彈性力學(xué)第二章習(xí)題課

1、例題2例題3例題4例題7例題5例題6例題1例1 試列出圖中的邊界條件。SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl(a)解解: : ( (a) )在主要邊界在主要邊界 應(yīng)精確滿足下列應(yīng)精確滿足下列邊界條件：邊界條件：. , 0 , 2/; 0 ,)( , 2/12qhylxqhyxyyxyy2/hy在小邊界在小邊界x = 0應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的近似邊界條件，當(dāng)板厚分的近似邊界條件，當(dāng)板厚 時(shí)，時(shí)，1。sxhhxyxhhxxhhxFyMyyFyd)(,d)(,d)(02/2/02/2/02/2/在小邊界在小邊界x = l，當(dāng)平衡微分方程和其它

2、各邊，當(dāng)平衡微分方程和其它各邊界條件都已滿足的條件下，三個(gè)積分的邊界界條件都已滿足的條件下，三個(gè)積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。條件必然滿足，可以不必校核。(b) 在主要邊界x= 0, b，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：。qlxgyxxyxxyx , 0 ; 0 , 0030FOxyqh(b)gy b/2 b/2) 1,(bh 在小邊界在小邊界y = 0，列出三個(gè)積分的邊界條，列出三個(gè)積分的邊界條件，當(dāng)板厚件，當(dāng)板厚 時(shí)，時(shí)，1。2d)(,43d)(,23d)(000000FxbFxxFxybyxybyyby 注意在列力矩的條件時(shí)兩邊均是對原點(diǎn)注意在列力矩的條件時(shí)兩邊均是對原點(diǎn)o 的力矩來計(jì)算

3、的。的力矩來計(jì)算的。 對于對于y = h的小邊界可以不必校核。的小邊界可以不必校核。例例2 2 厚度厚度 的懸臂梁，受一端的集中力的懸臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是的作用。已求得其位移的解答是 試檢查此組位移是否是圖示問題的解答。試檢查此組位移是否是圖示問題的解答。1。EIFlEIFxlEIFxEIFxyvyIGFhEIFlIGFyEIFyEIyFxu3262,)82(662323222332 h/2 h/2AxylFO) 1,(hl解：解： 此組位移解答若為圖示問題的解答，此組位移解答若為圖示問題的解答，則應(yīng)滿足下列條件則應(yīng)滿足下列條件: :(1) (1) 區(qū)域內(nèi)用位移表

4、示的平衡微分方程區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程 ( (書中式書中式2 21818）; ;（2 2）應(yīng)力邊界條件（書中式）應(yīng)力邊界條件（書中式2 21919），在），在 所有受面力的邊界所有受面力的邊界 上。其中在小邊上。其中在小邊 界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積 分的邊界條件來代替。分的邊界條件來代替。（3 3）位移邊界條件（書中式）位移邊界條件（書中式2 21414）。本）。本 題在題在x = l的小邊界上，已考慮利用圣的小邊界上，已考慮利用圣 維南原理，使三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條維南原理，使三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條 件已經(jīng)滿足。件已經(jīng)滿足。S 因此，只需校核下列三

5、個(gè)剛體的因此，只需校核下列三個(gè)剛體的約束條件：約束條件： A A點(diǎn)（點(diǎn)（ x = l及及y = 0），），.0),(xuvu 讀者可校核這組位移是否滿足上述讀者可校核這組位移是否滿足上述條件，如滿足，則是該問題之解。條件，如滿足，則是該問題之解。例例3 3 試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在能存在。CxycCxyyBxAybDyCByAxyaxyyxxyyxxyyx , 0 )(; , , )(; , , )(2223解：解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變 相容條件，即相容條件，即 （a a）相容；）相容； （b b）須

6、滿足）須滿足B = 0, 2A=C ； （c c）不相容。只有）不相容。只有C = 0，則，則.22222yxxyxyyx例例4 4 在無體力情況下，試考慮下列應(yīng)力分在無體力情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在：量是否可能在彈性體中存在：; ),( ),( )(; , , )(2222CxyyxByxAbFyExDyCxByAxaxyyxxyyx解解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須 滿足：滿足： （1 1）平衡微分方程；）平衡微分方程； （2 2）相容方程；）相容方程； （3 3）應(yīng)力邊界條件（當(dāng)）應(yīng)力邊界條件（當(dāng) ）。）。SS（a a）此組應(yīng)力滿足

7、相容方程。為了滿足）此組應(yīng)力滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須平衡微分方程，必須A=-F, D=-EA=-F, D=-E 此外，還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。此外，還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。（b b）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足足 A A + + B B = 0= 0。 為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足足 A A = = B B =- =-C C/2/2。上兩式是矛盾的，因此此組應(yīng)力分量不可上兩式是矛盾的，因此此組應(yīng)力分量不可能存在。能存在。例例5 5 若若 是平面調(diào)和函數(shù)，即滿足拉是平面調(diào)和函數(shù)，即滿足拉普普 拉斯方程拉斯方

8、程 試證明函數(shù)試證明函數(shù) 都滿足重調(diào)和方程，因都滿足重調(diào)和方程，因 而都可以作為而都可以作為應(yīng)力函數(shù)使用。應(yīng)力函數(shù)使用。),( yxf. 02 ffyxyfxff) ( , , ,22),( yxf04解：解： 上述函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)，均能滿足相上述函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)，均能滿足相 容方程（重調(diào)和方程），容方程（重調(diào)和方程），. 04例例6 6 圖中的梁，受到如圖所示的荷載的作圖中的梁，受到如圖所示的荷載的作用，試用下列應(yīng)力表達(dá)式求解其應(yīng)力，用，試用下列應(yīng)力表達(dá)式求解其應(yīng)力，。xChqxyCyCyhqyyxhqxyy2),46(a)202qh)202(22qhqlxy) 1

9、,(hlloqql h/2 h/2解：解：本題是按應(yīng)力求解的，在應(yīng)力法中，本題是按應(yīng)力求解的，在應(yīng)力法中，應(yīng)力分量在單連體中必須滿足應(yīng)力分量在單連體中必須滿足（1）平衡微分方程；）平衡微分方程；（2）相容方程）相容方程 ;（3）應(yīng)力邊界條件（在）應(yīng)力邊界條件（在 上）。上）。 將應(yīng)力分量（將應(yīng)力分量（a）代入平衡微分方程和）代入平衡微分方程和相容方程，兩者都能滿足。相容方程，兩者都能滿足。0)(2yxSS足。將得即代入后 滿C，C , 0 ,2.2 得,2)8(2即 , ,2 ; 23 , 0)46( , 0 ,221221331123yyxyhyqCqChChhqqhyhqCChhqxhy得

10、到應(yīng)力公式，代入，將 ),( 21aCC)() 14(23),22321(),23(22233223bhyhqxhyhyqyxhqyxyyx。再將式（再將式（b）表達(dá)式代入次要邊界條件，）表達(dá)式代入次要邊界條件， . 20d , 0d ,4 , 0 , 0202 /2 /-02 /2 /-33qhyyyhyqxxxhhxxhhxxy）（而主矩為）（其主矢量為).202(d , 0 ),46 ( .d ),14(23 , 222 /2 /-32302 /2 /-22qhqlyyyylhqqlyhyhqllxlxxhhxxxyhhxy）（而主矩為其主矢量為）（其主矢量為 由此可見，在次要邊界上的積

11、分邊由此可見，在次要邊界上的積分邊界條件均能滿足。因此，式（界條件均能滿足。因此，式（b）是圖）是圖示問題之解。示問題之解。 q(x)xy) 1,(hllo h/2 h/2例例7 7 在材料力學(xué)中，當(dāng)矩形截面梁（度在材料力學(xué)中，當(dāng)矩形截面梁（度 ）受任意的橫向受任意的橫向荷載荷載q( (x) )作用作用而彎曲時(shí)，彎而彎曲時(shí)，彎曲應(yīng)力公式為曲應(yīng)力公式為1.)(yIxMx（a）試由平衡微分方程（不計(jì)體力）導(dǎo)出）試由平衡微分方程（不計(jì)體力）導(dǎo)出切應(yīng)力切應(yīng)力 和擠壓應(yīng)力和擠壓應(yīng)力 的公式。的公式。yxy （提示：注意關(guān)系式（提示：注意關(guān)系式積分后得出的任意函數(shù)，可由梁的上下邊界積分后得出的任意函數(shù)，可

12、由梁的上下邊界條件來確定。）條件來確定。）qxFFxMssdd dd（b）當(dāng)）當(dāng)q為常數(shù)時(shí)，試檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否為常數(shù)時(shí)，試檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否 滿足相容方程，試在滿足相容方程，試在 中加上一項(xiàng)對平衡中加上一項(xiàng)對平衡沒有影響的函數(shù)沒有影響的函數(shù)f (y)，再由相容方程確定，再由相容方程確定f (y), ,并校核梁的左右邊界條件。并校核梁的左右邊界條件。x解：本題引用材料力學(xué)的彎應(yīng)力解：本題引用材料力學(xué)的彎應(yīng)力 的解，的解，作為初步的應(yīng)力的假設(shè)，再按應(yīng)力法求作為初步的應(yīng)力的假設(shè)，再按應(yīng)力法求解。應(yīng)力分量必須滿足解。應(yīng)力分量必須滿足 （1 1）平衡微分方程；）平衡微分方程； （2 2）相容方程；）相容方

13、程； （3 3）應(yīng)力邊界條件（在）應(yīng)力邊界條件（在 上）。上）。xSS （a）不計(jì)體力，將）不計(jì)體力，將 代入平衡微代入平衡微 分方程第一式，分方程第一式， 得得: :yIxMx)(, 0yxyxx.ddIyFIyxMysyx兩邊對兩邊對y積分，得積分，得),(212xfIyFsyx再由上下的邊界條件再由上下的邊界條件 , 0)(2/ hyyx得代入得 , ,8 )( 21yxsIhFxf)( ).28 , 22cyhSISFsyx（其中將將 代入平衡微分方程的第二式代入平衡微分方程的第二式, ,yx, 0 xyxyy對對y積分，得積分，得 ).28()28(12222yhIqyhIdxdFy

14、sy得得).()618(232xfyyhIqy由上下的邊界條件，由上下的邊界條件，。同樣得得2)( ,)(;224)( , 0)(22/322/qxfqqhIqxf hyyhyy由此得由此得)().22321()61824(33323dhyhyqyyhhIqy 上述解答上述解答 及式及式( (c),(),(d) )已經(jīng)滿足平衡已經(jīng)滿足平衡微分方程及微分方程及 的邊界條件；但一般不的邊界條件；但一般不滿足相容方程，且尚未校核左右端的小邊界滿足相容方程，且尚未校核左右端的小邊界條件。條件。x2hy（b）若）若q為為常數(shù)，則常數(shù)，則 ，得，得 代入相容方程，代入相容方程，為了滿足相容方程，為了滿足相容方程，)(2222lxlxqlM).22321( ,)(6332232hyhyqylxlxhqlyx. 024 )(32yhqyx ),()(62232yfylxlxhqlx令 此式此式 和式（和式（c）、（）、（d）的一組應(yīng)力）的一組應(yīng)力分分量仍然滿足平衡微分方程；再代入相容方量仍然滿足平衡微分方程；再代入相容方程，得程，得積分得積分得x, 0d)(d24)(2232yyfyhqyx.4)(33BAyyhqyf由次要邊界條件由次要邊界條件。得滿足。得，hqAyyyyBylxxhhxhhxlxhhx53 , 0d)( , 0d)(; 0 ,