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1、第三章 習(xí)題課其它,xy,x),x(cy)y, x(f00102求求 (1) c的值;的值; (2)兩個(gè)邊緣密度。)兩個(gè)邊緣密度。= 5c/24 ,c =24/5.100(2)xdxcyx dy 解解 (1) 21,Rfx y dxdy 故故yx xy01x 123022cxx dx 例例1 設(shè)設(shè) (X,Y) 的概率密度是的概率密度是解解求求 (1) c 的值的值; (2) 兩個(gè)邊緣密度兩個(gè)邊緣密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxf dyyxfxfX, 00,.Xxxfxf x y dyf x y dyf x y dy (2)xxy0yx 1xxx 10,0,0.Xxxyf
2、 x yfx 或或都都有有故故當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),01x ),2(5122xx注意取值范圍注意取值范圍xdyxy0)2(524綜上綜上 , .,0,10,25122其它其它xxxxfXxxyx xy01xx 00,.Xxxfxf x y dyf x y dyf x y dy 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),01x 解解 (2) dxyxfyfY, .0,0,01yfyxfxyyY故故都有都有對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) .,1011dxyxfdxyxfdxyxfyfyyyY時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yx yyy11y0yx),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其它, 010),2223(524)(2yyyyyfY綜上綜上 ,練
3、習(xí):練習(xí): 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度是的概率密度是 ,0,0,yexyxfx y 其其它它求求( X,Y )關(guān)于關(guān)于 X 和和 Y 的邊緣概率密度的邊緣概率密度.xyx xy0 xx ,Xfxfx y dy 解解當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x 00Xfxdy yXxfxedy xe yxe 故故 ,0,0,0.xXexfxx yx xy0 ,Yfyfx y dx yyy當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0y 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0y 00Yfydx 0yyYfyedx yye 故故 ,0,0,0.yYyeyfyy 設(shè)設(shè)G是平面上的有界區(qū)域,其面積為是平面上的有界區(qū)域,其面積為A.若二若二維隨機(jī)變量(維隨機(jī)變量( X
4、,Y)具有概率密度)具有概率密度其它, 0),(,1),(GyxAyxf則稱(則稱(X,Y)在)在G上服從均勻分布上服從均勻分布. 向平面上有界區(qū)域向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點(diǎn),若質(zhì)點(diǎn)落上任投一質(zhì)點(diǎn),若質(zhì)點(diǎn)落在在G內(nèi)任一小區(qū)域內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比,的概率與小區(qū)域的面積成正比,而與而與B的形狀及位置無(wú)關(guān)的形狀及位置無(wú)關(guān). 則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) (X,Y)在在G上服從均勻分布上服從均勻分布.例例例例 2 設(shè)設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域服從如圖區(qū)域G上的上的均勻分布,均勻分布,(1)求求(X,Y)的概率密度;的概率密度;(2)求求P(Y2X);(3)求求F(0.5,0.5)。2
5、11414GG面積面積的的的的O 0.5 1 xG解解 (1)區(qū)域區(qū)域G的面積為的面積為1GyxGyxyxf),(0),(1),(2) G1y=2xy1P(Y2X)114GG的面積的面積(3)F(0.5,0.5)=P(X0.5,Y0.5)G2 例例3 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時(shí)時(shí)30分在某地會(huì)面分在某地會(huì)面.如如果甲來(lái)到的時(shí)間在果甲來(lái)到的時(shí)間在12:15到到12:45之間是均勻分布之間是均勻分布. 乙乙獨(dú)立地到達(dá)獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時(shí)間在而且到達(dá)時(shí)間在12:00到到13:00之間是均勻之間是均勻分布分布. 試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)
6、5分鐘的概率分鐘的概率. 又甲先到的概率是多少?又甲先到的概率是多少?解解 設(shè)設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻為甲到達(dá)時(shí)刻,Y為乙到達(dá)時(shí)刻為乙到達(dá)時(shí)刻以以12時(shí)為起點(diǎn)時(shí)為起點(diǎn),以分為單位以分為單位,依題意依題意,XU(15,45), YU(0,60)其它, 04515,301)(xxfX所求為所求為P( |X-Y | 5) , 其它其它, 0600,601)(yyfY其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率由獨(dú)立性由獨(dú)立性先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)超過(guò)5分鐘的概率分鐘的概率P(XY)解一解一 45155x5xdxdy18001P(
7、| X-Y| 5 ) xy015451060405yx5 yx=P( -5 X -Y 5)xy01545106040yx P(XY) 451560 xdxdy180011 2. 1 6. 解二解二5| yx |dxdy18001P(X Y)1 6. P( | X-Y| 5 ) 類似的問(wèn)題如:類似的問(wèn)題如: 甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭,設(shè)兩船各自獨(dú)甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭,設(shè)兩船各自獨(dú)立地到達(dá),并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的立地到達(dá),并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小時(shí),乙船需停泊小時(shí),乙船需停泊2小時(shí),而該碼頭小時(shí),而該碼頭只能停泊一艘船,試求其中一艘船
8、要等待碼頭空出只能停泊一艘船,試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率的概率.定理定理2.3設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù)Y=g(X), y=g(x)為連續(xù)函數(shù)。為連續(xù)函數(shù)。, 2 , 1, kpxXPkk(1) 若若X為離散型隨機(jī)變量,其分布律為為離散型隨機(jī)變量,其分布律為11|()|( ) ()().(1)kkkkkkg xpE YE g Xg xp且收斂,則有(2)( )|( )|( )d( ) ()( ) ( )d .(2)Xf xg xf xxE YE g Xg x f xx若 為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為,且收斂,則有定理定理3.2設(shè)設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量
9、,為二維隨機(jī)變量,g(x,y)為二元連為二元連續(xù)函數(shù)。續(xù)函數(shù)。的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為函數(shù)函數(shù)絕對(duì)收斂,則隨機(jī)變量絕對(duì)收斂,則隨機(jī)變量且級(jí)數(shù)且級(jí)數(shù)),(),(11YXgpyxgijijji 1若若(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布律為為二維離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布律為, 2 , 1, 2 , 1, jipyYxXPijji11 (, )( ,).(1)ijijijE g X Yg x yp (, )( , ) ( , )d d(2)E g X Yg x y f x yx y絕對(duì)收斂,則隨機(jī)變量函數(shù)絕對(duì)收斂,則隨機(jī)變量函數(shù)g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為注意,若注意,若(X,Y)為
10、二維連續(xù)型隨機(jī)變量,其聯(lián)合為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,其聯(lián)合概率密度為概率密度為f(x,y). 有有2若若(X,Y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量,其聯(lián)合概率密度為為二維連續(xù)隨機(jī)變量,其聯(lián)合概率密度為f(x,y)且廣義積分且廣義積分 yxyxfyxgdd),(),(也就是說(shuō),對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量,計(jì)算也就是說(shuō),對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量,計(jì)算Eg(X)用用定理定理3.2式比用定理式比用定理2.3計(jì)算方便。計(jì)算方便。但當(dāng)?shù)?dāng)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量時(shí),由于求邊為二維離散型隨機(jī)變量時(shí),由于求邊緣分布律不復(fù)雜,用定理緣分布律不復(fù)雜,用定理2.3計(jì)算計(jì)算Eg(x)稍簡(jiǎn)潔些。稍簡(jiǎn)潔些。 ()( ) ( , )d dE
11、 g Xg x f x yx yxyyxfxgdd),()( ,)d()(xxfxgX 例例4設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)只能取下列數(shù)值中的值:只能取下列數(shù)值中的值:(0,- -1),(- -1,1),(0,1),(2,- -1), 且取這些值的概率依次為且取這些值的概率依次為0.2,0.1,0.3,0.4. 求:求:(1)E(X2);(2)E(XY).解解由題意寫出由題意寫出(X,Y)的聯(lián)合分布律并計(jì)算邊緣分的聯(lián)合分布律并計(jì)算邊緣分布律如下:布律如下: XY-102PY=yj-100.20.40.610.10.300.4PX=xi0.10.50.412222(1)2.3()( 1)
12、0.100.520.41.7.E X 由定理,(2)3.2()( 1)( 1)0( 1) 10.10( 1)0.201 0.32( 1)0.42 1 00.9.ijijijE XYx y p 由定理, XY-10100.070.180.1510.080.320.20練習(xí):設(shè)聯(lián)合分布率如下所示,._)5, 3cov(22YX則例例5設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 ., 0,0 , 10,3),(其他其他xyxxyxf).()4();()3();()2();(),()1(2XYEYXEYEXEXE 求:求:解解用定理用定理3.2計(jì)算。計(jì)算。,43d3d3ddd),()()1(103
13、0210 xxyxxyxyxxfXEx.53d3d3ddd),()(104031022 xxyxxyxyxfxXEx.83d23d3ddd),()()2(103010 xxyxyxyxyxyfYEx.89d29d)(3ddd),()()()3(103010 xxyyxxxyxyxfyxYXEx.103d23d3ddd),()()4(1040210 xxyyxxyxyxxyfXYEx例例6 6 已知已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為YX1211/31/62a1/93b1/18X123P1/2a+1/9b+1/18Y12Pa+b+1/31/3試確定常數(shù)試確定常數(shù)a,b,使,使X與與Y相互獨(dú)
14、立。相互獨(dú)立。解解 先求出先求出(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊緣分布律的邊緣分布律要使要使X與與Y相互獨(dú)立,可用相互獨(dú)立,可用pij =pipj來(lái)確定來(lái)確定a,b 。P(X=2,Y=2)= P(X=2)P(Y=2), P(X=3,Y=2)= P(X=3)P(Y=2),即即 31181181319191ba9192ba因此,因此, (X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為YX12pi11/31/61/222/91/91/331/91/181/6pj2/31/3經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)X與與Y是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。例例7 7 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形
15、區(qū)域在矩形區(qū)域G=(x,y)|0 x 2,0 y 1上服從上服從均勻分布,若均勻分布,若YXYXU01YXYXV2021試求試求(U,V)的聯(lián)合分布律,并判斷的聯(lián)合分布律,并判斷U與與V是否相互獨(dú)立。是否相互獨(dú)立。解解 (X,Y)在在G上服從均勻分布,則聯(lián)合密度函數(shù)為上服從均勻分布,則聯(lián)合密度函數(shù)為O 1 2 xy1y=xx=2yGGyxGyxyxf),(0),(21),()()2,()0, 0(YXPYXYXPVUP yxxdydxdxdyyxf1014121),(0)2,() 1, 0(YXYXPVUP)2()2,()0, 1(YXYPYXYXPVUPyxyyydxdydxdyyxf210
16、24121),()2()2,() 1, 1(YXPYXYXPVUP yxxdydxdxdyyxf220202121),(U,V)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為VU01pi01/401/411/41/23/4pj1/21/2經(jīng)檢驗(yàn),經(jīng)檢驗(yàn), U和和V不是相互獨(dú)立的。其中不是相互獨(dú)立的。其中PU=0,V=0 PU=0 PV=0 中心極限定理可以解釋如下:中心極限定理可以解釋如下: 假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和,其中每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和的作用都很機(jī)變量的和,其中每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和的作用都很微小,則可以認(rèn)為這個(gè)隨
17、機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分微小,則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分布的。布的。 在實(shí)際工作中,只要在實(shí)際工作中,只要n足夠大,便可把獨(dú)立同分足夠大,便可把獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和當(dāng)作正態(tài)變量。布的隨機(jī)變量之和當(dāng)作正態(tài)變量。 一、獨(dú)立同分布的中心極限定理,即一、獨(dú)立同分布的中心極限定理,即列維列維-林德貝格林德貝格(Levy-Lindeberg)例例8 將一顆骰子連擲將一顆骰子連擲100次,則點(diǎn)數(shù)之和不少于次,則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少?的概率是多少?解解 設(shè)設(shè)Xk為第為第k 次擲出的點(diǎn)數(shù),次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,100,則,則X1,X2,X100獨(dú)立同分布,而且獨(dú)立同分布,而且2
18、7)(iXE由獨(dú)立同分布中心極限定理由獨(dú)立同分布中心極限定理1235102710050015001001iiXP0)78. 8(1123544961)(612iikXD二、德莫佛二、德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理(De Moivre-Laplace)此定理表明,正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布。當(dāng)此定理表明,正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布。當(dāng)n充充分大時(shí),服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率計(jì)算可以轉(zhuǎn)化分大時(shí),服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)隨機(jī)變量的概率計(jì)算。為正態(tài)隨機(jī)變量的概率計(jì)算。例例9 在一家保險(xiǎn)公司里有在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn),每個(gè)人參加壽命保險(xiǎn),每人每年付人每
19、年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.6%,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元,問(wèn):元,問(wèn):(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大?保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大?(2)其他條件不變,為使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)有其他條件不變,為使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)有99%的的概率不少于概率不少于60000元,賠償金至多可設(shè)為多少?元,賠償金至多可設(shè)為多少?解解 設(shè)設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù),則表示一年內(nèi)死亡的人數(shù),則XB(n,p),其中,其中n= 10000,p=0.6%, np=60, npq=59.64設(shè)設(shè)Y表示保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn),則表示保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn),則 Y=10000 12- -1000X于是由棣莫佛于是由棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理(1)P(Y 0)=P(10000 12- -1000X 0) =1 P(X 120) 1 (7.769)=0;99. 0994. 0006. 010000006. 01000060000a(2)設(shè)賠償金為設(shè)賠償金為a元,則元,則 P(Y60000)=P(10000 12- -aX60000) =P(X60000/a
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