北京郵電大學高等數(shù)學(6)課件

1、北京郵電大學高等數(shù)學(6)北京郵電大學高等數(shù)學(6)xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM設平面上的任一點為設平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程n北京郵電大學高等數(shù)學(6),0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點法式方程平面的點法式方程 平面上的點都滿足上方程，不在平面上的平面上的點都滿足

2、上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,CBAn 已知點已知點).,(000zyx北京郵電大學高等數(shù)學(6)例例 1 1 求求過過三三點點)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx北京郵電大學高等數(shù)學(6)例例 2 2 求過點求過點)1 , 1

3、 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解北京郵電大學高等數(shù)學(6)由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般方程二、平面的一般方程北京郵電大學高等數(shù)學(6)平面一般方程的幾種特殊情況：平面

4、一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標面；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.北京郵電大學高等數(shù)學(6)例例 3 3 設設平平面面過過原原點點及及點點)2, 3, 6( ，且且與與平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.設平面為設平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2,

5、3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解北京郵電大學高等數(shù)學(6)例例 4 4 設設平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設平面為設平面為, 0 DCzByAx將三點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解北京郵電大學高等數(shù)學(6),aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設方程得代入所設方程得1 czbyax平

6、面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸上截距軸上截距北京郵電大學高等數(shù)學(6)例例 5 5 求平行于平面求平行于平面0566 zyx而與三個坐而與三個坐標面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程標面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.設平面為設平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解北京郵電大學高等數(shù)學(6),61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161

7、611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為北京郵電大學高等數(shù)學(6)定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角北京郵電大學高等數(shù)學(6)按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位

8、置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 北京郵電大學高等數(shù)學(6)例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos 北京郵電大學高等數(shù)學(6)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 ,

9、 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.北京郵電大學高等數(shù)學(6)例例7 7 設設),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一點點，求求0P到到平平面面的的距距離離. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解北京郵電大學高等數(shù)學(6) 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(C

10、BAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 北京郵電大學高等數(shù)學(6)0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 點到平面距離公式點到平面距離公式北京郵電大學高等數(shù)學(6)平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點到平面的距離公式點到平面的距離公式.點法式方程點法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意兩平面的（注意兩平面的位置位置特征）特征）四、小結(jié)四、小結(jié)北京郵電大學高等數(shù)學

11、(6)思考題思考題 若若平平面面02 zkyx與與平平面面032 zyx的的夾夾角角為為4 ，求求? k北京郵電大學高等數(shù)學(6)思考題解答思考題解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k北京郵電大學高等數(shù)學(6)一、一、 填空題：填空題：1 1、 平面平面0 CzByAx必通過必通過_， （其中（其中 CBA,不全為零） ；不全為零） ；2 2、平面、平面0 DCzBy_x軸；軸；3 3、平面、平面0 CzBy_x軸；軸；4 4、通過點、通過點)1,0,3( 且與平面且與平面012573 zyx平平 行的平面方程為行的平面方程為 _ _

12、；5 5、通過、通過),0,0()0,0()0,0,(cba、三點的平面方三點的平面方 _；6 6、 平面平面0522 zyx與與xoy面的夾角余弦為面的夾角余弦為_ _ _，與，與yoz面的夾角余弦為面的夾角余弦為_， 與與zox面的夾角的余弦為面的夾角的余弦為_；練練 習習 題題北京郵電大學高等數(shù)學(6)二、二、 指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：1 1、 0632 yx；2 2、 1 zy；3 3、 056 zyx. .三、三、 求過點求過點)2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三點的三點的 平面方程平面方程 . .四、四、 點點)1,0,1( 且平行于向量且平行于向量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的平面方程的平面方程 . .五五、 求求通通過過Z軸軸和和點點)2,1,3( 的的平平面面方方程程 . .六六、 求求與與已已知知平平面面0522 zyx平平 行行且且與與 三三坐坐標標面面所所構(gòu)構(gòu)成成的的四四面面體體體體積積為為 1 1 的的平平面面方方程程 . .北京郵電大學高等數(shù)學(6)一一、1 1、( (0 0, ,0 0, ,0 0)