[中考數(shù)學(xué)壓軸題的解題策略12講之一]等腰三角形的存在性問題解題策略

1、 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 代數(shù)法三部曲： 先羅列三邊； 再分類列方程； 后解方程、檢驗(yàn) 幾何法與代數(shù)法相結(jié)合 幾何法代數(shù)法 幾何法與代數(shù)法相結(jié)合又好又快 確定目標(biāo)準(zhǔn)確定位 08重慶28 )4)(2( 2 1 4 2 1 2 xx xxy ).0 , 2(),4 , 0(),0 , 4(),0 , 2(DCAB 點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QEAC . 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 )4)(2( 2 1 4 2 1 2 xx xxy 點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QEAC . 若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交 于點(diǎn)F，問：是否存在這樣的

2、直線，使得ODF是等腰三 角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo) . 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 第一步第一步 分類分類 若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交 于點(diǎn)F，問：是否存在這樣的直線，使得ODF是等腰三 角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo) . OD = OF DO = DF FO = FD 第二步第二步 畫圖畫圖 F在直線AC上， ODF是等腰三角形 OD = OF， DO = DF， FO = FD ， ).0 , 2(),4 , 0(),0 , 4(),0 , 2(DCAB 點(diǎn)F不存在 點(diǎn)F有兩個(gè)：與A重合， F1(2,2) . 點(diǎn)F2(1,3) . 第三步第三

3、步 計(jì)算計(jì)算 4 2 1 2 xxy F1(2,2)，F(xiàn)2(1,3). 若PF /x軸，F(xiàn)在拋物線上，P在直線AC上，求點(diǎn)P的坐標(biāo) . (1)當(dāng)y =2時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)P有兩個(gè)； (2)當(dāng)y =3時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)P有兩個(gè). ).0 , 2(),4 , 0(),0 , 4(),0 , 2(DCAB 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交 于點(diǎn)F，問：是否存在這樣的直線，使得ODF是等腰三 角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo) . 小結(jié)小結(jié) 因因P而而F?因因F而而P? . 3), 1 ( ),3 , 1 (),1, 1( mmB P

4、A 且 若ABP是等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo) 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 3) 1( 22 2 2 x xxy 09寶山24 第一步第一步 分類分類 AB = AP BA = BP PA = PB 若ABP是等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo) 第二步第二步 畫圖畫圖 AB = AP BA = BP PA = PB 第三步第三步 計(jì)算計(jì)算具體情況具體分析具體情況具體分析 AB = AP . 3), 1 ( ),3 , 1 (),1, 1( mmB PA 且 點(diǎn)點(diǎn)B與點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于直線關(guān)于直線y =1對(duì)稱對(duì)稱 )5, 1 ( B PA = PB . 3), 1 ( ),3 , 1 (),1, 1

5、( mmB PA 且 5242 22 PA )523 , 1 (B 第三步第三步 計(jì)算計(jì)算具體情況具體分析具體情況具體分析 BA = BP . 3), 1 ( ),3 , 1 (),1, 1( mmB PA 且 222 )3() 1(2mm BA2 = BP2 ) 2 1 , 1 (, 2 1 Bm 第三步第三步 計(jì)算計(jì)算具體情況具體分析具體情況具體分析 小結(jié)小結(jié) 用代數(shù)法解也很方便用代數(shù)法解也很方便盲解盲解 代數(shù)法三部曲： 先羅列三邊； 再分類列方程； 后解方程、檢驗(yàn) . 3), 1 ( ),3 , 1 (),1, 1( mmB PA 且 第一步第一步 羅列三邊（的平方）羅列三邊（的平方）

6、若ABP是等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo) 222 ) 1(2mAB20 2 AP 22 ) 3( mBP 小結(jié)小結(jié) 用代數(shù)法解也很方便用代數(shù)法解也很方便盲解盲解 代數(shù)法三部曲： 先羅列三邊； 再分類列方程； 后解方程、檢驗(yàn) 第二步第二步 分類列方程分類列方程 222 ) 1(2mAB 20 2 AP 22 ) 3( mBP AB2 = AP2 BA2 = BP2 PA2 = PB2 20) 1(2 22 m 222 ) 3() 1(2mm 20) 3( 2 m 小結(jié)小結(jié) 用代數(shù)法解也很方便用代數(shù)法解也很方便盲解盲解 代數(shù)法三部曲： 先羅列三邊； 再分類列方程； 后解方程、檢驗(yàn) 第三步第三步 解方程、

7、檢驗(yàn)解方程、檢驗(yàn) 20) 1(2 22 m 222 ) 3() 1(2mm 20) 3( 2 m . 3), 1 (mmB且 )5, 1 ( B )523 , 1 (B ) 2 1 , 1 (B 當(dāng)BDG是等腰三角形時(shí)，求AD的長(zhǎng) 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 6, 5BCACAB 09黃浦25 BC A D E FG DEFGBCDE正方形,/ xADD,動(dòng)點(diǎn) 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 6, 5BCACAB DEFGBCDE正方形,/ xADD,動(dòng)點(diǎn) 熱身運(yùn)動(dòng) 尋找BDG中不變的元素 BC A D E FG Q P BDG的大小不變 幾何法三部曲： 先分類；

8、再畫圖； 后計(jì)算 6, 5BCACAB DEFGBCDE正方形,/ xADD,動(dòng)點(diǎn) 熱身運(yùn)動(dòng) 用x表示BD、DG BC A D E FG Q P xBD5 xDPDEDG 5 6 2 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 熱身運(yùn)動(dòng) 簡(jiǎn)化圖形，遷移數(shù)據(jù) BC A D E FG Q P x5 x 5 6 G B D 5 4 cosD x5 x 5 6 G B D 5 4 cosD 第一步第一步 分類分類 BD = BG DB = DG GB = GD 當(dāng)BDG是等腰三角形時(shí)， 求AD (x)的長(zhǎng) 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 幾何法三部曲：先分類；再畫圖；后計(jì)算 第二步第二步

9、畫圖畫圖 BD = BG 因B而G x5 x 5 6 B D G x5 x 5 6 B D G N GB = GD 因G而B DB = DG 因B而G x5 x 5 6 B D G M 第三步第三步 計(jì)算計(jì)算具體問題具體分析具體問題具體分析 BD = BG 因B而G 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 x x D 5 5 3 5 4 cos x5 x 5 6 B D G M 20 7 x 第三步第三步 計(jì)算計(jì)算具體問題具體分析具體問題具體分析 x5 x 5 6 B D G DB = DG 因B而G 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 xx 5 6 5 25 11 x 第三步第三

10、步 計(jì)算計(jì)算具體問題具體分析具體問題具體分析 x5 x 5 6 B D G N GB = GD 因G而B 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 x x D 5 6 )5( 2 1 5 4 cos 125 73 x 設(shè)點(diǎn)P在x軸的正半軸上， 若POD是等腰三角形， 求點(diǎn)P的坐標(biāo) 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 09上海24 D的坐標(biāo)為（3，4） 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 第一步第一步 分類分類 PO = PD OP = OD DO = DP POD是等腰三角形 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 第二步第二步 畫圖畫圖 PO = PD OP = OD

11、DO = DP 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 第三步第三步 計(jì)算計(jì)算求求OP的長(zhǎng)的長(zhǎng) 具體問題具體分析具體問題具體分析 PO = PD 2 5 2 1 ODOE O橫看成嶺側(cè)成峰 OP OE O 5 3 cos 6 25 3 5 OEOP 0 , 6 25 1 P 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 OP = OD 第三步第三步 計(jì)算計(jì)算求求OP的長(zhǎng)的長(zhǎng) 具體問題具體分析具體問題具體分析 無(wú)需多理 信手拈來(lái) OP = OD =5 P2(5,0) 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 DO = DP 第三步第三步 計(jì)算計(jì)算求求OP的長(zhǎng)的長(zhǎng) 具體問題具體分析具體問題具體

12、分析 數(shù)形結(jié)合 無(wú)需多理 OP =2CD =6 P3(6,0) 小結(jié)小結(jié) 代數(shù)法也方便代數(shù)法也方便盲解盲解 PO = PD OP = OD DO = DP 代數(shù)法三部曲： 先羅列三邊； 再分類列方程； 后解方程、檢驗(yàn) 0),0 ,(aaP設(shè) 22 4)3(, 5aPDaOPOD 22 4)3(aa5a 22 4)3(5a 設(shè)點(diǎn)P在x軸的正半軸上，若POD是等腰三角形， 求點(diǎn)P的坐標(biāo) D的坐標(biāo)為（3，4） 09深圳23 點(diǎn)P（0，k）是y軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 以P為圓心，3為半徑作 P 當(dāng)k為何值時(shí)，以 P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心 P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？ 當(dāng)k為何值時(shí)， 以 P與直 線l

13、的兩個(gè)交 點(diǎn)和圓心P 為頂點(diǎn)的三 角形是正三 角形？ 這是特例！反例？這是特例！反例？ 三部曲失效了！三部曲失效了！ 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上 以P為圓心，3為半徑作 P P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形 第一步第一步 畫圖畫圖不求準(zhǔn)確，但求思路不求準(zhǔn)確，但求思路 假設(shè)一個(gè)位置畫P 不理它 先畫PE 再畫PC、PD A(4, 0)，B(0,8) 點(diǎn)P（0，k）是y軸的負(fù)半軸 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P的半徑為3 正三角形PCD 第二步第二步 羅列、標(biāo)記已知量羅列、標(biāo)記已知量 理清思路理清思路 PC=3 求出PE 求出sinB 求出BP求出OP

14、寫出點(diǎn)P的坐標(biāo) 點(diǎn)P（0，k）是y軸的負(fù)半軸 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 分類討論思想 思路 第三步第三步 豐富思想豐富思想 完善思路完善思路 P在B上， P在B下 . P與P關(guān)于B對(duì)稱 寫出點(diǎn)P的坐標(biāo) OPOBBP 小結(jié)小結(jié)數(shù)形結(jié)合、分類討論數(shù)形結(jié)合、分類討論 2 33 PE 5 1 sinABO 2 153 5PEBP 2 153 8BPOBOP 2 153 8BPOBOP 2 153 8, 0P 2 153 8, 0P 幾何法三部曲： 先分類； 再畫圖； 后計(jì)算 幾何法解答不了的反例！幾何法解答不了的反例！ 點(diǎn)P是x軸的正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) PQAB，與y軸的正半軸交于Q 若APQ是等腰三角形， 求點(diǎn)P

15、的坐標(biāo) 無(wú)法畫圖 幾何法解答不了的反例！幾何法解答不了的反例！ PQAB，與y軸的正半軸交于Q OP2OQ AOBQOP 熱身運(yùn)動(dòng)熱身運(yùn)動(dòng) 第一步第一步 羅列三邊（的平方）羅列三邊（的平方） 代數(shù)法三部曲： 先羅列三邊； 再分類列方程； 后解方程、檢驗(yàn) ).0 ,2(, 0),0 ,(aPaaQ那么設(shè) 22 (21)APa OP2OQ 若APQ是等腰三角形 1 22 aAQ 22 5aPQ 第二步第二步 分類列方程分類列方程 代數(shù)法三部曲： 先羅列三邊； 再分類列方程； 后解方程、檢驗(yàn) 22 (21)APa 若APQ是等腰三角形 1 22 aAQ 22 5aPQ AP = AQ PA = PQ QA = QP 22 (21)1aa 22