20091111高三理科數(shù)學(xué)（42等差數(shù)列及前n項(xiàng)和4課時）

1、 4.2 4.2 等差數(shù)列及前等差數(shù)列及前n n項(xiàng)和項(xiàng)和知識梳理知識梳理t57301p21.1.等差數(shù)列的定義特征：等差數(shù)列的定義特征：從第從第2 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)于同一個常數(shù). .2.2.等差數(shù)列的遞推公式：等差數(shù)列的遞推公式： anan1 1d d( (n2)2)或或an1 1an1 12 2an( (n2).2).3.3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：n1(1)aand=+-4.4.等差數(shù)列的求和公式：等差數(shù)列的求和公式：11()(1)22nnn aan ndSna+-=+5.5.等差中項(xiàng)：等差中項(xiàng)：若若a，A A，b

2、b成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則A A叫做叫做a與與b b的的等差中項(xiàng)，且等差中項(xiàng)，且 . . 2baA6.6.等差數(shù)列的基本性質(zhì)：等差數(shù)列的基本性質(zhì)：（1 1）an為等差數(shù)列為等差數(shù)列 anpnpnq q S Sn npnpn2 2qnqn 為等差數(shù)列為等差數(shù)列. .nSn（2 2）若）若m mn=pn=pq q，則，則mnpqaaaa（3 3） . .()nmaanm d-=-拓展延伸拓展延伸 1. 1.若數(shù)列若數(shù)列an、bn都是等差數(shù)列，則都是等差數(shù)列，則數(shù)列數(shù)列p pan，anan1 1，anbn， anbn也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列. . 2. 2. S S3n3n3(S3(S2n2nS

3、 Sn n).). 3. 3.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an、bn的前的前n n項(xiàng)和分項(xiàng)和分別為別為S Sn、T Tn，則，則 . .2121nnnnaSbT 4. 4.若若ak00，ak1 10 0，則，則S Sk為最大；若為最大；若ak00，ak1 10 0，則，則S Sk為最小為最小. .考點(diǎn)分析考點(diǎn)分析考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 等差數(shù)列的判定與證明等差數(shù)列的判定與證明 例例1 1 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn，已知，已知 a1 11 1，a2 26 6，a3 31111，且，且(5n(5n8)S8)Sn1 1(5n(5n2)S2)SnA AnB(B(nNN*) )，其中，其中A

4、A，B B為常數(shù)為常數(shù). .（1 1）求）求A A與與B B的值；的值；（2 2）證明數(shù)列）證明數(shù)列an為等差數(shù)列為等差數(shù)列. .【解題要點(diǎn)【解題要點(diǎn)】利用項(xiàng)與和的關(guān)系消元利用項(xiàng)與和的關(guān)系消元迭代相減改變遞推迭代相減改變遞推關(guān)系關(guān)系依據(jù)定義得出結(jié)論依據(jù)定義得出結(jié)論.考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 等差數(shù)列的基本運(yùn)算等差數(shù)列的基本運(yùn)算 例例2 2 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，已知中，已知a1 12020，前前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn，且，且S S1010S S1515. .（1 1）求數(shù)列）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；（2 2）求當(dāng)）求當(dāng)n取何值時，取何值時，S Sn取得最大值？取得最大值？并求出它的最大值

5、并求出它的最大值. . 例例3 3（1 1）設(shè)等差數(shù)列）設(shè)等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn，已知前，已知前6 6項(xiàng)的和項(xiàng)的和3636，最后，最后6 6項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為180180，S Sn324(324(n6)6)，求數(shù)列，求數(shù)列an的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)數(shù)n及及a9 9a1010的值的值. .（2 2）設(shè)等差數(shù)列）設(shè)等差數(shù)列an、bn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和分別為分別為S Sn、T Tn，若，若 ，求，求 的值的值. .3123nnSnTn88ab例例4 4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 其中其中n為正偶數(shù)，為正偶數(shù)，an為等差數(shù)列為等差數(shù)列. . （1 1）求數(shù)列）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；（2 2）設(shè)數(shù)

6、列）設(shè)數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn，數(shù)列，數(shù)列bn滿足滿足 ，問是否存在非零常，問是否存在非零常數(shù)數(shù)c c，使數(shù)列，使數(shù)列bn也是等差數(shù)列？也是等差數(shù)列？23123( )nnf xa xa xa xa xL1(1)(1)2fn n( 1)2nf nnSbnc若若 ， . . 例例5 5（0909北京卷）設(shè)數(shù)列北京卷）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)的通項(xiàng)公式為公式為anp pnq (q (nNN*，p p0). 0). 數(shù)列數(shù)列bm定義如下：對于正整數(shù)定義如下：對于正整數(shù)m，bm是使是使得不等式得不等式anm成立的所有成立的所有n中的最小值中的最小值. .（2 2）若）若p p2 2，q q1 1，

7、求數(shù)列，求數(shù)列bm的前的前2 2m項(xiàng)和公式；項(xiàng)和公式；（3 3）是否存在）是否存在p p和和q q，使得，使得bm3 3m2 2？若存在，求若存在，求p p和和q q的取值范圍；若不存在，的取值范圍；若不存在，說明理由說明理由. .11,23pq （1 1）若）若 ，求，求b3 3； 例例6 6（0909江蘇卷）設(shè)數(shù)列江蘇卷）設(shè)數(shù)列an是公差是公差不為零的等差數(shù)列，其前不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn，已，已知知S S7 77 7，且，且 . .（1 1）求數(shù)列）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；項(xiàng)和； （2 2）求所有的正整數(shù)）求所有的正整數(shù)m，使得，使得為數(shù)列為數(shù)列

8、an中的項(xiàng)中的項(xiàng). .22222345aaaa12mmma aa【解題要點(diǎn)【解題要點(diǎn)】靈活運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)靈活運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)利用方程思想利用方程思想求未知數(shù)求未知數(shù). .考點(diǎn)考點(diǎn)3 3 等差數(shù)列背景下證不等式等差數(shù)列背景下證不等式 例例7 7 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，已知中，已知a1 11 1，a2 26 6，求證：，求證： ( (m，nNN*).).51mnmnaa a 例例8 8 設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前其前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn，m，k，n是三個互不相是三個互不相等的正整數(shù)，且等的正整數(shù)，且k為為m，n的的等差中項(xiàng)，等差中項(xiàng)，求證：求證： .

9、 .mnkSSS 例例9 9 已知數(shù)列已知數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前其前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn，且，且( (an3)(3)(an1)1)4S4Sn( (nNN*).).求證：求證： . .121113142nSSSn+-+L【解題要點(diǎn)【解題要點(diǎn)】利用代數(shù)式表示相關(guān)字母利用代數(shù)式表示相關(guān)字母利用基本不利用基本不等式處理根式等式處理根式利用裂項(xiàng)與放縮處理和利用裂項(xiàng)與放縮處理和式式. .考點(diǎn)考點(diǎn)4 4 與等差數(shù)列有關(guān)的遞推數(shù)列問題與等差數(shù)列有關(guān)的遞推數(shù)列問題 例例10 10 已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足：滿足：a1 11 1，a2 23 3， ，求數(shù)列，求數(shù)列an的通的通項(xiàng)公式項(xiàng)公式. .2124nnnaaa 例例11 11 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn，已，已知知 ， ， 求證：求證： . .112a 2(1)nnSn an n11(5)2nnan 例例1212（0707湖南卷）設(shè)數(shù)列湖南卷）設(shè)數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn，已知，已知a1 1a，an00，且，且 （1 1）證明：數(shù)列）