建筑工程類第2章布爾代數(shù)基礎(課堂講義)

1、 第2章 布爾代數(shù)基礎2.1 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本概念邏輯代數(shù)的基本概念 2.1.2 邏輯函數(shù)邏輯函數(shù) 2.1.3 邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則 2.1.4 邏輯表達式的基本形式邏輯表達式的基本形式 2.1.5 邏輯函數(shù)的標準形式邏輯函數(shù)的標準形式 2.1.6 邏輯函數(shù)表達式的轉換邏輯函數(shù)表達式的轉換2.2 邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡 2.2.1 代數(shù)化簡法代數(shù)化簡法 2.2.2 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法導航：導航：1、點擊、點擊“右鍵右鍵”，選擇，選擇“全屏顯示全屏顯示”全屏顯示全屏顯示 2、點擊、點擊“右鍵右鍵”，選擇，選擇“下一張

2、下一張”播放播放PP 3、點擊游覽器左上角點擊游覽器左上角“后退后退”，退出退出PP 第2章 布爾代數(shù)基礎 概述 研究數(shù)字系統(tǒng)中邏輯電路設計和分析的數(shù)學工具是布爾代研究數(shù)字系統(tǒng)中邏輯電路設計和分析的數(shù)學工具是布爾代數(shù)。數(shù)。 布爾代數(shù)是由邏輯變量集布爾代數(shù)是由邏輯變量集K(A、B、C、)，常量，常量“0”、“1”以及以及“與與”、“或或”、“非非”3種基本邏輯運算構成的代種基本邏輯運算構成的代數(shù)系統(tǒng)。數(shù)系統(tǒng)。 邏輯變量集邏輯變量集K是布爾代數(shù)中變量的集合，它可以用任何字母是布爾代數(shù)中變量的集合，它可以用任何字母表示，每個變量的取值只能為常量表示，每個變量的取值只能為常量“0”或或“1”。 在數(shù)字

3、系統(tǒng)中使用布爾變量表示開關電路的輸入或輸出。這在數(shù)字系統(tǒng)中使用布爾變量表示開關電路的輸入或輸出。這些變量的每一個取值是些變量的每一個取值是“0”或或“1”兩個不相同的值。兩個不相同的值?！?”可可以代表低電壓，以代表低電壓，“1”可以代表高電壓。可以代表高電壓。F( False )和和T( True )也也可以用于表示可以用于表示“0”或或“1”。 布爾代數(shù)把矛盾的一方假設為布爾代數(shù)把矛盾的一方假設為“1”，另一方假設為，另一方假設為“0”，使之數(shù)學化。使之數(shù)學化。 這樣可以使用布爾代數(shù)中的公理和定理對物理現(xiàn)象作數(shù)學演這樣可以使用布爾代數(shù)中的公理和定理對物理現(xiàn)象作數(shù)學演算，達到邏輯推理的目的。

4、算，達到邏輯推理的目的。 第2章 布爾代數(shù)基礎 概述 幸運的是，在數(shù)字系統(tǒng)中采用的是幸運的是，在數(shù)字系統(tǒng)中采用的是“0”和和“1”兩個不兩個不同的值。因此布爾代數(shù)可以用來作為分析和設計邏輯電路的同的值。因此布爾代數(shù)可以用來作為分析和設計邏輯電路的數(shù)學工具。數(shù)學工具。 從應用的角度，布爾代數(shù)應用于邏輯電路領域稱其為從應用的角度，布爾代數(shù)應用于邏輯電路領域稱其為邏輯邏輯代數(shù)。代數(shù)。 本章介紹邏輯代數(shù)的基本理論和運算方法，其中包括邏本章介紹邏輯代數(shù)的基本理論和運算方法，其中包括邏輯代數(shù)基本概念，輯代數(shù)基本概念，邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)的定義，邏輯代數(shù)的的定義，邏輯代數(shù)的公理、定理公理、定理和規(guī)則，和規(guī)則，小

5、項小項與與大項大項的概念以及使用小項和大項表達邏的概念以及使用小項和大項表達邏輯函輯函數(shù)的標準形式數(shù)的標準形式。 在此基礎上，介紹應用在此基礎上，介紹應用邏輯代數(shù)法邏輯代數(shù)法和和卡諾圖法卡諾圖法化簡邏輯化簡邏輯函數(shù)的原理與方法。函數(shù)的原理與方法。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎2.1.1 邏輯代數(shù)的基本概念邏輯代數(shù)的基本概念 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)包含邏輯變量集包含邏輯變量集K(A、B、C、)，每個變量的取，每個變量的取值只可能為常量值只可能為常量“0”或或“1”。這里的。這里的“0”和和“1”沒有量的沒有量的概念，是用來表達矛盾雙方，是一種形式上的符號。概念，是用來表達矛盾雙方，是一種

6、形式上的符號。 邏輯代數(shù)中邏輯變量之間是邏輯關系邏輯代數(shù)中邏輯變量之間是邏輯關系。邏輯關系用邏輯運算邏輯關系用邏輯運算符表示符表示。使用邏輯運算符連接邏輯變量及常量。使用邏輯運算符連接邏輯變量及常量“0”或或“1”構成構成邏輯代數(shù)表達式。邏輯代數(shù)表達式。 采用邏輯代數(shù)表示邏輯電路的輸入與輸出之間的邏輯關系，采用邏輯代數(shù)表示邏輯電路的輸入與輸出之間的邏輯關系，稱邏輯函數(shù)稱邏輯函數(shù)。這種電路稱。這種電路稱數(shù)字邏輯電路數(shù)字邏輯電路。 邏輯函數(shù)除了使用邏輯代數(shù)表示以外，還可以使用一種稱為邏輯函數(shù)除了使用邏輯代數(shù)表示以外，還可以使用一種稱為“真值表真值表”的表格的表格表示。表示。 第2章 布爾代數(shù)基礎

7、2.1 邏輯代數(shù)基礎 真值表真值表是由是由輸入變量所有可能取值的組合輸入變量所有可能取值的組合與這些組合值對與這些組合值對應的應的輸出變量的值構成的表格輸出變量的值構成的表格。真值表分為左、右兩個部分。真值表分為左、右兩個部分。 左邊部分左邊部分每一列是輸入變量的名字。每一列是輸入變量的名字。右邊部分右邊部分的每一列是的每一列是輸出變量的名字。左邊部分是輸入變量所有的取值的組合。輸出變量的名字。左邊部分是輸入變量所有的取值的組合。 如果一個如果一個邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)有有n個變量，則個變量，則輸入變量所有的取值有輸入變量所有的取值有2n個組合個組合。右邊部分是把左邊每一行輸入變量的取值帶到邏輯函。

8、右邊部分是把左邊每一行輸入變量的取值帶到邏輯函數(shù)中去運算，把運算的結果數(shù)中去運算，把運算的結果“0”或者或者“1”填進來。這樣就完填進來。這樣就完成了把邏輯函數(shù)用真值表表示。成了把邏輯函數(shù)用真值表表示。邏輯函數(shù)有的比較簡單，有的相當復雜邏輯函數(shù)有的比較簡單，有的相當復雜。但是它們都是。但是它們都是由由“與與”、“或或”、“非非”三種最基本的邏輯運算構成。下面三種最基本的邏輯運算構成。下面分別介紹這三種邏輯運算符、邏輯表達式、邏輯函數(shù)和邏輯函分別介紹這三種邏輯運算符、邏輯表達式、邏輯函數(shù)和邏輯函數(shù)符號。數(shù)符號。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎1. 邏輯函數(shù)符號邏輯函數(shù)符號 如前所述，

9、邏輯函數(shù)是由如前所述，邏輯函數(shù)是由“與與”、“或或”、“非非”三種最三種最基本的邏輯運算構成。為了象表示電阻、電容和三極管一樣，基本的邏輯運算構成。為了象表示電阻、電容和三極管一樣，用圖形化的方式表示不同的邏輯函數(shù)，美國國家標準學會用圖形化的方式表示不同的邏輯函數(shù)，美國國家標準學會( the American National Standards Institute, ANSI )和美國電氣與和美國電氣與電子工程師協(xié)會電子工程師協(xié)會(the Institute of Electrical and Electronic Engineers, IEEE) 在在1984年制定了一個邏輯函數(shù)符號標準。

10、如年制定了一個邏輯函數(shù)符號標準。如圖圖2-1所示。所示。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎圖圖2-2是是IEEE標準的標準的“與與”、“或或”、“非非”、“與與非非”、“或非或非”、“異或異或”、“異或非異或非( 同或同或)”邏輯函邏輯函數(shù)符號。數(shù)符號。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 2“與與”運算運算 “與與”運算的運算符是運算的運算符是“”、“*”、“”或是空。在本或是空。在本書中使用書中使用“”“”表示表示“與與”運算符。運算符。“與與”運算的定義如表運算的定義如表2-1所所示。示。F = A B是是“與與”運算邏輯函數(shù)。運算邏輯函數(shù)。“A B”稱為稱為F的的“與

11、與”運運算表達式。算表達式。 3“或或”運算運算 “或或”運算的運算符是運算的運算符是“+”、“”。本書中使用。本書中使用“+”表示表示“或或”運算符。運算符?！盎蚧颉边\算的定義如表運算的定義如表2-2所示。所示。F = A + B是是“或或”運算邏輯函數(shù)。運算邏輯函數(shù)?！癆 + B”稱為稱為F的的“或或”運算表達式。運算表達式。 4“非非”運算運算 “非非”運算的運算符是運算的運算符是“ ”或或“ ” ，本書中使用，本書中使用“ ” 表表示示“非非”運算符。運算符。“非非”運算的定義如表運算的定義如表2-3所示。所示。F = A是是“非非”運算邏輯函數(shù)。運算邏輯函數(shù)。A是是“非非”運算的邏輯

12、表達式。在邏輯函數(shù)中，運算的邏輯表達式。在邏輯函數(shù)中，A稱為反變量，稱為反變量，A稱為原變量。稱為原變量。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 5“異或異或”運算運算 “異或異或”運算的運算符是運算的運算符是“ ”。“異或異或”運算的定義如運算的定義如表表2-4所示。所示。F = A B是是“異或異或”運算邏輯函數(shù)。運算邏輯函數(shù)。 “異或異或”運運算邏輯函數(shù)還可以用算邏輯函數(shù)還可以用F = A B + A B表示。表示。 6“同或同或”運算運算 “同或同或”運算的運算符是運算的運算符是“ ”?！巴蛲颉边\算的定義如運算的定義如表表2-5所示。所示。F = A B是是“同或同或”運算邏

13、輯函數(shù)。運算邏輯函數(shù)。“同或同或”運運算邏輯函數(shù)還可以用算邏輯函數(shù)還可以用F = A B + A B表示。表示?！爱惢虍惢颉边\算表達式與運算表達式與“同或同或”運算表達式有如下關系：運算表達式有如下關系： A B A B，A B A B 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎2.1.2邏輯函數(shù)邏輯函數(shù) 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 根據(jù)上面邏輯函數(shù)的定義，對于某一個具體的邏輯電路，根據(jù)上面邏輯函數(shù)的定義，對于某一個具體的邏輯電路，輸出變量輸出變量F的值取決于由輸入變量的值取決于由輸入變量A1, A2, ，An構成的構成的2n個組個組合的取值。合的取值。 另外，輸出邏輯變量另外

14、，輸出邏輯變量F的值還取決于邏輯電路的結構。的值還取決于邏輯電路的結構。 也就是，輸出邏輯變量也就是，輸出邏輯變量F的值取決于輸入變量的值取決于輸入變量A1A2，An的取值、邏輯電路的結構以及邏輯電路使用的門電路類型。的取值、邏輯電路的結構以及邏輯電路使用的門電路類型。 邏輯函數(shù)的定義說明一個邏輯電路能夠用一個邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)的定義說明一個邏輯電路能夠用一個邏輯函數(shù)F = f ( A1, A2, ，An )表示，即一個邏輯電路對應一個邏輯函數(shù)。表示，即一個邏輯電路對應一個邏輯函數(shù)。 討論邏輯函數(shù)也就是討論這個邏輯函數(shù)對應的邏輯電路。討論邏輯函數(shù)也就是討論這個邏輯函數(shù)對應的邏輯電路。 邏輯函數(shù)的

15、定義實現(xiàn)了將一個具體的邏輯電路采用抽象的邏輯函數(shù)的定義實現(xiàn)了將一個具體的邏輯電路采用抽象的邏輯函數(shù)表示，這樣可以使用數(shù)學工具來研究邏輯電路。邏輯函數(shù)表示，這樣可以使用數(shù)學工具來研究邏輯電路。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 在數(shù)字邏輯中使用邏輯函數(shù)研究邏輯電路從兩個方面進行：在數(shù)字邏輯中使用邏輯函數(shù)研究邏輯電路從兩個方面進行： 一方面是在對某一個具體的邏輯電路進行分析，使用邏輯一方面是在對某一個具體的邏輯電路進行分析，使用邏輯函數(shù)寫出它的表達式，分析邏輯函數(shù)即分析相應的邏輯電路；函數(shù)寫出它的表達式，分析邏輯函數(shù)即分析相應的邏輯電路； 另一方面是使用邏輯函數(shù)進行邏輯電路的設計。另一方

16、面是使用邏輯函數(shù)進行邏輯電路的設計。 邏輯電路的設計要求一般是用文字表述的。根據(jù)文字表述，邏輯電路的設計要求一般是用文字表述的。根據(jù)文字表述，使用設計方法進行邏輯電路設計，得到的是按要求設計的邏輯使用設計方法進行邏輯電路設計，得到的是按要求設計的邏輯電路的邏輯函數(shù)。最后根據(jù)邏輯函數(shù)畫出按要求設計的邏輯電電路的邏輯函數(shù)。最后根據(jù)邏輯函數(shù)畫出按要求設計的邏輯電路。路。 因此，邏輯函數(shù)是邏輯電路分析和設計的重要數(shù)學工具。因此，邏輯函數(shù)是邏輯電路分析和設計的重要數(shù)學工具。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 2.1.3邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則 邏輯代數(shù)系統(tǒng)有它的邏輯

17、代數(shù)系統(tǒng)有它的公理系統(tǒng)公理系統(tǒng)，公理系統(tǒng)不需要證明。邏，公理系統(tǒng)不需要證明。邏輯代數(shù)系統(tǒng)的公理為邏輯代數(shù)的定理提供證明的依據(jù)。公理和輯代數(shù)系統(tǒng)的公理為邏輯代數(shù)的定理提供證明的依據(jù)。公理和定理也為邏輯代數(shù)證明提供演繹的數(shù)學基礎。定理也為邏輯代數(shù)證明提供演繹的數(shù)學基礎。1、公理系統(tǒng)、公理系統(tǒng)公理公理1 0 - 1律律 對于任意的邏輯變量對于任意的邏輯變量A，有，有 A + 0 = AA 1 = AA + 1 = 1A 0 = 0公理公理2 互補律互補律 對于任意的邏輯變量對于任意的邏輯變量A，存在唯一的，存在唯一的A,使得使得 A + A = 1A A = 0公理公理3 交換律交換律 對于任意的邏

18、輯變量對于任意的邏輯變量A和和B，有，有 A + B = B + A A B = B A 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎公理公理4 結合律結合律 對于任意的邏輯變量對于任意的邏輯變量A、B和和C，有，有 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C )公理公理5 分配律分配律 對于任意的邏輯變量對于任意的邏輯變量A、B和和C，有，有 A + ( B C ) = ( A + B )( A + C ) A ( B + C ) = A B + A C2、基本定理、基本定理根據(jù)邏輯代數(shù)的公理，推導出根據(jù)邏輯代數(shù)的公理，推導出邏輯代數(shù)的基

19、本定理邏輯代數(shù)的基本定理。定理定理1 0 + 0 = 01 + 0 = 1 0 + 1 = 11 + 1 = 1 00 = 010 = 0 01 = 011 = 1 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 3、邏輯代數(shù)的重要規(guī)則：、邏輯代數(shù)的重要規(guī)則： 邏輯代數(shù)有三條重要規(guī)則，它們是代入規(guī)則、反演規(guī)則和邏輯代數(shù)有三條重要規(guī)則，它們是代入規(guī)則、反演規(guī)則和對偶規(guī)則。這三條規(guī)則常常使用在邏輯表達式的運算和變換中。對偶規(guī)則。

20、這三條規(guī)則常常使用在邏輯表達式的運算和變換中。1 ) 邏輯函數(shù)的相等邏輯函數(shù)的相等 如果兩個邏輯函數(shù)：如果兩個邏輯函數(shù)： F1 = f1 (A1,A2,，An), F2 = f2 ( A1,A2,An) 對于邏輯變量對于邏輯變量A1，A2，An的任何一組取值，分別代入到的任何一組取值，分別代入到邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)F1、F2中去。邏輯函數(shù)中去。邏輯函數(shù)F1、F2如果都同時為如果都同時為“0”或者或者同時為同時為“1”，則稱邏輯函數(shù)，則稱邏輯函數(shù)F1與與F2相等。相等。2）代入規(guī)則）代入規(guī)則 任何一個含有邏輯變量任何一個含有邏輯變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)邏輯的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)邏輯變量變

21、量A的地方都用一個邏輯函數(shù)的地方都用一個邏輯函數(shù)F代入，則該邏輯等式仍然成立，代入，則該邏輯等式仍然成立，這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎2.1.5邏輯函數(shù)的邏輯函數(shù)的標準形式標準形式 在邏輯函數(shù)的在邏輯函數(shù)的“與項與項”或者或者“或項或項”中，有些邏輯變量的中，有些邏輯變量的個數(shù)與邏輯函數(shù)的變量個數(shù)相同，有些缺少其中的某

22、些變量。個數(shù)與邏輯函數(shù)的變量個數(shù)相同，有些缺少其中的某些變量。另外在另外在“與項與項”、“或項或項”中有些邏輯變量全部以原變量出現(xiàn)，中有些邏輯變量全部以原變量出現(xiàn)，有些全部以反變量出現(xiàn)，還有一些以原變量和反變量混合出現(xiàn)。有些全部以反變量出現(xiàn)，還有一些以原變量和反變量混合出現(xiàn)。 邏輯函數(shù)的標準形式邏輯函數(shù)的標準形式是在是在邏輯函數(shù)表達式中全部的邏輯函數(shù)表達式中全部的“與項與項”用用“小項小項”組成組成。邏輯函數(shù)的另一種標準形式是在邏輯函數(shù)中邏輯函數(shù)的另一種標準形式是在邏輯函數(shù)中全部的全部的“或項或項”用用“大項大項”組成組成。在邏輯電路的分析和設計中，。在邏輯電路的分析和設計中，邏輯函數(shù)時常用小

23、項或者大項表示。邏輯函數(shù)時常用小項或者大項表示。 另外，邏輯函數(shù)有時也需要用小項或者大項表示。下面分另外，邏輯函數(shù)有時也需要用小項或者大項表示。下面分別介紹小項與大項的概念，以及用小項或者大項表示的邏輯函別介紹小項與大項的概念，以及用小項或者大項表示的邏輯函數(shù)，即邏輯函數(shù)的標準形式。數(shù)，即邏輯函數(shù)的標準形式。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 1.小項的定義和性質小項的定義和性質 一個有一個有n個變量的邏輯函數(shù)個變量的邏輯函數(shù)F，它的一個，它的一個“與項與項”包含有包含有n個變量，每個變量以原變量或者反變量的形式出現(xiàn)在這個個變量，每個變量以原變量或者反變量的形式出現(xiàn)在這個“與與項項”

24、中，且僅出現(xiàn)一次，則這個中，且僅出現(xiàn)一次，則這個“與項與項”稱為該邏輯函數(shù)稱為該邏輯函數(shù)F的一的一個小項。個小項。 一個邏輯函數(shù)完全用小項表示，則稱該邏輯函數(shù)是小項標一個邏輯函數(shù)完全用小項表示，則稱該邏輯函數(shù)是小項標準形式。準形式。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎2.1.6邏輯函數(shù)表達式的轉換邏輯函數(shù)表達式的轉換 邏輯函數(shù)

25、表達式的轉換是把邏輯函數(shù)表達式的基本形式邏輯函數(shù)表達式的轉換是把邏輯函數(shù)表達式的基本形式轉換成標準形式。轉換方法是采用邏輯代數(shù)方法。在轉換中轉換成標準形式。轉換方法是采用邏輯代數(shù)方法。在轉換中使用邏輯代數(shù)中的公理、定理和規(guī)則。使用邏輯代數(shù)中的公理、定理和規(guī)則。1.“積之和積之和”表達式轉換成小項表達式表達式轉換成小項表達式 “積之和積之和”表達式轉換成用小項表示的標準形式，首先表達式轉換成用小項表示的標準形式，首先要將被轉換的邏輯函數(shù)轉換成要將被轉換的邏輯函數(shù)轉換成“積之和積之和”表達式。然后，在表達式。然后，在“積之和積之和”表達式中使用表達式中使用X = X(Y + Y)，用以擴充被轉換表

26、達，用以擴充被轉換表達式中每一個式中每一個“與項與項”中缺少的邏輯變量，使得每一個中缺少的邏輯變量，使得每一個“與項與項”是小項。式中的是小項。式中的X是某個是某個“與項與項”中已有的邏輯變量，中已有的邏輯變量，Y是擴是擴充的邏輯變量。在擴充中如果有相同的小項產(chǎn)生出來，進行充的邏輯變量。在擴充中如果有相同的小項產(chǎn)生出來，進行合并。被轉換的表達式就是用小項表示的標準形式。合并。被轉換的表達式就是用小項表示的標準形式。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 如果被轉換的邏輯函數(shù)是如果被轉換的邏輯函數(shù)是“和之積和之積”表達式，則需要首表達式，則需要首

27、先把先把“和之積和之積”表達式轉換成表達式轉換成“積之和積之和”表達式，然后再使表達式，然后再使用上述方法進行轉換。用上述方法進行轉換。2.“和之積和之積”表達式轉換成大項表達式表達式轉換成大項表達式 “和之積和之積”表達式轉換成大項的標準形式，首先要將被表達式轉換成大項的標準形式，首先要將被轉換的邏輯函數(shù)轉換成轉換的邏輯函數(shù)轉換成“和之積和之積”表達式，然后在表達式，然后在“和之積和之積”表達式中使用表達式中使用X =(X + Y) ( X + Y )，用以擴充被轉換表達式中，用以擴充被轉換表達式中的每一個的每一個“和之積和之積”項中缺少的邏輯變量，使得每一個項中缺少的邏輯變量，使得每一個“

28、和和之積之積”是大項。式中是大項。式中X是某個是某個“和之積和之積”項中已有的變量，項中已有的變量，Y是擴充的邏輯變量。在擴充中如果有相同大項產(chǎn)生進行合并。是擴充的邏輯變量。在擴充中如果有相同大項產(chǎn)生進行合并。被轉換的表達式就是用大項表示的標準形式。被轉換的表達式就是用大項表示的標準形式。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.2邏輯函數(shù)的化簡 如前所述，一個邏輯函數(shù)的表達式有不同的形式。由于一如前所述，一個邏輯函數(shù)的表達式有不同的形式。由于一個邏輯函數(shù)對應一個邏輯電路，邏輯函數(shù)表達式的形式不同，個邏輯函數(shù)對應一個邏輯電路，邏輯函數(shù)表達式的形式不同，它們所代表的

29、邏輯電路的結構就不相同，但是在功能上又是相它們所代表的邏輯電路的結構就不相同，但是在功能上又是相同的。邏輯函數(shù)表達式的形式越簡單，它所對應的邏輯電路就同的。邏輯函數(shù)表達式的形式越簡單，它所對應的邏輯電路就越簡單。這是邏輯電路設計中要考慮的問題。為了減少邏輯電越簡單。這是邏輯電路設計中要考慮的問題。為了減少邏輯電路的復雜性，降低成本，對邏輯函數(shù)表達式存在化簡的問題。路的復雜性，降低成本，對邏輯函數(shù)表達式存在化簡的問題。邏輯函數(shù)的化簡是去掉表達式中多余的邏輯函數(shù)的化簡是去掉表達式中多余的“與項與項”或者是或者是“或或項項”，求得最簡的邏輯函數(shù)。所謂最簡的邏輯函數(shù)，一是邏輯，求得最簡的邏輯函數(shù)。所謂

30、最簡的邏輯函數(shù)，一是邏輯函數(shù)表達式中的函數(shù)表達式中的“與項與項”、“或項或項”個數(shù)最少，二是個數(shù)最少，二是“與項與項”、“或項或項”中的邏輯變量的個數(shù)最少。中的邏輯變量的個數(shù)最少。 對邏輯函數(shù)化簡目前使用最多的方法是代數(shù)化簡法和卡諾對邏輯函數(shù)化簡目前使用最多的方法是代數(shù)化簡法和卡諾圖化簡法，下面分別進行介紹。圖化簡法，下面分別進行介紹。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 2.2.1代數(shù)化簡法代數(shù)化簡法 使用代數(shù)化簡邏輯函數(shù)，需要熟記和靈活運用邏輯代數(shù)中使用代數(shù)化簡邏輯函數(shù)，需要熟記和靈活運用邏輯代數(shù)中的公理、定理和規(guī)則。采用代數(shù)化簡邏輯函數(shù)的過程無一定的的公理、定理和規(guī)則。采用代數(shù)化

31、簡邏輯函數(shù)的過程無一定的規(guī)律可循，化簡過程中每一步的進展取決于對公理、定理和規(guī)規(guī)律可循，化簡過程中每一步的進展取決于對公理、定理和規(guī)則熟練使用的程度。則熟練使用的程度。1.“積之和積之和”表達式的化簡；下面歸納了幾種化簡表達式的化簡；下面歸納了幾種化簡 “積之和積之和”表達式的方法，可以在邏輯函數(shù)化簡中參考。表達式的方法，可以在邏輯函數(shù)化簡中參考。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1

32、 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 3.卡諾圖化簡原理卡諾圖化簡原理 使用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，關鍵是如何把卡諾圖中的小項，使用卡諾圖化簡

33、邏輯函數(shù)，關鍵是如何把卡諾圖中的小項，即填即填“1”的方格進行化簡，直到把邏輯函數(shù)轉換成最簡的的方格進行化簡，直到把邏輯函數(shù)轉換成最簡的“與與或或”表達式。因此，在卡諾圖上對邏輯函數(shù)進行化簡是表達式。因此，在卡諾圖上對邏輯函數(shù)進行化簡是找出一種方法對卡諾圖中的小項進行化簡。對卡諾圖中小項進找出一種方法對卡諾圖中的小項進行化簡。對卡諾圖中小項進行化簡使用到前面介紹的小方格相鄰的概念。行化簡使用到前面介紹的小方格相鄰的概念。 下面以三變量（下面以三變量（A，B，C）為例說明卡諾圖化簡的原理。）為例說明卡諾圖化簡的原理。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯

34、代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎5.卡諾圖化簡邏輯函數(shù)舉例卡諾圖化簡邏輯函數(shù)舉例 例例2-7 用卡諾圖將邏輯用卡諾圖將邏輯函數(shù)函數(shù)F（A, B, C, D） = m(0, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15) 化簡為最簡化簡為最簡“積之和積之和”表達式。表達式。 解：第解：第1步，畫出該邏輯步，畫出該邏輯函數(shù)的卡諾圖，把邏輯函數(shù)函數(shù)的卡諾圖，

35、把邏輯函數(shù)表示在卡諾圖上，如圖表示在卡諾圖上，如圖2-13所示。所示。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎第第2步，根據(jù)圖步，根據(jù)圖2-13把盡量滿把盡量滿足相鄰關系的足相鄰關系的2m個小方格作個小方格作為一個卡諾圈。該邏輯函數(shù)為一個卡諾圈。該邏輯函數(shù)有有5個卡諾圈，它們都是質蘊個卡諾圈，它們都是質蘊涵項。然后檢查每一個質蘊涵項。然后檢查每一個質蘊涵項是不是首要蘊涵項。對涵項是不是首要蘊涵項。對于是首要蘊涵項。對于，于是首要蘊涵項。對于，它有一個它有一個m3不被覆蓋，不被覆蓋，因此是首要蘊涵項。對于因此是首要蘊涵項。對于它有一個它有一個m6不被任何其他不被任何其他的質蘊涵項覆蓋，因此是

36、的質蘊涵項覆蓋，因此是首要蘊涵項。同理也是首要蘊涵項。同理也是首要蘊涵項。因此，所求的首要蘊涵項。因此，所求的最簡邏輯函數(shù)為最簡邏輯函數(shù)為 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎例例2-8 用卡諾將圖邏輯函用卡諾將圖邏輯函數(shù)數(shù)F（A，B，C，D）= m(0,2,4,10,11,14,15) 化簡為最簡化簡為最簡“積之和積之和”表達式。表達式。 解：第解：第1步，畫出該步，畫出該函數(shù)的卡諾圖，把邏輯函數(shù)的卡諾圖，把邏輯函數(shù)表示在卡諾圖上，函數(shù)表示在卡諾圖上，如圖如圖2-14所示。所示。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎例例2-9 使用卡諾

37、圖將邏輯函數(shù)使用卡諾圖將邏輯函數(shù)F（A，B，C，D）= M（0，2，4，6，9，12，14）化簡為）化簡為“和之積和之積”形式的最簡邏輯形式的最簡邏輯函數(shù)。函數(shù)。 解：這是一個用大項表示的邏輯函數(shù)。對于一個用大解：這是一個用大項表示的邏輯函數(shù)。對于一個用大項表示的邏輯函數(shù)，它化簡的結果應當是最簡項表示的邏輯函數(shù)，它化簡的結果應當是最簡“和之積和之積”式。為了在卡諾圖上把用大項表示的邏輯函數(shù)化簡成最簡式。為了在卡諾圖上把用大項表示的邏輯函數(shù)化簡成最簡“和之積和之積”式，首先把用大項表示的邏輯函數(shù)轉換成用小式，首先把用大項表示的邏輯函數(shù)轉換成用小項表示，即項表示，即F（A, B, C, D）= m (1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13,15)，將其表示在卡諾圖中，如圖，將其表示在卡諾圖中，如圖2-15所示。然后在卡所示。然后在卡諾圖上對填諾圖上對填“0”的小方格進行化簡，求出最簡反函數(shù)的小方格進行化簡，求出最簡反函數(shù)F。再對最簡反函數(shù)再對最簡反函數(shù)F使用反演規(guī)則，得到由使用反演規(guī)則，得到由“和之積和之積”形式的形式的最簡邏輯函數(shù)。最簡邏輯函數(shù)。 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)基礎 第2章 布爾代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)