剛體運(yùn)動學(xué)與轉(zhuǎn)動定律

1、第五章第五章 剛體運(yùn)動學(xué)剛體運(yùn)動學(xué)一、剛體一、剛體(1) 特殊的質(zhì)點(diǎn)系特殊的質(zhì)點(diǎn)系。 (3) 理想化模型理想化模型受力時受力時形狀形狀和和體積體積完全不變化的質(zhì)點(diǎn)系完全不變化的質(zhì)點(diǎn)系(2) 在力作用下，組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)間的距離始終在力作用下，組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變保持不變。說明說明(4) 有關(guān)質(zhì)點(diǎn)系的規(guī)律都可用于剛體。有關(guān)質(zhì)點(diǎn)系的規(guī)律都可用于剛體。 (5) 剛體的特點(diǎn)，規(guī)律的表示還可較一般的質(zhì)點(diǎn)系有所簡化。剛體的特點(diǎn)，規(guī)律的表示還可較一般的質(zhì)點(diǎn)系有所簡化。定義定義:University physics 二、剛體的平動二、剛體的平動定義：定義：剛體運(yùn)動時，若在剛體內(nèi)所作的任一條

2、直線都始終剛體運(yùn)動時，若在剛體內(nèi)所作的任一條直線都始終保持和自身平行保持和自身平行 剛體平動剛體平動 平動的特點(diǎn)平動的特點(diǎn)(1) 剛體上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡相同剛體上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡相同BArrBAvvBAaa(2) 用用質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動的運(yùn)動ABABA B 剛體的平動剛體的平動來代替來代替例如例如:升降機(jī)升降機(jī)汽缸中的活塞汽缸中的活塞University physics三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動平動和轉(zhuǎn)動，可以描述所有質(zhì)元的運(yùn)動。平動和轉(zhuǎn)動，可以描述所有質(zhì)元的運(yùn)動。剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一直線同一直線作作圓周圓周運(yùn)動運(yùn)動說明說明轉(zhuǎn)軸固定不動轉(zhuǎn)軸固定不動-定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動

3、：陀螺陀螺門門直升飛機(jī)的螺旋槳直升飛機(jī)的螺旋槳例如例如:門門固定在地面上的電動機(jī)轉(zhuǎn)子固定在地面上的電動機(jī)轉(zhuǎn)子例如例如:例如例如:一個車輪的滾動一個車輪的滾動,擰緊或松開螺帽擰緊或松開螺帽,鉆頭鉆頭剛體的剛體的平動平動和和繞定軸轉(zhuǎn)動繞定軸轉(zhuǎn)動是剛體的是剛體的兩種最簡單最基本運(yùn)動兩種最簡單最基本運(yùn)動University physics3. 剛體的一般運(yùn)動剛體的一般運(yùn)動質(zhì)心的平動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+剛體的平面運(yùn)動剛體的平面運(yùn)動觀察行駛的車的輪子，可以看到輪子的上半部輪輻幾乎連成一觀察行駛的車的輪子，可以看到輪子的上半部輪輻幾乎連成一片，而下半部輪輻卻仍舊可以一條一條的辨別清楚。這就使

4、人片，而下半部輪輻卻仍舊可以一條一條的辨別清楚。這就使人產(chǎn)生一個印象，仿佛車輪的上半部要比下半部旋轉(zhuǎn)得快些。真產(chǎn)生一個印象，仿佛車輪的上半部要比下半部旋轉(zhuǎn)得快些。真是這樣的嗎？試分析之。是這樣的嗎？試分析之。討論討論車輪的上半部的確要比下半部移動車輪的上半部的確要比下半部移動得更快一些。得更快一些。車輪上任意一點(diǎn)，在滾動過程中同時參與兩個運(yùn)動：繞過質(zhì)心車輪上任意一點(diǎn)，在滾動過程中同時參與兩個運(yùn)動：繞過質(zhì)心（車輪中心）的軸的轉(zhuǎn)動和隨質(zhì)心一起向前的平動，因此任一（車輪中心）的軸的轉(zhuǎn)動和隨質(zhì)心一起向前的平動，因此任一點(diǎn)的瞬時速度應(yīng)是車輪的平動速度與該點(diǎn)相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動速點(diǎn)的瞬時速度應(yīng)是車輪的平動速度

5、與該點(diǎn)相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動速度之和。度之和。藍(lán)色藍(lán)色代表車輪的平動速度；代表車輪的平動速度；粉色粉色代表繞軸心的轉(zhuǎn)動速度；代表繞軸心的轉(zhuǎn)動速度；紅色紅色代表二者的合矢量。代表二者的合矢量。分析：車輪無滑動的滾動分析：車輪無滑動的滾動)(=ttdd=22dd=dd=ttzMIII P角坐標(biāo)角坐標(biāo)角速度角速度角加速度角加速度1. 描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角量描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角量C )(2 21 )( 0202200ttt當(dāng)當(dāng)與質(zhì)點(diǎn)的勻加速直線運(yùn)動公式相象與質(zhì)點(diǎn)的勻加速直線運(yùn)動公式相象University physics2. 定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度和加速度定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度和加速度 rv2ran

6、 rtaddv任意點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動任意點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動, 且且 ， 都相同都相同University physicsvrtanaaMO一大型回轉(zhuǎn)類一大型回轉(zhuǎn)類“觀覽圓盤觀覽圓盤”如圖所示。圓盤的半徑如圖所示。圓盤的半徑R=25 m，供人乘坐的吊箱高度供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圓盤繞水平軸均速轉(zhuǎn)動，。若大圓盤繞水平軸均速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為0.1 r/min。 例：例：300601022T)cos(0tRxxBALtRLyyBA)sin(0222)(RLyxAA解：解：求：求：吊箱底部吊箱底部A點(diǎn)的軌跡及點(diǎn)的軌跡及A點(diǎn)的速度和加速度的大小。點(diǎn)的速度和加速度的大小。吊箱平動吊箱平

7、動University physics3002522RAyAxAvvvsm 260/.)cos(dd02tRtaAxAxv2322222sm 107230025/.RaaaAyAxA)sin(dd02tRtaAyAyv)sin(dd0tRtxAAxv)cos(dd0tRtyAAyvUniversity physicsUniversity physics四、剛體定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動學(xué)的兩類問題四、剛體定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動學(xué)的兩類問題u 第一類問題第一類問題 - 微分問題微分問題u 第二類問題第二類問題 - 積分問題積分問題一飛輪繞定軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)過的角度與時間的關(guān)系為一飛輪繞定軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)過的角度與時間的關(guān)系為

8、=10 t 2，式，式中中 的單位為的單位為rad，t 的單位為的單位為s 。根據(jù)定義，飛輪的角速度為根據(jù)定義，飛輪的角速度為t dd飛輪的角加速度為飛輪的角加速度為t dd距轉(zhuǎn)軸距轉(zhuǎn)軸r處質(zhì)點(diǎn)的切向加速度處質(zhì)點(diǎn)的切向加速度ra t法向加速度法向加速度2ran例例1：解：解：求：求：(1)飛輪的角速度和角加速度；飛輪的角速度和角加速度；(2)距轉(zhuǎn)軸距轉(zhuǎn)軸r處的質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度。處的質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度。 t 2020r2022400rtvrtanaaMOUniversity physics電動機(jī)轉(zhuǎn)子作定軸轉(zhuǎn)動，開始時它的角速度電動機(jī)轉(zhuǎn)子作定軸轉(zhuǎn)動，開始時它的角速度 0 =

9、0，經(jīng)，經(jīng)150s其轉(zhuǎn)速達(dá)到其轉(zhuǎn)速達(dá)到12000r/min，已知轉(zhuǎn)子的角加速度，已知轉(zhuǎn)子的角加速度 與與時間時間t的平方成正比。的平方成正比。根據(jù)題意，設(shè)根據(jù)題意，設(shè) 2kt （k為比例常量）為比例常量） 由角加速度的定義，有由角加速度的定義，有2ddktt分離變量并積分，有分離變量并積分，有dtktt020d在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。例例2：解：解：求：求：t 時刻轉(zhuǎn)子的角速度為時刻轉(zhuǎn)子的角速度為331kt當(dāng)當(dāng)t =150s，轉(zhuǎn)子的角速度為，轉(zhuǎn)子的角速度為1 -srad40060120002則有則有33tk4-33srad101504003Universit

10、y physics4-333srad1015040033tk由此得由此得 331031t 由角速度的定義由角速度的定義 ，得轉(zhuǎn)子在，得轉(zhuǎn)子在150s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為t ddtt d1031331500rad105 .16872因而轉(zhuǎn)子在這一段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為因而轉(zhuǎn)子在這一段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為2Nr102682105 .168722本次作業(yè)（下周二交）本次作業(yè)（下周二交）4.1.74.2.84.2.114.3.85.3.6University physics力的力的大小大小、力的、力的方向方向和力的和力的作用線作用線相對于轉(zhuǎn)相對于轉(zhuǎn)軸的位置是決定剛體轉(zhuǎn)動效果的重要因素。軸的位置是決

11、定剛體轉(zhuǎn)動效果的重要因素。一、力矩一、力矩力臂：力臂：力力 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸z的力矩的力矩: u 若剛體所受力若剛體所受力 在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)在轉(zhuǎn)動平面內(nèi) FFdMzrOzdFPsinrd FFrsin=rOzdFPF/Fu 若剛體所受力若剛體所受力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi) F在定軸轉(zhuǎn)動中，只有在定軸轉(zhuǎn)動中，只有 起作用起作用力力 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸z的力矩的力矩平行于轉(zhuǎn)軸平行于轉(zhuǎn)軸 分量不能使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動分量不能使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動F/FsinrFdFMzF剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定律剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定律University physicsiiiiamfF=+取一質(zhì)量元取一質(zhì)量元切線方向切線方向?qū)潭ㄝS的力矩對固定軸的

12、力矩iirm對所有質(zhì)元對所有質(zhì)元合內(nèi)力矩合內(nèi)力矩 = 0合外力矩合外力矩 M剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量 JMJ二、二、 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定律剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定律iiiiamfF2iiiiiirmrfrF)(2iiiiirmrfrFifiroiFiF ifUniversity physicsl 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律中的剛體定軸轉(zhuǎn)動定律中的M、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動慣量J和角加速度和角加速度 三個物三個物 理量都是相對于同一轉(zhuǎn)軸而言的；理量都是相對于同一轉(zhuǎn)軸而言的；JM 討論討論l 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律中的剛體定軸轉(zhuǎn)動定律中的M是作用在剛體上的合外力矩；是作用在剛體上的合外力矩；l 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律僅適用于慣性系。

13、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律僅適用于慣性系。注意注意aFmJM 合外力合外力合外力矩合外力矩加速度加速度角加速度角加速度m：質(zhì)點(diǎn)的慣性質(zhì)量：質(zhì)點(diǎn)的慣性質(zhì)量J：剛體的轉(zhuǎn)動慣量：剛體的轉(zhuǎn)動慣量類比：質(zhì)點(diǎn)的牛頓第二定律與剛體的定軸轉(zhuǎn)動類比：質(zhì)點(diǎn)的牛頓第二定律與剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律定律轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 J 是量度剛體是量度剛體轉(zhuǎn)動慣性的物理量轉(zhuǎn)動慣性的物理量。University physics2=iirmJ定義式定義式質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量不連續(xù)分布2=iirmJ質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布VmrJd2dmmrz處理方法處理方法:在在V上選取上選取一個一個dm, 計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的三個要素：計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的三個要素： (1)總

14、質(zhì)量總質(zhì)量 (2)質(zhì)量分布質(zhì)量分布 (3)轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置三、轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量練習(xí)練習(xí). .由長由長 l 的輕桿連接的質(zhì)點(diǎn)如圖所示，求質(zhì)點(diǎn)系對過的輕桿連接的質(zhì)點(diǎn)如圖所示，求質(zhì)點(diǎn)系對過 A 垂直于紙面的軸的轉(zhuǎn)動慣量垂直于紙面的軸的轉(zhuǎn)動慣量llllAmm2m3m4m5222232254232ml)l)(mm()l(mmlJ 例：例：圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量dmOmmRJ02d2mRmRmmR02d例：例：兩根等長、質(zhì)量均勻分布的兩根等長、質(zhì)量均勻分布的 細(xì)木棒和細(xì)鐵棒細(xì)木棒和細(xì)鐵棒 繞端點(diǎn)軸繞端點(diǎn)軸 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量LzOxdmMLxxJ02d 木鐵JJxLxL

15、Mx02d231ML質(zhì)量分布的均勻性對圓環(huán)繞質(zhì)量分布的均勻性對圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量有影響嗎中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量有影響嗎?問題：問題：University physicsOLxdmMz20231dMLxxJLLOxdmM2222121dMLxxJ/L/Lz例：例：質(zhì)量均勻分布的圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量均勻分布的圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量ROmrdrrrsd2d smddmmrJ02drrRmd22rRmrd22RrrRm032d222RmUniversity physics求均勻的薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量求均勻的薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量 例：例：解：解：R 切為許多垂直于軸的切為許多垂直

16、于軸的圓環(huán)圓環(huán)zmmrJdd2r24 Rm d2dRrm232mR dsin2dmm sinRr dsin2)sin(dd22mRmrJ dsin2)sin(20mRJUniversity physics例例.求質(zhì)量求質(zhì)量 m ,半徑半徑 R 的均勻球體對直徑的轉(zhuǎn)動慣量的均勻球體對直徑的轉(zhuǎn)動慣量解：解：以距中心以距中心 ，厚，厚 的球殼的球殼 為積分元為積分元rrdrrVd4d2 334Rm Vmdd 342d2d32dRrmrrmJ 234052d2dmRRrmrJJR orrdRm 關(guān)于計(jì)算關(guān)于計(jì)算 J 的幾條規(guī)律的幾條規(guī)律1. 對于同一轉(zhuǎn)軸對于同一轉(zhuǎn)軸 J 具有可疊加性具有可疊加性iJJ

17、iiizrmJ2例如：由多個剛體組成的系統(tǒng)例如：由多個剛體組成的系統(tǒng)J1J221JJJO2121MLJz22ZZLJJM 例：例：求均勻細(xì)棒對其一端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量求均勻細(xì)棒對其一端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量zMLz2.平行軸定理平行軸定理zdCmz2+=mdJJCz剛體繞任意軸剛體繞任意軸剛體繞通過質(zhì)心的軸剛體繞通過質(zhì)心的軸兩軸間垂直距離兩軸間垂直距離University physics213ML求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量例：例：解：解： 為兩個實(shí)心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量的差值為兩個實(shí)心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量的差值圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為22ddR

18、mJ Vmdd lRd2 實(shí)心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為實(shí)心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為2202dRlRJl lR421 lRRm) (2122 空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 )(214142lRlRJ )(212122RRmzR1R2lmUniversity physics解法二：解法二：(1)lrrVm)d2(dd)-(2=d2=d=41423221RRlrrlmrJRR解：在半徑解：在半徑 r (R1 r R2) 處，處，取一薄圓柱殼形狀的質(zhì)元，其取一薄圓柱殼形狀的質(zhì)元，其長為長為 l，半徑為，半徑為 r，厚度為，厚度為dr。設(shè)筒體的密度為設(shè)筒體的密度為 ，則該質(zhì)元

19、，則該質(zhì)元的質(zhì)量為：的質(zhì)量為：zR2R1OzOrdrl圓筒的體積：圓筒的體積：)-(=2122RRlV將式將式 (2)代入式代入式 (1)，(2)(21)(2)(22122212221224142RRmRRRRlRRlJ(3)說明：本題的關(guān)鍵是正確表示出質(zhì)元的質(zhì)量說明：本題的關(guān)鍵是正確表示出質(zhì)元的質(zhì)量dm。又圓筒體積與其密度又圓筒體積與其密度 之乘積，就是整個圓筒的質(zhì)量之乘積，就是整個圓筒的質(zhì)量 m，即：即：)-(/=/=2122RRlmVm從半徑為從半徑為R 的均質(zhì)圓盤上挖掉一塊半徑為的均質(zhì)圓盤上挖掉一塊半徑為r 的小圓盤，該系的小圓盤，該系統(tǒng)的質(zhì)量為統(tǒng)的質(zhì)量為m,兩圓盤中心兩圓盤中心O 和

20、和O相距為相距為d ，且，且(d + r) R d O ORr挖掉小圓盤后，該系統(tǒng)對垂直于盤面挖掉小圓盤后，該系統(tǒng)對垂直于盤面, 且過中心軸的且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 例：例：解：解：求：求：使用補(bǔ)償法使用補(bǔ)償法則填滿后的總質(zhì)量為則填滿后的總質(zhì)量為m+m/設(shè)小圓盤的質(zhì)量為設(shè)小圓盤的質(zhì)量為m/2222/rRrRmmm)(222/rRmrm2/21RmmJ）（滿2/2/21dmrmJo小oJJJ小滿mUniversity physics 3.對薄平板剛體的垂直軸定理對薄平板剛體的垂直軸定理 y rix z yi xi mi2iizrmJ22iiiiymxmyxJJ o（僅對薄剛體板成立）（僅對

21、薄剛體板成立） 例：例：求對圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量求對圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量221mRJzyxzJJJyxJJ 已知已知垂直軸定理垂直軸定理241mRJJyx yx z 圓盤圓盤 R C mUniversity physics四、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用舉例四、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用舉例University physics例例1：一剛體系統(tǒng)，如圖所示。一剛體系統(tǒng)，如圖所示。已知，兩輪半徑為已知，兩輪半徑為 R、r，對軸的，對軸的轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為21J ,J，繩子與滑輪間無相對滑動，繩子與滑輪間無相對滑動，求：求：兩物的加速度、繩子的張力兩物的加速度、繩子的張力?12R r O 解：解：111maTgm222magmTgm1