高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用課件

1、高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 一、近似計算一、近似計算 二、歐拉公式二、歐拉公式函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十一章 高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用一、近似計算一、近似計算mxxm1)1 (2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1()11(x例例1. 計算5240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926. 200741. 03的近似值, 精確到282811811131!254134105 . 013431518231!2

2、54112331!35941解解: 553243240514)1(331機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用)11(432)1ln(432xxxxxx例例2. 計算2ln的近似值 ,使準(zhǔn)確到.104解解: 已知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01

3、131111133113193414102 . 0787321在上述展開式中取前四項, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用說明說明: 在展開式xx11ln中,令121nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得) 1ln( n具此遞推公式可求出任意正整數(shù)的對數(shù) . 如53)91(51)91(319122ln25ln6094. 1 ( n為自然數(shù)) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用753)20(!71)20(!51)20(!312020s

4、in例例3. 利用,!3sin3xxx求9sin誤差. 解解: 先把角度化為弧度9(弧度)52)20(!51r5)2 . 0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646. 0157080. 03)20(!312020sin誤差不超過 510的近似值 , 并估計91802015643. 0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用( 取 例例4. 計算積分xexd21201的近似值, 精確到)56419. 01解解:12xe!) 1(20nxnnn)(xxexd22210 xd 2210!) 1(20nxnnn0!) 1(2nnnxxnd2021.1

5、04! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0 !) 1(2nnn1221n) 12(n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用!3721!252132111642xdex22102!3721!252132111642nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn則 n 應(yīng)滿足4nxexd22120則所求積分近似值為欲使截斷誤差5205. 0,4n取機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用例例5. 計算積分xxxdsin10的近似值, 精確到.104解解: 由于, 1sinlim0 xxx故所給積分不是廣義積分.若定義

6、被積函數(shù)在 x = 0 處的值為 1, 則它在積分區(qū)間! ) 12() 1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551! ) 12() 12() 1(nnn3r00167. 005556. 01上連續(xù), 且有冪級數(shù)展開式 :!7714103 . 03528019461. 0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用二、歐拉二、歐拉(Euler)公式公式)(1nnnviu 則稱 收斂收斂 , 且其和為)(1nnnviu 絕對收斂,1nnu)(1nnnviu 收斂 .,1uunn,1vvnn若nnnviu 1. viu 221nnnv

7、u 收斂,若對復(fù)數(shù)項級數(shù),22nnnvuu22nnnvuv1nnv絕對收斂則稱 絕對收斂絕對收斂. 由于, 故知 歐拉 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用定義定義: 復(fù)變量yixz的指數(shù)函數(shù)為)(!1!2112zznzzenz易證它在整個復(fù)平面上絕對收斂 .當(dāng) y = 0 時, 它與實指數(shù)函數(shù)xe當(dāng) x = 0 時,nyiyinyiyiyie)(!1)(!31)(!21132nnynyy242! )2() 1(!41!211iycos12153! ) 12() 1(!51!31nnynyyyyi sin的冪級數(shù)展式一致.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)函數(shù)

8、冪級數(shù)展開式的應(yīng)用xixexisincosxixexisincos（歐拉公式）2cosxixieex（也稱歐拉公式）利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式rxxyyoyixzyixzsincosirier則ieexxixi2sin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用據(jù)此可得ni)sin(cosninsincos(德莫弗公式德莫弗公式)利用冪級數(shù)的乘法, 不難驗證2121zzzzeee特別有yixe)sin(cosyiyex),(Ryxyixeyixee )sin(cosyiyexxerxxyyoyixz作業(yè)作業(yè) P229 1(2) , (4) ; 2 (2)第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用歐拉歐拉 (1707 1783)瑞士數(shù)學(xué)家. 他寫了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典著作, 如無窮小分析引論 , 微 還寫了大量力學(xué), 幾何學(xué), 變分法教材. 他在工作期間幾乎每年都完成 800 頁