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文檔簡介
1、4.1 數(shù)列的概念知識梳理 1、數(shù)列的概念(1)數(shù)列的定義:按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng)(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系:從函數(shù)觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2,n)為定義域的函數(shù)anf(n)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值 (3)數(shù)列是一種特殊的函數(shù),在研究數(shù)列問題時,既要注意函數(shù)方法的普遍性,又要考慮數(shù)列方法的特殊性. (4)數(shù)列有三種表示法,它們分別是列表法、圖象法和解析法2、數(shù)列的分類(1)按照項(xiàng)數(shù)有限和無限分:(2)按單調(diào)性來分:3、數(shù)列的兩種常用的表示方法(1)通項(xiàng)公式:如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系
2、可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式;同一個數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯一 (2)遞推公式:如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號n的值,直接代入求出an都可確定一個數(shù)列,也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值,通過一次(或多次)賦值,逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng),直至求出所需的an4、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點(diǎn)(1)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,通項(xiàng)公式為a
3、n,則an(2)在數(shù)列an中,若an最大,則若an最小,則(3)型如:的數(shù)列的遞推公式,采用累加法求通項(xiàng);(4)形如:的數(shù)列的遞推公式,采用累乘法求通項(xiàng);知識典例題型一 規(guī)律猜想例1數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是( )ABCD【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列分子分母的規(guī)律求得通項(xiàng)公式.【詳解】由于數(shù)列的分母是奇數(shù)列,分子是自然數(shù)列,故通項(xiàng)公式為.故選:D已知數(shù)列,則是這個數(shù)列的( )A第10項(xiàng)B第11項(xiàng)C第12項(xiàng)D第21項(xiàng)【答案】B【分析】根據(jù)題中所給的通項(xiàng)公式,令,求得n=11,得到結(jié)果.【詳解】令,解得n=11,故是這個數(shù)列的第11項(xiàng).故選:B.題型二 遞推公式例 2在數(shù)列中,(,),則( )AB1CD2
4、【答案】A【分析】通過遞推式求出數(shù)列前幾項(xiàng)可得數(shù)列為周期數(shù)列,利用數(shù)列的周期性可得答案.【詳解】,可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,.故選:A.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,且,則_.【答案】【分析】求得數(shù)列的周期,由此求得.【詳解】由題意,數(shù)列是周期數(shù)列,且周期為4.故答案為:題型三累加法例 3在數(shù)列中,則的通項(xiàng)公式為( )ABCD【答案】A【分析】先將變形整理為,再分別用,2,1替換上式中的,得到個等式,將上述這些式子相加整理,從而求出的通項(xiàng)公式.【詳解】由已知得,所以將上述個式子相加,整理的又因?yàn)?,所以故選A在數(shù)列中,且,則的通項(xiàng)公式為_【答案】【解析】在數(shù)列中,上式相加:題型四累乘法例 4 已
5、知正項(xiàng)數(shù)列an中,a11,(n2)a(n1)aanan10,nN*,則它的通項(xiàng)公式為()Aan BanCan Dann【答案】B【解析】由(n2)a(n1)aanan10,得(n2)2(n1)0,0,因?yàn)閍n是正項(xiàng)數(shù)列,所以10,所以,則ana11.故選B.若數(shù)列滿足,則_.【答案】【分析】由已知得 ,由此利用累乘法能求出an【詳解】數(shù)列an滿足, ,an ,又時也滿足;故答案為題型五數(shù)列與函數(shù)例 5已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則數(shù)列中的最大項(xiàng)為( )ABCD【答案】A【分析】由,當(dāng)n2時,an1an0,當(dāng)n2時,an1an0,從而可得到n2時,an最大.【詳解】解:, 當(dāng)n2時,an1an0,即a
6、n1an;當(dāng)n2時,an1an0,即an1an;當(dāng)n2時,an1an0,即an1an.所以a1a2a3,a3a4a5an,所以數(shù)列中的最大項(xiàng)為a2或a3,且.故選:A.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是,那么這個數(shù)列是A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)列D擺動數(shù)列【答案】A【詳解】因?yàn)橐驗(yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增,所以數(shù)列是遞增數(shù)列故選A鞏固提升1、數(shù)列滿足,則( )ABCD2【答案】B【分析】由遞推關(guān)系,可求出的前5項(xiàng),從而可得出該數(shù)列的周期性,進(jìn)而求出即可.【詳解】由,可得,由,可得,由,可知數(shù)列是周期數(shù)列,周期為4,所以.故選:B.2、在數(shù)列中,則( )ABCD【答案】A【詳解】試題分析:由題意得,所以3、在數(shù)列中,已知,則_.【答案】【分析】令,根據(jù)換元法求通項(xiàng),即可得出結(jié)果.【詳解】令,則,所以,所以,當(dāng)時,上式也成立,所以.故答案為:.4、已知數(shù)列滿足:,則_.【答案】0【分析】先由條件得,然后【詳解】因?yàn)樗砸驗(yàn)?,且所以,即故答案為?5、數(shù)列,中,開始出現(xiàn)負(fù)值的項(xiàng)是第_項(xiàng).【答案】16【分析】根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,再解不等式,求出的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列,所以,當(dāng)時,即,解得:且,所以數(shù)列開始出現(xiàn)負(fù)值的項(xiàng)是第.故答案為.6
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