人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講解第7章《7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算》(含解析)

1、7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.掌握復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算(重點(diǎn)、難點(diǎn))2理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律(易混點(diǎn))3了解共軛復(fù)數(shù)的概念(難點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)2借助復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).1復(fù)數(shù)的乘法法則(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則已知z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，則z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.思考1：復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法有何不同？提示復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類(lèi)似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成1，再把實(shí)部、虛部分別合并(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意z1，

2、z2，z3C，有交換律z1z2z2z1結(jié)合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法對(duì)加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3思考2：|z|2z2，正確嗎？提示不正確例如，|i|21，而i21.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則(abi)(cdi)i(a，b，c，dR，且cdi0)1復(fù)數(shù)(32i)i等于()A23iB23iC23i D23iB(32i)i3i2ii23i，選B.2已知i是虛數(shù)單位，則()A12iB2iC2iD12iD12i.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算【例1】(1)若復(fù)數(shù)(1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1)B(，1)C(1，) D(1，)(2)計(jì)算：

3、(12i)(34i)(2i)；(34i)(34i)；(1i)2.(1)Bz(1i)(ai)(a1)(1a)i，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以解得a1 ，故選B.(2)解(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i.(34i)(34i)32(4i)29(16)25.(1i)212ii22i.1兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法復(fù)數(shù)的乘法可以按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行，注意選用恰當(dāng)?shù)某朔ü竭M(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，例如平方差公式、完全平方公式等2常用公式(1)(abi)2a22abib2(a，bR)；(2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)；(3)(1i)22i.1(1)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)

4、的是()Ai(1i)2 Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)(2)復(fù)數(shù)z(12i)(3i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是 (1)C(2)5(1)A項(xiàng)，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是純虛數(shù)B項(xiàng)，i2(1i)(1i)1i，不是純虛數(shù)C項(xiàng)，(1i)212ii22i，是純虛數(shù)D項(xiàng)，i(1i)ii21i，不是純虛數(shù)故選C. (2)(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的實(shí)部是5.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算【例2】(1)()A12i B12iC2i D2i(2)若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(2i)117i(i是虛數(shù)單位)，則z為()A35i B35iC35i D35i(1)D(2)A(1)2i.(

5、2)z(2i)117i，z35i.1兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟(1)首先將除式寫(xiě)為分式；(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)；(3)然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式2常用公式(1)i；(2)i；(3)i.2.(1)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別是，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限(2)計(jì)算：8.(1)B由復(fù)數(shù)的幾何意義知，z12i，z2i，所以12i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限(2)解：法一：844(1)41.法二：因?yàn)閕，所以i81.復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合問(wèn)題探究問(wèn)題1若z，則z是什么數(shù)？這個(gè)性質(zhì)有什么作用？提示zzR，利用這

6、個(gè)性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)2若z0且z0，則z 是什么數(shù)？這個(gè)性質(zhì)有什么作用？提示z0且z0，則z為純虛數(shù)，利用這個(gè)性質(zhì)，可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)3三個(gè)實(shí)數(shù)|z|，|，z具有怎樣的關(guān)系？提示設(shè)zabi，則abi，所以|z|，|，z(abi)(abi)a2(bi)2a2b2，所以|z|2|2z.【例3】(1)已知復(fù)數(shù)z，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z等于()A.B. C1D2(2)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|，且(12i)z是實(shí)數(shù)，求.思路探究可以先設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解；也可以利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解(1)A法一：z，z.法二：z，|z|，z.(2)解設(shè)zabi(a，bR)，則(12i)z(12

7、i)(abi)(a2b)(b2a)i.又因?yàn)?12i)z是實(shí)數(shù)，所以b2a0，即b2a，又|z|，所以a2b25.解得a1，b2.所以z12i或12i，所以12i或12i，即(12i)1在題設(shè)(1)條件不變的情況下，求.解由例題(1)的解析可知z，z，i.2把題設(shè)(2)的條件“(12i)z是實(shí)數(shù)”換成“(12i)z是純虛數(shù)”，求.解設(shè)zabi，則abi，由例題(2)的解可知a2b，由|z|，得b1，a2；或 b1，a2.所以2i，或2i.1由比較復(fù)雜的復(fù)數(shù)運(yùn)算給出的復(fù)數(shù)，求其共軛復(fù)數(shù)，可先按復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，將復(fù)數(shù)寫(xiě)成代數(shù)形式，再寫(xiě)出其共軛復(fù)數(shù)2注意共軛復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的運(yùn)用1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的乘法，同時(shí)注意i21的應(yīng)用. 2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算采用了分母實(shí)數(shù)化的思想，即應(yīng)用z|z|2解題3記住幾個(gè)常用結(jié)論：(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)(2)(1i)22i.(3)若zz是實(shí)數(shù)；若z0，則z是純虛數(shù)；z|2|z|2.1判斷正誤(1)實(shí)數(shù)不存在共軛復(fù)數(shù)()(2)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的差為純虛數(shù)()(3)若z1，z2C，且zz0，則z1z20.()答案(1)(2)(3)2已知復(fù)數(shù)z2i，則z的值為()A5B.C3D.Az(2i)(2i)22i2415.3若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(1i)2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|()A1 B2