(cè)得燃燒率的樣本均值為: 41.25/ .xcm s 這批推進(jìn)器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進(jìn)器的燃燒率有這批推進(jìn)器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進(jìn)器的燃燒率有顯著的提高顯著的提高?取顯著性水平取顯著性水平 =0.05. 設(shè)在新方法下總體均方差仍為設(shè)在新方法下總體均方差仍為 2cm/s, 問(wèn)