方差及MATLAB實(shí)現(xiàn)

1、1 單因素方差分析單因素方差分析 1.1 1.1 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 1.2 1.2 統(tǒng)計(jì)分析統(tǒng)計(jì)分析 1.3 1.3 方差分析表方差分析表 1.4 Matlab1.4 Matlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)2 雙因素方差分析雙因素方差分析 2.1 2.1 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 2.2 2.2 無交互影響的雙因素方差分析無交互影響的雙因素方差分析 2.3 2.3 有交互影響的雙因素方差分析有交互影響的雙因素方差分析 2.4 Matlab2.4 Matlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)第第1 1章章 方差分析方差分析 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中, ,經(jīng)常遇到這樣經(jīng)常遇到這樣的問題的問題: :影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很

2、多影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多, ,我們我們需要了解在這眾多的因素中需要了解在這眾多的因素中, ,哪些因素對(duì)影響哪些因素對(duì)影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量有顯著影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量有顯著影響. .為此為此, ,要先做試驗(yàn)要先做試驗(yàn), ,然后對(duì)測(cè)試的結(jié)果進(jìn)行分析然后對(duì)測(cè)試的結(jié)果進(jìn)行分析. .方差分析就是分方差分析就是分析測(cè)試結(jié)果的一種方法析測(cè)試結(jié)果的一種方法. . 在方差分析中在方差分析中, ,把在試驗(yàn)中變化的因素稱為把在試驗(yàn)中變化的因素稱為因子因子, ,用用A A、B B、C C、.表示表示; ;因子在試驗(yàn)中所取因子在試驗(yàn)中所取的不同狀態(tài)稱為水平的不同狀態(tài)稱為水平, ,因子因子A A的的r r個(gè)不同水平用個(gè)不

3、同水平用A A1 1、A A2 2、.、A Ar r表示表示. .1 1 單因子方差分析單因子方差分析1.1 1.1 基本概念與數(shù)學(xué)模型基本概念與數(shù)學(xué)模型水平水平觀測(cè)值觀測(cè)值A(chǔ)1x11x12.x1n1A2x21x22x2n2Arxr1xr2xrnr 例例: :為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種, ,今選了今選了五種不同品種進(jìn)行試驗(yàn)五種不同品種進(jìn)行試驗(yàn), ,每一品種在四塊試驗(yàn)田每一品種在四塊試驗(yàn)田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下: : 品種田塊A1A2A3A4A51256244250288206222230027728021232802902

4、303152204298275322259212 我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量是否有顯著差異產(chǎn)量是否有顯著差異. . 試驗(yàn)的目的就是要檢驗(yàn)假設(shè)試驗(yàn)的目的就是要檢驗(yàn)假設(shè) H H0 0:1 1=2 2=3 3=4 4=5 5是否成立是否成立. .若是拒絕若是拒絕 , ,那么我們就認(rèn)為這五種品那么我們就認(rèn)為這五種品種的平均畝產(chǎn)量之間有顯著差異種的平均畝產(chǎn)量之間有顯著差異; ;反之反之, ,就認(rèn)為各就認(rèn)為各品種間產(chǎn)量的不同是由隨機(jī)因素引起的品種間產(chǎn)量的不同是由隨機(jī)因素引起的. .方差分方差分析就是檢驗(yàn)假設(shè)的一種方法析就是檢驗(yàn)假設(shè)的一種方法. . 在本例中

5、只考慮品種這一因子對(duì)畝產(chǎn)量的影響在本例中只考慮品種這一因子對(duì)畝產(chǎn)量的影響, ,五個(gè)不同品種就是該因子的五個(gè)不同水平五個(gè)不同品種就是該因子的五個(gè)不同水平. .由于由于同一品種在不同田塊上的畝產(chǎn)量不同同一品種在不同田塊上的畝產(chǎn)量不同, ,我們可以認(rèn)我們可以認(rèn)為一個(gè)品種的畝產(chǎn)量就是一個(gè)總體為一個(gè)品種的畝產(chǎn)量就是一個(gè)總體, ,在方差分析中在方差分析中總假定各總體獨(dú)立地服從同方差正態(tài)分布總假定各總體獨(dú)立地服從同方差正態(tài)分布, ,即第即第i i個(gè)品種的畝產(chǎn)量是一個(gè)隨機(jī)變量個(gè)品種的畝產(chǎn)量是一個(gè)隨機(jī)變量, ,它服從分布它服從分布N(N(i i,2 2), i=1,2,3,4,5.), i=1,2,3,4,5.

6、 設(shè)在某試驗(yàn)中設(shè)在某試驗(yàn)中, ,因子因子A A有有r r個(gè)不同水平個(gè)不同水平A A1 1,A,A2 2,.,A,.,Ar r, ,在在A Ai i水平下的試驗(yàn)結(jié)果水平下的試驗(yàn)結(jié)果X Xi i服從正態(tài)服從正態(tài)分布分布N(N(i i,2 2),i=1,2,.,r,),i=1,2,.,r,且且X X1 1,X,X2 2,.,X,.,Xr r間間相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .現(xiàn)在水平現(xiàn)在水平A Ai i下做了下做了n ni i次試驗(yàn)次試驗(yàn), ,獲得了獲得了n ni i個(gè)試驗(yàn)結(jié)果個(gè)試驗(yàn)結(jié)果X Xijij,j=1,2,.,n,j=1,2,.,ni i這可以看成是取自這可以看成是取自X Xi i的一個(gè)容量為的一個(gè)容

7、量為n ni i的樣本的樣本,i=1,2,.,r. ,i=1,2,.,r. 實(shí)際上實(shí)際上, ,方差分析是檢驗(yàn)同方差的若干正態(tài)總體方差分析是檢驗(yàn)同方差的若干正態(tài)總體均值是否相等的一種統(tǒng)計(jì)方法均值是否相等的一種統(tǒng)計(jì)方法. . 在實(shí)際問題中影響總體均值的因素可能不止一在實(shí)際問題中影響總體均值的因素可能不止一個(gè)個(gè). .我們按試驗(yàn)中因子的個(gè)數(shù)我們按試驗(yàn)中因子的個(gè)數(shù), ,可以有單因子方差可以有單因子方差分析分析, ,雙因子分析雙因子分析, ,多因子分析等多因子分析等. .例中是一個(gè)單因例中是一個(gè)單因子方差分析問題子方差分析問題. .水平水平觀測(cè)值觀測(cè)值A(chǔ)1x11x12.x1n1A2x21x22x2n2Ar

8、xr1xr2xrnr 由于由于XijN(i,2) , ,故故X Xijij與與i i的差可以看成一個(gè)的差可以看成一個(gè)隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差ijN(0,2) . .這樣一來這樣一來, ,可以假定可以假定X Xijij具有下具有下述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式: :,.,2 , 1,111rinnnniiriiriii 為了今后方便起見為了今后方便起見, ,把參數(shù)的形式改變一下把參數(shù)的形式改變一下, ,并并記記 稱稱為一般平均為一般平均, ,i i為因子為因子A A的第的第i i 個(gè)水平的效應(yīng)個(gè)水平的效應(yīng). . Xij= i+ ij,i=1,2,.,r;j=1,2,.,ni其中諸其中諸ijN(0,2),且相互

9、獨(dú)立且相互獨(dú)立. .要檢驗(yàn)的假設(shè)是要檢驗(yàn)的假設(shè)是 H0:1=2=r 在這樣的改變下在這樣的改變下, ,單因子方差分析模型中的數(shù)據(jù)單因子方差分析模型中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式可以寫成結(jié)構(gòu)式可以寫成: :所要檢驗(yàn)的假設(shè)可以寫成所要檢驗(yàn)的假設(shè)可以寫成: :iijiijnjriX,.,2 , 1;,.,2 , 1,0.:210rH 為了導(dǎo)出檢驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量為了導(dǎo)出檢驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量, ,下面我們分析一下面我們分析一下什么是引起諸下什么是引起諸X Xijij 波動(dòng)的原因波動(dòng)的原因. .riiin10 平方和分解公式平方和分解公式：引起諸引起諸X Xijij 波動(dòng)的原因有兩個(gè)波動(dòng)的原因有兩個(gè): :一個(gè)是假設(shè)一個(gè)是假設(shè)H

10、 H0 0為真時(shí)為真時(shí), ,諸諸X Xijij的波動(dòng)純粹是隨機(jī)性的波動(dòng)純粹是隨機(jī)性引起的引起的; ;另一個(gè)可能是假設(shè)另一個(gè)可能是假設(shè)H H0 0不真而引起的不真而引起的. .因而我因而我們就想用一個(gè)量來刻劃諸們就想用一個(gè)量來刻劃諸X Xijij之間的波動(dòng)之間的波動(dòng), ,并把引起并把引起波動(dòng)的兩個(gè)原因用另兩個(gè)量表示出來波動(dòng)的兩個(gè)原因用另兩個(gè)量表示出來, ,這就是方差這就是方差分析中常用的平方和分解法分析中常用的平方和分解法. .rinjijTiXXS112)(rinjijiXnX111其中令之間的波動(dòng)反映之間的偏差平方和來與樣本總平均通常用.ijijXXX1.2 1.2 統(tǒng)計(jì)分析統(tǒng)計(jì)分析rinj

11、iiijrinjijTiiXXXXXXS112112).()(則其中交叉乘積項(xiàng)其中交叉乘積項(xiàng)iinjiijriiirinjiijXXXXXXXX1111.)().(2).(.)(211.iniijjiXXn令riiirinjiijXXnXXi12211).(.)(0.).( ).(21iiriiXtXXX).(.)(2).(.)(11112112XXXXXXXXirinjiijrinjirinjiijiii22111(.)(.).inrrEijiAiiijiTEASXXSn XXSSS記則為一平方和分解式個(gè)下面我們來看各式的意義下面我們來看各式的意義111,.inrijijXXn是所有數(shù)據(jù)的平

12、均值 稱總平均值為1.,.1iniijjiXXin是從第 個(gè)總體中抽得的樣本平均值為組平均值稱211()(,.)inrTijijSXX表示所有數(shù)據(jù)與總平均值的離差平方和 是描述全部數(shù)據(jù)離散程度的一個(gè)指標(biāo) 稱為總偏差平方和 總離差平方和211(.().),inrEijiijSXX表示每個(gè)數(shù)據(jù)與其組平均值的離誤差偏差差平方和 反映了試驗(yàn)中的隨平方和 組內(nèi)離差平機(jī)誤稱方和差為21(.),. )(),rAiiiSn XXA表示組平均值與總平均值的離差平方和 反映了各總因子體 因子 的不同水偏差平方平 均值之和 組間離差間的差異程度平方和稱為 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造:.),(,0.:2210且

13、相互獨(dú)立一切為真時(shí)當(dāng)NXHijn2112) 1()(SnXXSrinjijTi) 1() 1(2222nSnST故.2是全體樣本的樣本方差其中S對(duì)于各組樣本有對(duì)于各組樣本有212.) 1()(iinjiijSnXXi組樣本的樣本方差是第組樣本的樣本容量是第其中iSinii2因此因此rinSniii, 2 , 1),1() 1(222.,22221相互獨(dú)立且各組樣本方差rSSS分布的可加性知及由21) 1(riinrn)() 1(21222rnSnSriiiE121221212212:,.,(0,1),.,.( ).(),1,2,.,.,.()njnjkkjjkXXXnNQXXXfQQQnfCo

14、chranffnQfjkQ QQ設(shè)為 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是某些的線性組合的平方和 其自由度分柯赫倫分解定別為如果且且理則相互獨(dú)立.,)/() 1/(,0.:,0210不真可以認(rèn)為假設(shè)值過大時(shí)當(dāng)也不應(yīng)太大從而的值不應(yīng)太大為真時(shí)故當(dāng)假設(shè)異程度均值之間的差反映的是因子不同水平由于HFrnSrSFSHSEAArA.) 1(,)() 1(122222相互獨(dú)立與且故有條件全部滿足可知柯赫倫分解定理的及由于EAAEATSSrSrnrnSSS), 1()/() 1/(,0.:,210rnrFrnSrSFHEAn為真時(shí)當(dāng)由此可知.,.,), 1(,001下無顯著差異間在顯著性水平認(rèn)為因子各水平否則接受下有顯著

15、差異著性水平認(rèn)為因子各水平間在顯拒絕假設(shè)時(shí)當(dāng)對(duì)給定的顯著性水平按照顯著性檢驗(yàn)程序HHrnrFF 一般一般, ,當(dāng)當(dāng)FFFF0.010.01時(shí)時(shí), ,稱因子的影響高度顯著稱因子的影響高度顯著, ,記為記為“* * *”;”;當(dāng)當(dāng)F F0.010.01FFFF0.050.05時(shí)時(shí), ,稱因子的影響顯著稱因子的影響顯著, ,記為記為“* *”; ”; 當(dāng)當(dāng)F FF F0.050.05時(shí)時(shí), ,稱因子無顯著影響稱因子無顯著影響, ,即認(rèn)為因即認(rèn)為因子各水平間無差異子各水平間無差異. . 檢驗(yàn)過程：檢驗(yàn)過程：2222.11112222.111,1111/ (1)/ ()iiinnrrTijijrijij

16、rriiAAiiiiETAEAEriiinSXnXXTfnnXXSnXTfrnnnSSSfnrSrFSnrnn若因子的每一水平所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)不等 設(shè)在第 個(gè)水平下試驗(yàn)了次 則在具體計(jì)算時(shí) 可用下式,其中為試驗(yàn)的總.111,.iinnriijijjijXXTX次數(shù)1.3 1.3 方差分析表方差分析表 例例: :為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種, ,今選了今選了五種不同品種進(jìn)行試驗(yàn)五種不同品種進(jìn)行試驗(yàn), ,每一品種在四塊試驗(yàn)田每一品種在四塊試驗(yàn)田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下: : 品種田塊A1A2A3A4A512562442502882

17、06222230027728021232802902303152204298275322259212 我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量是否有顯著差異產(chǎn)量是否有顯著差異. .計(jì)算表各水平的田塊品種1234和和平方A1256 222 280 29810561115136A2244 300 290 27511091229881A3250 277 230 32210791164241A4288 280 315 25911421304164A5206 212 220 212850722500 解解:先列表計(jì)算先列表計(jì)算412.2514155359228 .13

18、70784)(201iiijijxx5141251411395472523620, 4, 5ijijijijxxntr這里2 .246878 .13707841395472TS7 .131958 .1370784553592241AS5 .114917 .131952 .24687ATESSS89. 4)15, 4(06. 3)15, 4(36. 2)15, 4(99. 095. 090. 0FFF查表知.89. 4)15, 4(31. 4)15, 4(06. 399. 095. 0有顯著差異所以不同品種的畝產(chǎn)量因此FFF例例: : 下面給出了隨機(jī)選取的下面給出了隨機(jī)選取的, , 用于計(jì)算器的

19、四種用于計(jì)算器的四種類型的電路的響應(yīng)時(shí)間類型的電路的響應(yīng)時(shí)間( (以毫秒計(jì)以毫秒計(jì)).). 表表: : 電路的響應(yīng)時(shí)間電路的響應(yīng)時(shí)間類型類型I I類型類型IIII類型類型IIIIII類型類型IVIV1515222220201818404021213333272716 1716 17151518182626181822221919這里試驗(yàn)的指標(biāo)是電路的響應(yīng)時(shí)間這里試驗(yàn)的指標(biāo)是電路的響應(yīng)時(shí)間. 電路類型為因素電路類型為因素. 這一因素有四個(gè)水平這一因素有四個(gè)水平, 試驗(yàn)的目的是要考察各類型電試驗(yàn)的目的是要考察各類型電路對(duì)響應(yīng)時(shí)間的影響路對(duì)響應(yīng)時(shí)間的影響.設(shè)四種類型電路的響應(yīng)時(shí)間的總體均為正態(tài)設(shè)四種

20、類型電路的響應(yīng)時(shí)間的總體均為正態(tài), , 且各總體方差相同且各總體方差相同, , 但參數(shù)均未知但參數(shù)均未知. . 又設(shè)各樣又設(shè)各樣本相互獨(dú)立本相互獨(dú)立. . 解解 分別以分別以m m1 1, ,m m2 2, ,m m3 3, ,m m4 4記類型記類型I,II,III,IVI,II,III,IV四種電路四種電路響應(yīng)時(shí)間總體的平均值響應(yīng)時(shí)間總體的平均值. . 我們需檢驗(yàn)我們需檢驗(yàn)( (a a=0.05)=0.05)H H0 0: :m m1 1= =m m2 2= =m m3 3= =m m4 4, ,H H1 1: :m m1 1, ,m m2 2, ,m m3 3, ,m m4 4不全相等不

21、全相等. .現(xiàn)在現(xiàn)在n n=18, =18, s s=4, =4, n n1 1= =n n2 2= =n n3 3=5, =5, n n4 4=3,=3,試驗(yàn)號(hào)試驗(yàn)號(hào)1 12 23 34 45 5和和和平方和平方類型類型I I19191515222220201818949488368836類型類型IIII202040402121333327271411411988119881類型類型IIIIII 16161717151518182626929284648464類型類型IVIV181822221919595934813481S ST T, ,S SA A, ,S SE E的自由度依次為的自由度

22、依次為17,3,1417,3,1444.71418386899218224112TxSinjijTi98.31818386359)9214194(5118222222412TnXSiiiA46.395ATESSS 表表:方差分析表方差分析表方差來源方差來源 平方和平方和 自由度自由度均方均方F值值顯著性顯著性因素因素318.983106.333.76*誤差誤差395.461428.25總和總和714.4417因因F0.95(3, 14)=3.343.76 F0.99(3, 14)=5.56, 故認(rèn)為各類故認(rèn)為各類型電路的響應(yīng)時(shí)間有顯著差異型電路的響應(yīng)時(shí)間有顯著差異.1.4. 單因素方差分析的單

23、因素方差分析的Matlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)單因素方差分析單因素方差分析:anova1調(diào)用格式調(diào)用格式:(1) p=anova1(X)(2) p=anova1(X,group)(3) p=anova1(X,group,displayopt)(4) p,table=anova1(.)(5) p,table,stats=anova1(.)（2） p=anova1(X,group)輸入：輸入：X是一個(gè)向量，從第一個(gè)總體的樣本到第是一個(gè)向量，從第一個(gè)總體的樣本到第r個(gè)總個(gè)總體的樣本依次排列，體的樣本依次排列，group是與是與X有相同長度的向量，有相同長度的向量，表示表示X中的元素是如何分組的中的元素是如何分組

24、的. group中某元素等于中某元素等于i,表示表示X中這個(gè)位置的數(shù)據(jù)來自第中這個(gè)位置的數(shù)據(jù)來自第i個(gè)總體個(gè)總體.因此因此group中中分量必須取正整數(shù)，從分量必須取正整數(shù)，從1直到直到r.（1）p=anova1(X) %比較比較X中中各列數(shù)據(jù)各列數(shù)據(jù)的均值是否的均值是否相等。相等。此時(shí)輸出的此時(shí)輸出的p是零假設(shè)成立時(shí)，數(shù)據(jù)的概率，是零假設(shè)成立時(shí)，數(shù)據(jù)的概率，當(dāng)當(dāng)p0.05稱差異是顯著的，當(dāng)稱差異是顯著的，當(dāng)p X=2.1650 3.6961 1.5538 3.6400 4.95511.6268 2.0591 2.2988 3.8644 4.20111.0751 3.7971 4.2460 2

25、.6507 4.23481.3516 2.2641 2.3610 2.7296 5.86170.3035 2.8717 3.5774 4.9846 4.9438; p=anova1(X)p =5.9952e-005例例. 某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對(duì)魚某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對(duì)魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚20尾，隨尾，隨機(jī)分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個(gè)月試驗(yàn)以后，機(jī)分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個(gè)月試驗(yàn)以后，各組魚的增重結(jié)果列于下表。各組魚的增重結(jié)果列于下表。表表 飼喂不同飼料的魚的增（單位：飼喂不同飼料的魚的增（單位：10g）飼料

26、飼料魚的增重（魚的增重（xijij）A A1 131.931.927.927.931.831.828.428.435.935.9A A2 224.824.825.725.726.826.827.927.926.226.2A A3 322.122.123.623.627.327.324.924.925.825.8A A4 427.027.030.830.829.029.024.524.528.528.5四種不同飼料對(duì)魚的增重效果是否顯著四種不同飼料對(duì)魚的增重效果是否顯著 ？解解：這是單因素均衡數(shù)據(jù)的方差分析，：這是單因素均衡數(shù)據(jù)的方差分析，Matlab程序程序如下：如下：A=31.927.9 3

27、1.8 28.4 35.9 24.825.7 26.8 27.9 26.2 22.123.6 27.3 24.9 25.8 27.030.8 29.0 24.5 28.5; %原始數(shù)據(jù)輸入原始數(shù)據(jù)輸入 B=A; % 將矩陣轉(zhuǎn)置將矩陣轉(zhuǎn)置,Matlab中要求各列為不同水平中要求各列為不同水平p=anova1(B) 運(yùn)行后得到一表一圖，表是方差分析表（重要）；圖運(yùn)行后得到一表一圖，表是方差分析表（重要）；圖是各列數(shù)據(jù)的盒子圖，離盒子圖中心線較遠(yuǎn)的對(duì)應(yīng)于是各列數(shù)據(jù)的盒子圖，離盒子圖中心線較遠(yuǎn)的對(duì)應(yīng)于較大的較大的F值，較小的概率值，較小的概率p.SourceSource方差來源方差來源SSSS平方和平

28、方和dfdf自由度自由度MSMS均方差均方差F F統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量P P值值ColumnsColumns( (因素因素A A組間組間) )SSSSA Ar-1r-1SS/(r-1)SS/(r-1)7.147.140.00290.0029ErrorError誤差誤差（組內(nèi)）（組內(nèi)）SSSSE En-rn-rSS/(n-r)SS/(n-r)TotalTotal總和總和SSSST Tn-1n-1表中所列出的各項(xiàng)意義如下：表中所列出的各項(xiàng)意義如下：因?yàn)橐驗(yàn)閜=0.0029FFF0.990.99時(shí)時(shí), ,稱因子的影響高度顯著稱因子的影響高度顯著, ,記為記為“* * *”;”;當(dāng)當(dāng)F F0.990.99FF

29、FF0.950.95時(shí)時(shí), ,稱因子的影響顯著稱因子的影響顯著, ,記為記為“* *”; ”; 當(dāng)當(dāng)F FF F0.950.95時(shí)時(shí), ,稱因子無顯著影響稱因子無顯著影響, ,即認(rèn)為因即認(rèn)為因子各水平間無差異子各水平間無差異. . 例例:為了考察蒸餾水的為了考察蒸餾水的pH值和硫酸銅溶液濃度值和硫酸銅溶液濃度對(duì)化驗(yàn)血清中白蛋白與球蛋白的影響對(duì)化驗(yàn)血清中白蛋白與球蛋白的影響,對(duì)蒸餾水的對(duì)蒸餾水的pH值值(A)取了取了4個(gè)不同水平個(gè)不同水平,對(duì)硫酸銅溶液濃度對(duì)硫酸銅溶液濃度(B)取了取了3個(gè)不同水平個(gè)不同水平,在不同水平組合在不同水平組合(Ai,Bj)下各測(cè)一下各測(cè)一次白蛋白與球蛋白之比次白蛋白與

30、球蛋白之比,其結(jié)果列于計(jì)算表的左上其結(jié)果列于計(jì)算表的左上角角.試檢驗(yàn)兩因子對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有無顯著差異試檢驗(yàn)兩因子對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有無顯著差異.解解26. 022. 252.3897.1624129. 552.3843.1313177. 752.3829.4652.38)(121,29.4612, 3, 42413141312BATEBATijijijijSSSSSSSxxrsnsr這里查查F-分布表得分布表得:F0.95(3,6)= 4.76, F0.95(2,6)= 5.14 , F0.99(3,6)=9.78, F0.99(2,6)=10.9,由此可知由此可知FA F0.99(3,6); FB F0

31、.99(2,6).所以因子所以因子A及及因子因子B的不同水平對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有高度顯著影響的不同水平對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有高度顯著影響.),(),(,.,.,22121分布獨(dú)立地服從水平組合下的試驗(yàn)結(jié)果在個(gè)不同水平取因子平個(gè)不同水取因子有二個(gè)因子在變動(dòng)設(shè)在某試驗(yàn)中ijjisrNBABBBsBAAArAsjrrisrsjjriijjiisjijirisjij,.,2 , 11;,.,2 , 111,.1.1.11并令把參數(shù)改變一下為了研究方便2.3 有交互作用的雙因子方差分析有交互作用的雙因子方差分析11,0,1,2,.,0,1,2,.,ijijijijijrijisijjAiBjjsir若則稱為因子 的第 個(gè)

32、水平與因子 的第 個(gè)水平的交互效應(yīng) 它們滿足關(guān)系式11,00ijrsijijAiBj稱 為一般平均為因子 的第 個(gè)水平的效應(yīng)為因子 的第 個(gè)水平的效應(yīng) 它們滿足關(guān)系式11112,(,)(2),:0,0,0,0,(0,),1,2,., ;1,2,., ;1,2ijijkijkijijijkrsijijrsijijijijkA Bt tXXNirjsk為了研究有交互效應(yīng)對(duì)結(jié)果是否有顯著影響 那么在水平組合下至少要做次試驗(yàn) 并記結(jié)果為如表所示 則有交互作用的方差分析模型為且相互獨(dú)立,.,t0112021203:.0:.0:0, ,:rsijHHHi j 對(duì)此模型要做的檢驗(yàn)假設(shè)為risjtkijkXn

33、X1111其中其中n=rst 仍然用平方和分解的思想來給出檢驗(yàn)用的統(tǒng)仍然用平方和分解的思想來給出檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量，先引入下述記號(hào)：計(jì)量，先引入下述記號(hào)：sjXrtXXXriXstXXXsjriXXXXijrjtkijkjiisjtkijkiijtijtkijki,.,2 , 1.,1. .,. .,.,2 , 1.,1.,.,.,2 , 1;,.,2 , 1.,.,.111111. . .jjjijiijijjiijXXXsX由此可知由此可知總的偏差平方和可作如下的分解總的偏差平方和可作如下的分解:21112211112211 11()(.)(.)(. .)(.)rstTijkijkrstrij

34、kijiijkisrsjijiijijEABA BSXXXXst XXrt XXt XXXXSSSS 其中各偏差平方和表達(dá)式如下其中各偏差平方和表達(dá)式如下:risjtkijijkEXXS1112.)(riiAXXstS12).(sjjBXXrtS12). .(risjjiijBAXXXXtS112). .( 各偏差平方和的意義各偏差平方和的意義: : S SE E表示試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差表示試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差, ,稱為誤差平稱為誤差平方和方和; ; S SA A除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外, ,還反還反映了因子映了因子A A的效應(yīng)間的差異的

35、效應(yīng)間的差異, ,稱為因子稱為因子A A的偏差平方和的偏差平方和; ; S SB B除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外, ,還反映還反映了因子了因子B B的效應(yīng)間的差異的效應(yīng)間的差異, ,稱為因子稱為因子B B的偏差平方和的偏差平方和; ; S SA AB B除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外, ,還還反映了交互效應(yīng)的差異所引起的波動(dòng)反映了交互效應(yīng)的差異所引起的波動(dòng), ,稱為交互作稱為交互作用的偏差平方和用的偏差平方和. .)1(, 1() 1(/) 1/(,01trsrFtrsSrSFHEAA為真時(shí)當(dāng) 同無交互作用的

36、情況類似可得同無交互作用的情況類似可得: 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及顯著性檢驗(yàn):)1(),1)(1() 1(/) 1)(1/(,03trssrFtrsSsrSFHEBABA為真時(shí)當(dāng))1(, 1() 1(/) 1/(,02trssFtrsSsSFHEBB為真時(shí)當(dāng) 這就是用來檢驗(yàn)假設(shè)這就是用來檢驗(yàn)假設(shè)H01,H02,H03,的統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量.按照顯按照顯著性假設(shè)檢驗(yàn)程序著性假設(shè)檢驗(yàn)程序,對(duì)給定的顯著性水平對(duì)給定的顯著性水平, 當(dāng)當(dāng)FAF1-(r-1,rs(t-1)時(shí)拒絕時(shí)拒絕H01; 當(dāng)當(dāng)FBF1-(s-1,rs(t-1)時(shí)拒絕時(shí)拒絕H02; 當(dāng)當(dāng) FABF1-(r-1)(s-1),rs(

37、t-1)時(shí)拒絕時(shí)拒絕H03. 具體的計(jì)算過程具體的計(jì)算過程,各偏差平方和的計(jì)算也可用下各偏差平方和的計(jì)算也可用下面簡化的表達(dá)式面簡化的表達(dá)式,且可列成一張計(jì)算表和方差分析且可列成一張計(jì)算表和方差分析表表.) 1() 1)(1(111111,1122.212.212.11122trsfSSSSSsrfSSXnXtSsfXnXrtSrfXnXstSrstfXnXSEBABATEriBAsjBAijBABrijBAriiATrisjtkijkT可用下式在具體計(jì)算時(shí) 一般一般,當(dāng)當(dāng)FF0.99時(shí)時(shí),稱因子的影響高度顯著稱因子的影響高度顯著,記為記為“*”;當(dāng)當(dāng)F0. 99FF0.95時(shí)時(shí),稱因子的影響

38、顯著稱因子的影響顯著,記為記為“*”;當(dāng)當(dāng)FF0.95時(shí)時(shí), 稱因子無顯著影響稱因子無顯著影響,即認(rèn)為因子各水平間無差異即認(rèn)為因子各水平間無差異. 例例:在某化工生產(chǎn)中為了提高收率在某化工生產(chǎn)中為了提高收率,選了三種不同濃選了三種不同濃度度,四種不同溫度做試驗(yàn)四種不同溫度做試驗(yàn).在同一濃度與同一溫度組合在同一濃度與同一溫度組合下各做二次試驗(yàn)下各做二次試驗(yàn),其收率數(shù)據(jù)如下而計(jì)算表所列其收率數(shù)據(jù)如下而計(jì)算表所列(數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)均已減去均已減去75).試檢驗(yàn)不同濃度試檢驗(yàn)不同濃度,不同溫度以及它們間的不同溫度以及它們間的交互作用對(duì)收率有無顯著影響交互作用對(duì)收率有無顯著影響.解解:0000.650000.2

39、75000.113333.441667.26045374215000.111667.260415694613333.441667.260421188818333.1471667.2604275253741667.2604)(241275224, 2, 4, 331412.23141213141212BABATEBABATijijijkijkijkijkSSSSSSSSSxxxrstntsr這里查表知查表知F0.95(2,12)=3.89, F0.99(2,12)=6.93; F0.95(3,12)=3.49, F0.99(3,12)=5.95; F0.95(6,12)=3.00, F0.99(

40、6,12)=4.81.由此知由此知F0.95FA F0.99,而而FBF0.95,FABF0.95.故濃度不故濃度不同將對(duì)收率產(chǎn)生顯著影響同將對(duì)收率產(chǎn)生顯著影響;而溫度和交互作用的影響都而溫度和交互作用的影響都不顯著不顯著.2.4. 雙因素的方差分析的雙因素的方差分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 在在Matlab中雙因素的方差分析命令如下：中雙因素的方差分析命令如下：雙因素方差分析雙因素方差分析:anova2調(diào)用格式調(diào)用格式:(1) p=anova2(X)(2) p=anova2(X,reps)(3) p=anova2(X,reps,displayopt)(4) p,table=anova1(.)(

41、5) p,table,stats=anova1(.) 在在Matlab中雙因素有交互作用的方差分析命令如下：中雙因素有交互作用的方差分析命令如下：p,t,s=anova2(X,resp)其中輸入其中輸入X是一個(gè)矩陣；是一個(gè)矩陣；resp表示試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)表示試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)輸出的輸出的p值有三個(gè)，分別為各行、各列以及交互作值有三個(gè)，分別為各行、各列以及交互作用的概率用的概率.若若p0.05,有顯著差異有顯著差異若若p X=5.5 4.5 3.55.5 4.5 4.06.0 4.0 3.06.5 5.0 4.07.0 5.5 5.07.0 5.0 4.5; p=anova2(X,3)p =0.00

42、00 0.0001 0.74622021年9月20日MATLAB和R軟件83例例 一火箭使用了一火箭使用了4種燃料，種燃料，3種推進(jìn)器作射程試驗(yàn)，種推進(jìn)器作射程試驗(yàn)，每種燃料與每種推進(jìn)器的組合各發(fā)射火箭每種燃料與每種推進(jìn)器的組合各發(fā)射火箭2次，次，得到結(jié)果如下：得到結(jié)果如下：B1B2B3A158.2,52.6 56.2,41.265.3,60.8A249.1,42.854.1,50.551.6,48.4A360.1,58.370.9,73.239.2,40.7A475.8,71.5 58.2,51.048.7,41.4試在水平試在水平0.05下，檢驗(yàn)不同燃料（因素下，檢驗(yàn)不同燃料（因素A）、）

43、、不同推進(jìn)器（因素不同推進(jìn)器（因素B ）下的射程是）下的射程是否有顯著差異？交互作用是否顯著？否有顯著差異？交互作用是否顯著？84解解 編寫程序如下：編寫程序如下：clc,clearx0=58.2,52.6 56.2,41.2 65.3,60.849.1,42.8 54.1,50.5 51.6,48.460.1,58.3 70.9,73.2 39.2,40.775.8,71.5 58.2,51.0 48.7,41.4;x1=x0(:,1:2:5);x2=x0(:,2:2:6);for i=1:4x(2*i-1,:)=x1(i,:);x(2*i,:)=x2(i,:);endp=anova2(x,2)求得求得p=0.0035 0.0260