比例應(yīng)用題題庫(kù)教師

1、6-2-4 比例應(yīng)用題教學(xué)目標(biāo)1、比例的基本性質(zhì)2、熟練掌握比例式的恒等變形及連比問(wèn)題3、能夠進(jìn)行各種條件下比例的轉(zhuǎn)化，有目的的轉(zhuǎn)化；4、單位“ 1”變化的比例問(wèn)題5、方程解比例應(yīng)用題知識(shí)點(diǎn)撥比例與百分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)學(xué)工具在人們?nèi)粘Ｉ钪刑幚矶嘟M數(shù)量關(guān)系非常有用，這一部分內(nèi)容也是小升初考試的重要內(nèi)容 .通過(guò)本講需要學(xué)生掌握的內(nèi)容有：、比和比例的性質(zhì)性質(zhì) 1：若 a: b=c：d，則(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性質(zhì) 2：若 a: b=c：d，則(a - c)：(b - d)= a： b=c ：d；性質(zhì) 3：若 a: b=c：d，則(a +x c)：(b +x d)=a：b=c

2、：d；(x為常數(shù)) 性質(zhì) 4：若 a: b=c：d，則 a d = b ；c(即外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積 ) 正比例：如果 a b=k(k為常數(shù))，則稱 a、b成正比； 反比例：如果 a b=k(k為常數(shù))，則稱 a、b成反比、主要比例轉(zhuǎn)化實(shí)例 x ay b ； x y ； a b ；y bx a a b x yxamxaxma（其中m 0）；ybmybymbxaxaxya b ；xyabb ；Lybxyabxaxyabxaycxac； x: y:z ac:bc:bd ；ybzdzbdx的 c等于y的d，則x是 y的 ad ， y是x的bcabbcad三、按比例分配與和差關(guān)系按比例分配例如：將 x個(gè)物

3、體按照 a : b的比例分配給甲、乙兩個(gè)人，那么實(shí)際上甲、乙兩個(gè)人各自分 配到的物體數(shù)量與 x的比分別為 a: a b 和b: a b ，所以甲分配到 ax 個(gè)，乙分配到 bx a b a b 個(gè).已知兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個(gè)類別數(shù)量的問(wèn)題例如：兩個(gè)類別 A、 B ，元素的數(shù)量比為 a:b（這里 a b），數(shù)量差為 x，那么 A的元素?cái)?shù)量為 ax ， B的元素?cái)?shù)量為 bx ，所以解題的關(guān)鍵是求出 a b 與a或b的比值a b a b四、比例題目常用解題方式和思路解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是正確理解、運(yùn)用單位“ l”。題中如果有幾個(gè)不同的單位“ 1”，必 須根據(jù)具體情況，將不同的單位“ 1”，轉(zhuǎn)

4、化成統(tǒng)一的單位“ 1”，使數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單化，達(dá)到解 決問(wèn)題的效果。在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：1. 題中有幾種數(shù)量相比較時(shí)，要選擇與各個(gè)已知條件關(guān)系密切、便于直接解答的數(shù)量為 單位“ 1”。2. 若題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“ 1”。3. 應(yīng)用正、反比例性質(zhì)解答應(yīng)用題時(shí)要注意題中某一數(shù)量是否一定， 然后再確定是成正 比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對(duì)應(yīng)的分率與其他具體數(shù)量之間的正、 反 比例關(guān)系，就能找到更好、更巧的解法。4. 題中有明顯的等量關(guān)系，也可以用方程的方法去解。5. 賦值解比例問(wèn)題6.例題精講模塊一、比例轉(zhuǎn)化1 ，乙等于甲、丙兩數(shù)和的 1 ，丙32已知甲

5、、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的 等于甲、乙兩數(shù)和的 5 ，求甲:乙 :丙 .7解析】1由甲等于乙、丙兩數(shù)和的 13 ，得到甲等于三個(gè)數(shù)和的13+111 ，同樣的乙等于甲、丙4鞏固】甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，已知 甲 : 乙 丙4:3 ，乙:丙 2:7，求甲:乙:丙 。7:9，而甲: 乙 丙 4:3，所以：427甲 :乙 : 丙: : 12: 2: 7 399解析】 由乙:丙 2: 7可得到乙:乙 丙 2:9，丙:乙 丙兩 數(shù) 和的 23 2 1 ，同樣 的 丙等 于甲、 乙兩個(gè) 數(shù)和 的 5 5 ，所 以 2+1 3 7 5 121 1 5甲 :乙 :丙 : :3: 4:5 4 3 12例 2】

6、 已知甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲的一半等于乙的 2倍也等于丙的 18 3半這三個(gè)數(shù)的比為 4 2 : 1 2 : 3 1 即 8:2: 3 ，化簡(jiǎn)為 16:12:9 . ，那么甲的 2、乙的2 33 倍、丙的一半這三個(gè)數(shù)的比為多少？2解析】 甲的一半、乙的 2倍、丙的 2這三個(gè)數(shù)的比為 1:1:1 ，所以甲、乙、丙這三個(gè)數(shù)的比3121 32為 1 1 : 1 2 : 1 2 即2:1:3，化簡(jiǎn)為 4:1:3 ，那么甲的 2、乙的 2倍、丙的一232 23例 3 】 如下圖所示，圓 B 與圓 C 的面積之和等于圓 A 面積的 4 ，且圓 A 中的陰影部分面積5占圓 A面積的 1 ，圓 B 的陰影部分面

7、積占圓 B面積的 1 ，圓C的陰影部分面積占圓 C 651面積的 1 求圓 A、圓 B 、圓 C 的面積之比3解析】 設(shè) A與 B 的共同部分的面積為 x， A與 C 的共同部分的面積為 y ，則根據(jù)題意有A 5 B C 6 x y ， x B ， y C ，于是得到 5 B C 6 B C ，這條式子4 5 3 4 5 3可化簡(jiǎn)為 B 15C ，所以 A 5 B C 20C .最后得到 A:B:C 20:15:1 .4鞏固】 右圖是一個(gè)園林的規(guī)劃圖，其中，正方形的 3 是草地；圓的 6 是竹林；竹林比草47地多占地 450 平方米 問(wèn)：水池占多少平方米 ?解析】 正方形的 3 是草地，那如果

8、水池占 1 份，草地的面積便是 3 份；圓的 6 是竹林， 水池47占 1 份，竹林的面積是 6 份。從而竹林比草地多出的面積是（ 6-3=）3 份。3 份的面 積是 450平方米，可見(jiàn) 1 份面積是 450 3=15（0平方米），即水池面積是 150平方米。例 4】 某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是 3:2 ，分為甲、乙、丙三組已知甲、乙、丙三 組的人數(shù)比是 10:8:7 ，甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是 3:1 ，乙組中男、女會(huì)員的 人數(shù)之比是 5:3 求丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比10333 11解析】 以 總?cè)藬?shù)為1，則甲組男會(huì)員人數(shù)為1033 ，女會(huì)員為3 11，乙10 8 7 3 1 10

9、 10 3 10組 男 會(huì) 員 為 8 5 1 ， 女 會(huì) 員 為 1 3 3 ； 丙 組 男 會(huì) 員 為10 8 7 5 3 5 5 5 253+2 10 51110，女會(huì)員為23+21310 259590 ；所以，丙組中男、女會(huì)員人數(shù)19之比為 1 : 9 5:9 10 50鞏固】 一項(xiàng)公路的修建工程被平均分成兩份承包給甲、乙個(gè)工程隊(duì)建設(shè)，兩個(gè)工程隊(duì)建 設(shè)了相同多的一段時(shí)間后，分別剩下 60%、 40%的任務(wù)沒(méi)有完成，已知兩個(gè)工程隊(duì) 的工作效率 （建設(shè)速度 ）之比3:1 ，求這兩個(gè)工程隊(duì)原先承包的修建公路長(zhǎng)度之比 .解析】 （ 法一）甲工程隊(duì)以 3倍乙工程隊(duì)建設(shè)速度，僅完成了 40% 的承

10、包任務(wù)，而乙工程隊(duì)完 成了 60% ，所以甲工程隊(duì)承包任務(wù)的 40%等于乙工程隊(duì)承包任務(wù)的 60% 3 180%， 所以甲工程隊(duì)的承包的任務(wù)是乙工程隊(duì)承包任務(wù)的 180% 40% 450% ，所以兩個(gè)工 程隊(duì)承包的修建公路長(zhǎng)度之比為 450%:1 9: 2 （法二）兩個(gè)工程隊(duì)完成的工程任務(wù) （修建公路長(zhǎng)度 ）之比等于工作效率之比，等于 3:1 ， 而他們分別完成了各自任務(wù)的 40%和 60% ，所以兩個(gè)工程隊(duì)承包的修建公路長(zhǎng)度之 比為 3 40% : 1 60% 9: 2 鞏固】 （ 2008年清華附中考題 ）甲、乙兩個(gè)工人上班，甲比乙多走 1 的路程，而乙比甲的 5 時(shí)間少 1 ，甲、乙的速

11、度比是 11解析】 甲走的路程是乙走的路程的 65 ，甲用的時(shí)間是乙用的時(shí)間的 1101 ，所以甲的速度是乙 的速度的 6 11 12 ，即甲、乙的速度比是 12:11 5 10 11例 5】 某團(tuán)體有 100 名會(huì)員，男女會(huì)員人數(shù)之比是 14:11 ，會(huì)員分成三組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，各組男女會(huì)員人數(shù)之比依次為 12:13 、5:3 、 2 :1，那么丙組有多少名男會(huì)員？解析】 會(huì)員總?cè)藬?shù) 100人，男女比例為 14:11 ，則可知男、女會(huì)員人數(shù)分別為 56人、 44 人；又已知甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，則可知甲組人數(shù)為50 人，乙、丙人數(shù)之和為 50人，可設(shè)丙組人

12、數(shù)為 x 人，則乙組人數(shù)為 50 x 人，又已知甲組男、女 會(huì)員比為 12:13 ，則甲組男、女會(huì)員人數(shù)分別為 24人、 26人，又已知乙、丙兩組男、52女會(huì)員比例，則可得： 24 5(50 x) 2x 56，解得 x 18即丙組會(huì)員人數(shù)為 18人，832又已知男、女比例，可得丙組男會(huì)員人數(shù)為 18 2 12 人3例 6】 (2007 年華杯賽總決賽 ) A、B 、 C 三項(xiàng)工程的工作量之比為 1:2:3 ，由甲、乙、丙 三隊(duì)分別承擔(dān)三個(gè)工程隊(duì)同時(shí)開(kāi)工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工 作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作 量等于甲未完成的工作量，則甲

13、、乙、丙隊(duì)的工作效率的比是多少？解析】根 據(jù)題意，如果把 A 工程的工作量看作 1，則 B 工程的工作量就是 2，C 工程的工作量就是 3 設(shè)甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)的工作效率分別為x、y、z.經(jīng)過(guò) k天，則：2kx 2 ky L3ky 3 kz L kz 1 kx L將代入，得ky將代入，得2kx4將x 74k 代入，得2 kxL L32 kx23y 6 代入，得7k4，4x，7k甲、乙、丙三隊(duì)的工作效率的連比是 74k 7k 7k37k 6 : 3 4:6:3鞏固】 某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)已知：甲、乙兩校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)相等； 甲校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)與乙校相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)的

14、比為5: 6 ；甲、乙兩校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)總和占兩校獲獎(jiǎng)人數(shù)總和的 20% ；甲校獲三等獎(jiǎng)的人 數(shù)占該校獲獎(jiǎng)人數(shù)的 50% ；甲校獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)是乙校獲二等獎(jiǎng)人數(shù)的 4.5 倍那 么，乙校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)占該校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)等于多少？解析】 由、可知甲、乙兩校獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)的比為 6:5，不妨設(shè)甲校有 60 人獲獎(jiǎng)，則乙校 有 50人獲獎(jiǎng)由知兩校獲二等獎(jiǎng)的共有 (60 50) 20% 22 人；由知甲校獲二等獎(jiǎng) 的有 22 (4.5 1) 4.5 18 人；由知甲校獲一等獎(jiǎng)的有 60 60 50% 18 12 人，那么乙 校獲一等獎(jiǎng)的也有 12人，從而所求百分?jǐn)?shù)為 12 50 100% 24% 例

15、 7 】 某校畢業(yè)生共有 9 個(gè)班，每班人數(shù)相等已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個(gè) 班的女生總數(shù)多 1；四、五、六班三個(gè)班的女生總數(shù)比七、八、九班三個(gè)班的男 生總數(shù)多 1那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少？解析】 如 下表所示，由知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總?cè)藬?shù)多1；由知，四至九班的男生總數(shù)比四、五、六班總?cè)藬?shù)少 1一班男生比二、三班女生多1人加上二、三班男生二、三班男生一、二、三班男生比二、三班總?cè)藬?shù)多1人七、八、九班男生比四、五、六班女生少1人加上四、五、六班男生四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班總?cè)藬?shù)少1人因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、四、五、六共五

16、個(gè)班的人數(shù)之和，由于每班人數(shù)均相等，則女生總數(shù)等于四個(gè)班的人數(shù)之和所以，男、女生人數(shù)之比是5: 4 模塊二、按比例分配與和差關(guān)系(一)量倍對(duì)應(yīng)【例 8】 一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學(xué)生，甲班比乙班多分到 16 個(gè)，而甲、乙兩班的人數(shù)比為 13:11 ，求一共有多少個(gè)蘋果？解析】鞏固】共有 16 13 11 13 11 192個(gè)蘋果 .小新、小志、小剛?cè)藫碛械牟貢?shū)數(shù)量之比為 3: 4: 6，三人一共藏書(shū) 52 本，求他解析】根據(jù)題意可知，他們?nèi)烁髯缘牟貢?shū)數(shù)量分別占三人藏書(shū)總量的3、43 4 6 、3 4 6鞏固】解析】鞏固】解析】鞏固】634652所以小新?lián)碛械牟貢?shū)數(shù)量為3465216 本

17、，小剛擁有的藏書(shū)數(shù)量為12 本，小志擁有的藏書(shū)數(shù)量為3465234624本.在抗洪救災(zāi)區(qū)活動(dòng)中，甲、乙、丙三人一共捐了 80元已知甲比丙多捐 18 元， 甲、乙所捐資的和與乙、丙所捐資的和之比是 10:7 ，則甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元由 于甲比丙多捐 18 元，所以甲、乙所捐資的和比乙、 丙所捐資的和多 18元，那么甲、 乙所捐資的和為： 18 （10 7） 10 60（ 元） ，乙、丙所捐資的和為 60 18 42元所以， 甲捐了 80 42 38 （元） ，乙捐了 60 38 22 （元） ，丙捐了 38 18 20 （元）甲、乙兩個(gè)班共種樹(shù)若干棵，已知甲班種的棵數(shù)的 1 等于乙班種的

18、棵數(shù)的 1 ，且 45乙班比甲班多種樹(shù) 24 棵，甲、乙兩個(gè)班各種樹(shù)多少棵 ?11 甲、乙兩班種樹(shù)棵數(shù)之比為： 1: 1 4 : 5 ，甲班種樹(shù)棵數(shù)為： 24 5 4 4 96（棵），54乙班種樹(shù)棵數(shù)為： 24 5 4 5 120（ 棵） 有120個(gè)皮球，分給兩個(gè)班使用，一班分到的 1與二班分到的 1 相等，求兩個(gè)班各 32分到多少皮球？們?nèi)烁髯缘牟貢?shū)數(shù)量解析】 根 據(jù)題意可知一班與二班分到的球數(shù)比個(gè)，二班分到皮球 120 72 48 個(gè)1:12:33:2 ，所以一班分到皮球120例 9】 一班和二班的人數(shù)之比是 8: 7，如果將一班的 8 名同學(xué)調(diào)到二班去， 則一班和二班的人數(shù)比變?yōu)?4:

19、5 求原來(lái)兩班的人數(shù)解析】 原 來(lái)一班的人數(shù)為兩班總?cè)藬?shù)的 8 8 ，調(diào)班后一班的人數(shù)是兩班人數(shù)的8 7 154 4 ，調(diào)班前后一班人數(shù)的比值為 8 :4 6:5，所以一班原來(lái)的人數(shù)為4 5 9 15 98 6 5 6 48人，二班原來(lái)的人數(shù)為 48 8 7 42人.例 10】 幼兒園大班和中班共有 32名男生，18名女生已知大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為 5:3 ， 中班男生數(shù)與女生數(shù)的比為 2:1 ，那么大班有女生多少名？解析】 由 于男、女生人數(shù)有比例關(guān)系，而且知道總數(shù)，所以可以用雞兔同籠的方法假設(shè)18 名女生全部是大班，則大班男生數(shù)：女生數(shù) 5:3 30:18 ，即男生應(yīng)有 30 人，實(shí)際

20、上男生有 32人，相差 2 個(gè)人；又中班男生數(shù)：女生數(shù) 2:1 6:3 ，以 3個(gè)中班女生換3 個(gè)大班女生，每換一組可增加 1 個(gè)男生，所以需要換 2 組；所以，大班女生有18 3 2 12（名） 鞏固】 參加植樹(shù)的同學(xué)共有 720 人，已知六年級(jí)與五年級(jí)人數(shù)的比是 3: 2 ，六年級(jí)比四 年級(jí)多 80 人，三個(gè)年級(jí)參加植樹(shù)的各有多少人 ?解析】 假 設(shè)四年級(jí)和六年級(jí)人數(shù)同樣多，則參加植樹(shù)的同學(xué)共有 720 80 800人，四、五、 六三個(gè)年級(jí)的人數(shù)比為 3:2:3 ，知道三個(gè)量的和及它們的比，就可以按比例分配，分別求出三個(gè)年級(jí)參加植樹(shù)的人數(shù)六年級(jí)：3800300 人；323五年級(jí)：2800

21、200 人；323四年級(jí)： 300 80 220 人鞏固】 圓珠筆和鉛筆的價(jià)格比是 4：3，20 支圓珠筆和 21 支鉛筆共用 715元問(wèn)圓珠 筆的單價(jià)是每支多少元 ?解析】 設(shè)圓珠筆的價(jià)格為 4，那么鉛筆的價(jià)格為 3，則 20 支圓珠筆和 21 支鉛筆的價(jià)格為 20 4+213=143，則單位“ 1”的價(jià)格為 71.5 143=0.5 元所以圓珠筆的單價(jià)是 O.5 4=2（元） 例 11】 甲、乙兩只螞蟻同時(shí)從 A點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方形的邊爬去，結(jié)果在距 B點(diǎn) 2厘米的 C 點(diǎn)相遇，已知乙螞蟻的速度是甲的 1.2 倍，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)解析】 兩只螞蟻在距 B點(diǎn) 2厘米的 C 點(diǎn)相遇，說(shuō)明乙比甲一

22、共多走了 2 2 4（ 厘米） 又知乙螞蟻的速度是甲螞蟻的 1.2 倍，相同時(shí)間內(nèi)乙螞蟻爬的路程與甲螞蟻爬的路程比為：1.2 ：1 6： 5，所以甲爬的路程是 4 6 5 5 20（厘米 ） ，乙爬的路程是 20 4 24（厘米 ），長(zhǎng)方 形的周長(zhǎng)為 20 24 44（厘米） 鞏固】 甲、乙兩車分別從 A、B 兩地同時(shí)相向開(kāi)出，甲車的速度是 50千米小時(shí)，乙車1的速度是 40千米小時(shí)，當(dāng)甲車駛過(guò) A、 B 距離的 1 多 50千米時(shí)與乙車相遇， A、3B 兩地相距千米解析】 在 相同的時(shí)間內(nèi)， 兩車行駛的路程比等于兩車的速度之比， 由于兩車的速度之比等于1 5 550: 40 5: 4 ，那么

23、 A、B距離的 1多50千米即是 A、B距離的 5 5 ，所以50千3 4 5 95 1 22米的距離相當(dāng)于全程的 5 1 2 ，全程的距離為 50 2 225（ 千米） 9 3 99例 12】 甲乙兩車分別從 A ， B 兩地出發(fā)，相向而行出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度比是 54，相 遇后，甲的速度減少 20，乙的速度增加 20，這樣，當(dāng)甲到達(dá) B 地時(shí)，乙離 A 地還有 10千米問(wèn)： A，B兩地相距多少千米？解析】 甲 、乙原來(lái)的速度比是 5 4相遇后的速度比是： 5 （120） 4 （120） 44856 相遇時(shí)，甲、乙分別走了全程的 5/9 和 4/9設(shè)全程 x 千米，剩下的部分甲行的長(zhǎng)度和乙行

24、的長(zhǎng)度之比為 5 ：6 其中相遇后甲行駛了全長(zhǎng)的 4/98154 8 4所以乙行駛了全長(zhǎng)的 94 5 6 185 ，所以乙一共行了全長(zhǎng) 49沒(méi)有走所以 A、B 全長(zhǎng)為 450 千米 .例 13 】 師徒二人加工一批零件，師傅加工一個(gè)零件用 9 分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用 15 分 鐘完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工 100 個(gè)零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個(gè) 零件？119 15解析】 師傅與徒弟的工作效率之比是 1: 1 5 : 3，工作時(shí)間相同，工作量與工作效率成正比，53所 以 師傅 與徒 弟 分別 完成 總 量的 5 和 3 ， 師傅 和徒 弟 一共 加工 了 5 3 5 353100 （

25、5 3 ） 400 個(gè)零件 （ 涉及到數(shù)量差和數(shù)量比的題在以下題目中詳細(xì)講 述）.鞏固】 師徒二人共加工零件 400個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用 9 分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用 15分鐘完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工多少個(gè)零件？11 解析】 師傅與徒弟的工作效率之比是 1 : 19 155 : 3，而工作時(shí)間相同， 則工作量與工作效率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的553和533，師傅比徒弟多加工零件400535 3 5 3100 個(gè)例 14 】 A 、B 、C 三個(gè)水桶的總?cè)莘e是 1440公升，如果 A、 B 兩桶裝滿水， C 桶是空的；若將 A桶水的全部和 B桶水的 1 ，或?qū)?B 桶水的全部和

26、 A桶水的 1 倒入 C桶， C 桶53都恰好裝滿求 A、 B、C 三個(gè)水桶容積各是多少公升？11 解析】 根據(jù)題意可知， A桶水的全部加上 B桶水的 1 等于 B 桶水的全部加上 A桶水的 1 ，所532 4426以 A桶水的 鞏固】 學(xué)而思學(xué)校四五六年級(jí)共有 615 名學(xué)生，已知六年級(jí)學(xué)生的 等于B桶水的 57 ，那么 A桶水的全部等于B 桶水的 426，C 桶水為3 5535B桶水的 6 17所以 A、 B、C 三個(gè)水桶的容積之比是6 :1: 76:5: 7又 A、5 5 5 5 5B 、 C三個(gè)水桶的總?cè)莘e是 1440公升，所以 A桶的容積是 14406 480公升，65757B 桶的

27、容積是 480 5 400 公升， C 桶的容積是 480 7 560 公升66鞏固】 加工某種零件，甲 3分鐘加工 1個(gè)，乙 3.5分鐘加工 1個(gè)，丙 4 分鐘加工 1個(gè)現(xiàn)在三人在同樣的時(shí)間內(nèi)一共加工 3650個(gè)零件問(wèn)：甲、乙、丙三人各加工多少個(gè)零件 ?111解析】 根據(jù)題意可知，甲、乙、丙的工作效率之比為 31: 31.5:14 28: 24:21 ，那么在相同的時(shí) 間 內(nèi) ， 三 人 完 成 的 工 作 量 之 比 也 是 28: 24: 21 ， 所 以 甲 加 工 了28 241200 個(gè)零件，丙加工1 ，等于五年級(jí)學(xué)生23650 281400 個(gè)零件，乙加工了 3650 2428

28、24 21 28 24 21 21了 3650 1050 個(gè)零件。28 24 21123解析】 將六年級(jí)學(xué)生的 12，等于五年級(jí)學(xué)生的 52 ，等于四年級(jí)學(xué)生的 73 ，看作一個(gè)單位，那么六年級(jí)學(xué)生人數(shù)等于 2 個(gè)單位， 五年級(jí)學(xué)生等于 2.5 個(gè)單位， 四年級(jí)學(xué)生等于 7 學(xué) 35712：15：14 ，所以六年級(jí)學(xué)1512 1155 14 225 人，四生，所以六年級(jí)、五年級(jí)、四年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比為2：25：7312生人數(shù)為 615 12 =180 人，五年級(jí)學(xué)生人數(shù)為 61512 15 14年級(jí)學(xué)生人數(shù)為 615 14210 人.12 15 14例 15】 一塊長(zhǎng)方形鐵板，寬是長(zhǎng)的 4 從寬

29、邊截去 21 厘米，長(zhǎng)邊截去 35%以后，得到一塊 5正方形鐵板問(wèn)原來(lái)長(zhǎng)方形鐵板的長(zhǎng)是多少厘米 ?解析】 如 果只將長(zhǎng)邊截去 35%，寬、長(zhǎng)之比為 4: 5 1 35% 16:13 ，所以寬邊的長(zhǎng)度為421 （16 13） 16 112 厘米，所以原來(lái)鐵板的長(zhǎng)為 112 4 140厘米5鞏固】 一個(gè)正方形的一邊減少 20% ，另一邊增加 2米，得到一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積與原正方形面積相等原正方形的邊長(zhǎng)是多少米 ?45 解析】 要保證面積不變，一邊減少 20% ，即是原來(lái)的 ，另一邊要變成原來(lái)的 ，即增加 545 1 1 ，所以原正方形的邊長(zhǎng)為 2 1 8（ 米 ）.4 4 4例 16 】

30、 一把小刀售價(jià) 3 元如果小明買了這把小刀， 那么小明與小強(qiáng)剩余的錢數(shù)之比是 2:5 ；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)?8:13 小明原來(lái)有多少錢？解析】 由已知，小強(qiáng)的錢相當(dāng)于小明、 小強(qiáng)買刀后所剩錢數(shù)和的 5 5 ，小明的錢相當(dāng)于2 5 7 小明、小強(qiáng)買刀后錢數(shù)和的 8 8 ，所以小明、小強(qiáng)的錢數(shù)的比值為 8 :5 8:15 ， 8+13 21 21 7而小明買刀后小明、小強(qiáng)的錢數(shù)之比為 2:5 6:15 ，所以小明買刀前后的錢數(shù)之比為8: 6 4:3 ，所以小刀的售價(jià)等于小明原來(lái)錢數(shù)的 4 3 1 ，所以小明的錢數(shù)為 443 1 12元。也可這樣看，小明買刀與未買刀的錢

31、數(shù)比為 2: 8 3: 4 ，小明的錢數(shù)4 7 21為 4 3 4 3 12 （元）鞏固】 （ 2009年十三分小升初入學(xué)測(cè)試題 ） 甲、乙兩人原有的錢數(shù)之比為 6:5 ，后來(lái)甲又 得到 180元，乙又得到 30 元，這時(shí)甲、乙錢數(shù)之比為 18:11 ，求原來(lái)兩人的錢數(shù)之 和為多少？解析】 兩 人原有錢數(shù)之比為 6:5 ，如果甲得到 180 元，乙得到 150元，那么兩人的錢數(shù)之比 仍為 6:5 ，現(xiàn)在甲得到 180 元，乙只得到 30元，相當(dāng)于少得到了 120元，現(xiàn)在兩人錢 數(shù)之比為 18:11 ，可以理解為：兩人的錢數(shù)分別增加 180 元和 150元之后，錢數(shù)之比 為18:15 ，然后乙的

32、錢數(shù)減少 120元，兩人的錢數(shù)之比變?yōu)?18:11 ，所以 120元相當(dāng)于 4 份，1 份為 30元，后來(lái)兩人的錢數(shù)之和為 30 （18 15） 990元，所以原來(lái)兩人的總 錢數(shù)之和為 990 180 150 660 元53鞏固】 甲本月收入的錢數(shù)是乙收入的 5 ，甲本月支出的錢數(shù)是乙支出的 3，甲節(jié)余 24084元，乙節(jié)余 480 元甲本月收入多少元？解析】 甲、乙本月收入的比是 5:8 ，分別節(jié)余 240元和 480元，支出的錢數(shù)之比是 3: 4如 果乙節(jié)余 480 元，甲節(jié)余 480 8 5 300元，那么兩人支出的錢數(shù)之比也是 5:8 ，現(xiàn) 在甲只節(jié)余 240元，多支出了 60元，結(jié)果

33、支出的錢數(shù)之比從 5:8 變成了 6:8 （即3:4）， 所以這 60 元就對(duì)應(yīng) 6 5 1份，那么甲支出了 60 6 360 元，所以甲本月收入為 360 240 600 元例 17】 （ 2008年西城實(shí)驗(yàn)考題 ）一項(xiàng)機(jī)械加工作業(yè)，用 4 臺(tái) A型機(jī)床， 5 天可以完成；用 4 臺(tái) A型機(jī)床和 2臺(tái)B 型機(jī)床 3天可以完成；用 3臺(tái)B型機(jī)床和 9臺(tái)C型機(jī)床，2天可 以完成，若 3種機(jī)床各取一臺(tái)工作 5天后，剩下 A、C型機(jī)床繼續(xù)工作，還需要天可以完成作業(yè)解析】 由于用 4臺(tái) A型機(jī)床 5天可以完成；用 4臺(tái)A型機(jī)床和 2臺(tái)B型機(jī)床 3天可以完成， 所以 2臺(tái)B型機(jī)床 3天完成的量等于 4臺(tái)

34、A型機(jī)床 2天完成的量，則 A、B兩種機(jī)床 每天完成的量的比為 2 3 : 4 2 3: 4，即 A型機(jī)床每天完成的量為 3，B型機(jī)床每天完成的量為 4，該項(xiàng)作業(yè)總量為 3 4 5 60 ，那么C 型機(jī)床每天完成的量為60 2 4 3 9 2 ， 3 種 機(jī) 床 各 取 一 臺(tái) 工 作 5 天 后 ， 剩 下 的 工 作 量 為60 3 4 2 5 15， A、C 型機(jī)床還需繼續(xù)工作 15 3 2 3天例 18】 動(dòng)物園門票大人 20元，小孩10元六一兒童節(jié)那天， 兒童免票，結(jié)果與前一天相比， 大人增加了 60% ，兒童增加了 90%，共增加了 2100人，但門票收入與前一天相同 六 一兒童節(jié)

35、這天共有多少人入園？解析】 前一天大人與小孩的人數(shù)比為 1: (60% 2) 5: 6 ，六一那天增加的大人與增加的小孩5人數(shù)比為 5 60% : 6 90% 5:9 ， 大人增加的人數(shù)為 2100 5 750 人，小孩增加14的人數(shù)為 2100 750 1350人，大人的總數(shù)為 750 60% 750 2000 人，小孩的總?cè)藬?shù)為 1350 90% 1350 2850人，總?cè)藬?shù)為 2000 2850 4850人例 19 】 (2008 年武漢市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校小升初數(shù)學(xué)卷 ) 某水果批發(fā)市場(chǎng)存放的蘋果與桃子的噸數(shù)的比是 1:2 ，第一天售出蘋果的 20% ，售出桃子的噸數(shù)與所剩桃子的噸數(shù)的比是 1

36、:3 ； 第二天售出蘋果 18噸，桃子 12噸，這樣一來(lái)，所剩蘋果的噸數(shù)是所剩桃子噸數(shù)的 4 ，15 問(wèn)原有蘋果和桃子各有多少噸？解析】 法一：設(shè)原來(lái)蘋果有 x 噸，則原來(lái)桃子有 2x 噸，得：x (1 20%) 18 43 ，解得 x 37 所 2x 3 12 1513以原有蘋果 37噸，原有桃子 37 2 74( 噸) 法二：原來(lái)蘋果和桃子的噸數(shù)的比是 1: 2 ，把原來(lái)的蘋果的噸數(shù)看作 1，則原來(lái)桃子 的噸數(shù)為 2，第一天后剩下的蘋果是 1 (1 20%) 4 ，剩下的桃子是 2 3 3 ，所以 5 1 3 2此時(shí)剩下的蘋果和桃子的重量比是 4 : 3 8:15 現(xiàn)在再售出蘋果 18 噸

37、，桃子 12 噸，52所剩的蘋果與桃子的重量比是 4:15 這就相當(dāng)于第一天后剩下的蘋果和桃子的重量比 是 8:15 ，先售出桃子 12 噸，蘋果 12 8 32 噸，此時(shí)剩下的蘋果和桃子的重量比還是15 58:15 ，再售出 18 352 558 噸蘋果，剩下的蘋果和桃子的重量比變?yōu)?4:15 ，所以這 558相當(dāng)于 8 4 4 份，最后剩下的桃子有5 4 2 噸，那么第一天后剩下的桃子有87 12 111噸，原有桃子 111 3 74噸，原有蘋果 74 2 37 噸2 2 2 1 3二）利用不變量統(tǒng)一份數(shù)例 20】 有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)和寬的比是 2 :1 ，寬與高的比是 3: 2表面積為 7

38、2cm2 ，求這個(gè)長(zhǎng) 方體的體積 .解析】 由條件長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的比 6:3: 2 ，則長(zhǎng)方體的所有視面，上面、前面、左面的 面積比為 6 3 : 6 2 : 3 2 18:12:6 3: 2:1 ，這三個(gè)面的面積和等于長(zhǎng)方體表面13 2積的二分之一，所以，長(zhǎng)方體的上面的面積為 72 1318cm2 ，前面的面積2321為 72 1 212cm2 ， 左 面 的 面 積 為 720 1 16cm 2 ， 而2 3 2 1 2 3 2 118 12 6 1296 362 ，所以 36即是長(zhǎng)、寬、高的乘積，所以這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為 36cm3 鞏固】 有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)與寬的比是 2 :1 ，寬與

39、高的比是 3: 2 已知這個(gè)長(zhǎng)方體的全部 棱長(zhǎng)之和是 220 厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積解析】 由條件寬與高的比為 3: 2 1: 2 ，所以這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、 寬、高的比為 2:1: 2即6:3: 2， 33 由于長(zhǎng)方體的所有棱中， 長(zhǎng)、寬、高各有 4 條，所以長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 220 1 6 30 46321312厘米，寬為 2201315厘米，高為 2201210 厘米，所以這個(gè)長(zhǎng)46324632方形的體積為 30 15 10 4500立方厘米 .例 21】 （2009 年第七屆“希望杯”二試六年級(jí)）某高速公路收費(fèi)站對(duì)于過(guò)往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) 是：大型車 30元，中型車 15元，小型車 10 元一天，

40、通過(guò)該收費(fèi)站的大型車和中 型車數(shù)量之比是 5: 6 ，中型車與小型車之比是 4:11 ，小型車的通行費(fèi)總數(shù)比大型車 多 270 元（1）這天通過(guò)收費(fèi)站的大型車、中型車、小型車各有多少輛？（ 2）這天 的收費(fèi)總數(shù)是多少元？解析】 大型車、小型車通過(guò)的數(shù)量都是與中型車相比， 如果能將 5: 6中的 6與4:11中的 4統(tǒng)5:6 10:12 和一成 4,6 12 ，就可以得到大型車、中型車、小型車的連比由4:11 12:33 ，得到大型車 :中型車 :小型車 10:12 :33 以10輛大型車、12輛中型車、 33 輛 小 型 車 為 一 組 因 為 每 組 中 收 取 小 型 車 的 通 行 費(fèi)

41、比 大 型 車 多 10 33 30 10 30（元） ，所以這天通過(guò)的車輛共有 270 30 9（組） 所以這天通過(guò) 大型車有 10 9 90（ 輛） ，中型車有 12 9 108 （輛） ，小型車有 33 9 297（ 輛） （ 2）這天收取的總費(fèi)用為： 30 90 15 108 297 10 7290元例 22】 6 枚壹分硬幣摞在一起與 5枚貳分硬幣摞在一起一樣高， 4 枚壹分硬幣摞在一起與 3 枚伍分硬幣摞在一起一樣高用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個(gè)圓柱體，并且三 個(gè)圓柱體一樣高，共用了 124 枚硬幣，問(wèn)：這些硬幣的幣值為多少元？解析】 由 題目條件壹分硬幣和貳分硬幣的數(shù)量比為 6

42、:5 ，壹分硬幣和伍分硬幣的數(shù)量比為4:3 6: 4.5，所以壹分硬幣、貳分硬幣以及伍分硬幣的數(shù)量比為 6:5: 4.5，即 12:10:9 ，因 此 壹 分 硬 幣 的 數(shù) 量 為 124 12 10 9 48 枚 ， 貳 分 硬 幣 的 數(shù) 量 為1241012 10 940 枚，伍分硬幣的數(shù)量為124912 10 936 枚，這些硬幣一共有48 1 40 2 36 5 308分，即幣值為 3.08元例 23】 （2007 年二中考題 ） 某工地用 3 種型號(hào)的卡車運(yùn)送土方已知甲、乙、丙三種卡車載 重量之比為 10: 7 : 6 ，速度比為 6:8:9 ，運(yùn)送土方的路程之比為 15:14:

43、14 ，三種車的輛 數(shù)之比為 10:5: 7 工程開(kāi)始時(shí)，乙、丙兩種車全部投入運(yùn)輸，但甲種車只有一半投 入，直到 10 天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了 25天完成任務(wù)那么，甲種 車完成的工作量與總工作量之比是多少？解析】 由 于甲、乙、丙三種卡車運(yùn)送土方的路程之比為 151414 ，速度之比為 68 9，所以 它們運(yùn)送 1次所需的時(shí)間之比為 165184194 5247194，相同時(shí)間內(nèi)它們運(yùn)送的次數(shù)比為： 2547194 在前 10天，甲車只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的數(shù)量之比為557 由于三種卡車載重量之比為107 6 ，所以三種卡車的總載重量之比為503542 那 么 三 種

44、 卡 車 在 前 10 天 內(nèi) 的 工 作 量 之 比 為50 52 35 47 42 194 202027 在后 15天，由于甲車全部投入使用， 所以在后 15天里的工作量之比為 402027 所以在這 25天內(nèi)，甲的工作量與總工作量之比為：20 10 40 15 32 （ 20 20 27） 10 （40 20 27） 15 79 例 24 】 （2008 年第 13 屆華杯賽初賽 ） 將一堆糖果全部分給甲、乙、丙三個(gè)小朋友原計(jì)劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為 5:4:3 實(shí)際上，甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為 7:6:5 ，其中有一位小朋友比原計(jì)劃多得了15塊糖果那么這位小朋友是 （ 填

45、“甲”、“乙”或“丙” ） ，他實(shí)際所得的糖果數(shù)為 塊543解析】 方 法一：原計(jì)劃甲、乙、 丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的 5 ， 4 ， 3 ；實(shí)際甲、 乙、12 12 12765丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的178，168，158，只有丙占總數(shù)的比例是增加的，所以53540 （塊 ）， 丙實(shí)際 所 得的 糖果數(shù) 為這 位小朋 友 是丙 .糖果 總數(shù)為 15 158 1325540150（塊）18方法二：化通比為：原計(jì)分配為實(shí)際分配為化通比為對(duì)比分析甲 15甲乙丙5 ：4: 37 ：6：515 ：12：914 ：12： 1014，乙1212，丙 9總數(shù)為12份18份36份36份10，發(fā)現(xiàn)多得糖

46、果的是丙所以 15 （109） 10150（塊）鞏固】 有一堆糖果，其中奶糖占 45，再放人 16 塊水果糖后，奶糖就只占 25那么，這堆糖果中有奶糖多少塊 ?45 925 1解析】 方法一：原來(lái)奶糖占 45 9 ，后來(lái)占 25 1 ，因此后來(lái)的糖果數(shù)是奶糖的 4 倍，100 20100 49也比原來(lái)糖果多 16 粒，從而原來(lái)的糖果是 16+（4 91）=20 塊.其中奶糖有2020 9 =9 塊20方法二：原來(lái)奶糖與其他糖 （包含水果糖 ）之比是 45：（1-45）=9：11,設(shè)奶糖有 9 份， 其他糖（包含水果糖 ）有 11份現(xiàn)在奶糖與其他糖之比是 25：（1-25）=1：3=9：27,

47、奶糖的份數(shù)不變，其他糖的份數(shù)增加了 27-11=16份，而其他糖也恰好增加了 16 塊， 所以，l 份即 1塊奶糖占 9份，就是 9塊奶糖15 鞏固】 今年兒子的年齡是父親年齡的 1 ， 15年后，兒子的年齡是父親年齡的 5 今年4 11 兒子多少歲？解析】 方法一：今年兒子的年齡相當(dāng)于父子年齡差的 11 ， 15年后兒子的年齡相當(dāng)于父4 1 3555111子年齡差的 55 ，所以15年相當(dāng)于父子年齡差的511 ，年齡差為1513011 566322歲.今年兒子 30 3 10 歲.1方法二：今年兒子的年齡是父親年齡的 1 ，所以兒子：父親 1： 4；415 年后，兒子的年齡是父親年齡的 5

48、，所以兒子：父親 5：1111因?yàn)樵谀挲g問(wèn)題中年齡差不變所以列表分析為：兒子父親年齡差1 ：435 ：116根據(jù)不變量化通比為2 ：865 ：116對(duì)比分析為： 15（5 2）210（歲）例 25】 一個(gè)周長(zhǎng)是 56厘米的大長(zhǎng)方形，按圖與圖所示意那樣， 劃分為四個(gè)小長(zhǎng)方形 在圖中小長(zhǎng)方形面積的比是 A:B 1:2， B:C 1:2 而在圖中相應(yīng)的比例是A: B 1:3 ，B:C 1:3 . 又知長(zhǎng)方形 D 的寬減去 D的寬所得到的差與 D 的長(zhǎng)減去 D 的長(zhǎng)所得到差之比為 1:3 求大長(zhǎng)方形的面積詳解】 因?yàn)?A:B 1:2， B:C 1:2，所以 A:C 1:4 ；因?yàn)?A: B 1:3 ，

49、 B:C 1:3，所以 A: C 1:9 ，設(shè)長(zhǎng)方形的寬為 a,長(zhǎng)為 b,得：32aa4 3 1 9 4 3 bb10 5得 a:b 2:5 又 a b 56 2 28所以 a 8， b 20所以長(zhǎng)方形面積 20 8 160 例 26 】 （ 2008 年 101 中學(xué)試題 ） 北京中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)男女運(yùn)動(dòng)員比例為 19:12 ，組委會(huì)決定增 加女子藝術(shù)體操項(xiàng)目，這樣男女運(yùn)動(dòng)員比例變?yōu)?20:13 ；后來(lái)又決定增加男子象棋 項(xiàng)目，男女比例變?yōu)?30:19 , 已知男子象棋項(xiàng)目運(yùn)動(dòng)員比女子藝術(shù)體操運(yùn)動(dòng)員多 15人，則總運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為多少？19 19 解析】 將運(yùn)動(dòng)會(huì)最初的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)設(shè)為“ 1”，那么男

50、運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為 19 19 ，女運(yùn)動(dòng)員19 12 311219人數(shù)為 人 ， 女 生 有 16 人 報(bào) 考 總 人 數(shù) 是 ，而增加女子藝術(shù)體操項(xiàng)目，男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)不變，仍然是19 ，所以這時(shí)女313119247運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為 19 20 13 247 ，增加男子象棋項(xiàng)目，女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)保持不變，仍然31620247 247 39是 247 ，所以男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)增加為 247 19 30 39 女子藝術(shù)體操項(xiàng)目人數(shù)為620 620 62247 12739191247 127 ，男子象棋項(xiàng)目的人數(shù)為39191 ，男子象棋項(xiàng)目運(yùn)動(dòng)員比女子藝620 31620623162術(shù)體操運(yùn)動(dòng)員多 1 7 3 ，原來(lái)總運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為 15 3 3100 人，男子象棋62 620 620 62017項(xiàng)目運(yùn)動(dòng)員有 3100 1 50 人，女子藝術(shù)體操運(yùn)動(dòng)員有 3100 7 35 人，所以現(xiàn)在 62 620的總運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為 3100 50 35 3185人鞏固】 袋子里紅球與白球的數(shù)量之比是 19:13 放入若干只紅球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?5:3 ；再放入若干只白球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?13:11 已知放入的紅球比白球少 80 只那么原來(lái)袋子里共有只球解析】 根據(jù)第一次操作白球的數(shù)量不變，把 19:13 改寫成 57:39 ， 5:3 改寫