高等數(shù)學(xué)第七版課件12 數(shù)列極限

1、第二講 數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念(一) 引例(二) 數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念(一) 引例(二) 數(shù)列極限的定義（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形：

2、s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.越來(lái)越接近越來(lái)越接近s（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.越來(lái)越接近越來(lái)越接近s（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：

3、正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.越來(lái)越接近越來(lái)越接近s（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：越來(lái)越接近越來(lái)越接近s（一）引例（一）引

4、例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：越來(lái)越接近越來(lái)越接近s（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)sn的變化趨勢(shì)為

5、的變化趨勢(shì)為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)1/2n的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為0越來(lái)越接近越來(lái)越接近s越來(lái)越接近越來(lái)越接近0越來(lái)越接近越來(lái)越接近0江澤民主席在哈佛大江澤民主席在哈佛大學(xué)的演講學(xué)的演講江澤民文選江澤民文選第二卷第第二卷第5959頁(yè)頁(yè)（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限

6、增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)1/2n的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為0極限：極限：變量的變化趨勢(shì)變量的變化趨勢(shì)越來(lái)越接近越來(lái)越接近s越來(lái)越接近越來(lái)越接近0越來(lái)越接近越來(lái)越接近0（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)sn的變化趨

7、勢(shì)為的變化趨勢(shì)為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)1/2n的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為0極限：極限：變量的變化趨勢(shì)變量的變化趨勢(shì)越來(lái)越接近越來(lái)越接近s越來(lái)越接近越來(lái)越接近0越來(lái)越接近越來(lái)越接近0（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為s“一尺之棰

8、，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)1/2n的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為0極限：極限：變量的變化趨勢(shì)變量的變化趨勢(shì)極限極限方法：方法：在考察變量的變化趨勢(shì)用到的，用以解決近似與精確、在考察變量的變化趨勢(shì)用到的，用以解決近似與精確、變量與常量等矛盾的方法變量與常量等矛盾的方法. .近近 似似 值值近近 似似 值值越來(lái)越接近越來(lái)越接近s精確值精確值越來(lái)越接近越來(lái)越接近0越來(lái)越接近越來(lái)越接近0精確值精確值（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作

9、圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)sn的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)1/2n的變化趨勢(shì)為的變化趨勢(shì)為0極限：極限：變量的變化趨勢(shì)變量的變化趨勢(shì)極限極限方法：方法：在考察變量的變化趨勢(shì)用到的，用以解決近似與精確、在考察變量的變化趨勢(shì)用到的，用以解決近似與精確、變量與常量等矛盾的方法變量與常量等矛盾的方法

10、. .變變 量量變變 量量越來(lái)越接近越來(lái)越接近0越來(lái)越接近越來(lái)越接近0常量常量常量常量越來(lái)越接近越來(lái)越接近s一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念(一) 引例(二) 數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念(一) 引例(二) 數(shù)列極限的定義（二）數(shù)列極限的定義（二）數(shù)列極限的定義1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義定義：定義：nx如果按照某一法則如果按照某一法則, ,對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) , ,對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) , ,這些實(shí)數(shù)這些實(shí)數(shù) 按照下標(biāo)按照下標(biāo)n從小到大排列得從小到大排列得到的一個(gè)序列到的一個(gè)序列 nnnx,321nxxxx就叫

11、做數(shù)列就叫做數(shù)列, ,記為記為 . nx表示：表示：(a) 數(shù)軸上的一系列點(diǎn)數(shù)軸上的一系列點(diǎn)(b) 平面上的一系列點(diǎn)平面上的一系列點(diǎn)1x2x3x4x1 12 23 34 4no oxn1x2x3x4xnxx實(shí)質(zhì)：實(shí)質(zhì)： 自變量為正整數(shù)的函數(shù)自變量為正整數(shù)的函數(shù)( ),nnxf nn （二）數(shù)列極限的定義（二）數(shù)列極限的定義1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4

12、數(shù)列極限的意義例：例：（1）:11n,311,211,2（2）:11n,43,21,0（3）:)1(1nn,32,211,0（4）:)1(nn,3,2,1（5）:2)1(1n,0,1,0,1增減性增減性依次遞減依次遞減依次增大依次增大來(lái)回?cái)[動(dòng)來(lái)回?cái)[動(dòng)來(lái)回?cái)[動(dòng)來(lái)回?cái)[動(dòng)來(lái)回?cái)[動(dòng)來(lái)回?cái)[動(dòng)變化趨勢(shì)變化趨勢(shì)1 11 11 1無(wú)限大無(wú)限大無(wú)無(wú)變化趨勢(shì)為常數(shù)變化趨勢(shì)為常數(shù)數(shù)列極限的描述性定義數(shù)列極限的描述性定義如果當(dāng)如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)， nx無(wú)限接近于常數(shù)無(wú)限接近于常數(shù)a，則稱常數(shù)則稱常數(shù)a為數(shù)列為數(shù)列 nx 的極限的極限（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義

13、3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)， nx無(wú)限接近于常數(shù)無(wú)限接近于常數(shù)a， 當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，axn無(wú)限變小無(wú)限變小 當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，axn要多小有多小要多小有多小對(duì)于任意給定的正數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)， 都可以找到一項(xiàng)，都可以找到一項(xiàng)，使得該項(xiàng)以后的所有項(xiàng)，使得該項(xiàng)以后的所有項(xiàng)，axn小于上述給定的正數(shù)小于上述給定的正數(shù) 當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，n11無(wú)限接近于無(wú)限接近于110n 取取,10n 當(dāng)當(dāng)nn 時(shí)，時(shí)，例例如果當(dāng)

14、如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)， nx無(wú)限接近于常數(shù)無(wú)限接近于常數(shù)a，則稱常數(shù)則稱常數(shù)a為數(shù)列為數(shù)列 nx 的極限。的極限。 給定給定0.1 欲使欲使 nn11111 . 01 . 0111 n01. 001. 010001. 0100 給定給定0， 欲使欲使nn11111n 取取, 11n 當(dāng)當(dāng)nn 時(shí)，時(shí)，111n數(shù)列極限的精確定義：數(shù)列極限的精確定義：, 0 即：即：limnnxa 正整數(shù)正整數(shù),n當(dāng)當(dāng)nn 時(shí)時(shí),有有 |axn1.關(guān)于關(guān)于任意變小任意變小，描述了描述了 與與 的無(wú)限接近程度的無(wú)限接近程度. .nxa相對(duì)固定相對(duì)固定，根據(jù)給定的根據(jù)給定的找找n2.關(guān)于關(guān)于n依賴于依賴于，

15、有時(shí)可記作有時(shí)可記作n（）.不唯一不唯一.axnnnn, 0, 0l注注u例例1證明證明02sin1lim nnnu例例2證明證明) 1(1limaannu例例3證明證明) 1(0limqqnnl注注1.記住重要結(jié)論記住重要結(jié)論2.證明的關(guān)鍵：證明的關(guān)鍵：依據(jù)依據(jù)找找n（n可以不同）可以不同）3.找找n的方法：的方法： 常用常用“適當(dāng)放大適當(dāng)放大”的方的方法法4.放大的技巧：放大的技巧：利用各種不等式利用各種不等式l歌謠：歌謠： 證明規(guī)律遵證明規(guī)律遵執(zhí)果索其因執(zhí)果索其因依據(jù)依據(jù)找找nn能找到能找到結(jié)論斷言真結(jié)論斷言真如何找如何找n適當(dāng)放大身適當(dāng)放大身若把技巧問(wèn)若把技巧問(wèn)不等式來(lái)尋不等式來(lái)尋關(guān)鍵

16、要把準(zhǔn)關(guān)鍵要把準(zhǔn)（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義1 1幾何意義幾何意義axaaxnnaxnnnn, 0, 0,nnnnaxa 00 x1x2x2 nx1 nx3x 2 a aa a aannxo2 2粗略說(shuō)法粗略說(shuō)法,0 axn“一個(gè)時(shí)刻一個(gè)時(shí)刻”，使得在該，使得在該“時(shí)刻以時(shí)刻以后后”，恒有恒有數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二

17、、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)（一）極限的唯一性（一）極限的唯一性如果數(shù)列如果數(shù)列 收斂收斂, ,那么它的極限唯一那么它的極限唯一. . nx定理定理1 1（二）收斂數(shù)列的有界性（二）收斂數(shù)列的有界性數(shù)列有界的定義數(shù)列有界的定義定理定理2一定有界一定有界. nx nx如果數(shù)列如果數(shù)列收斂收斂, 那么數(shù)列那么數(shù)列l(wèi)注注一定發(fā)散一定發(fā)散. nx nx如果數(shù)列如果數(shù)列無(wú)界無(wú)界, 那么數(shù)列那么數(shù)列(1)(2) nx如果數(shù)列如果數(shù)列有界有界,不一定收斂不一定收斂. nx數(shù)列數(shù)列二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)（三）收斂數(shù)列的保號(hào)性（三）收斂數(shù)列的保號(hào)性定理定理3 3推論推論如果如果,limaxn

18、n 且且0 a( (或或0 a) )那么存在正整數(shù)那么存在正整數(shù),0 n當(dāng)當(dāng)nn 時(shí)時(shí), ,都有都有0 nx( (或或0 nx) ) nx如果數(shù)列如果數(shù)列從某項(xiàng)起有從某項(xiàng)起有0 nx( (或或0 nx) )且且,limaxnn 那么那么0 a( (或或0 a) )二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)（四）收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系（四）收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系在數(shù)列中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列在數(shù)列中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列 xn n 中中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列 xn n 的子數(shù)的子數(shù)列（或子列）列（或子列）. .例如例如,2121knnnxxxxx,1nxl注注子數(shù)列概念子數(shù)列概念kn第第nk項(xiàng)項(xiàng)第第k 項(xiàng)項(xiàng)knk ,knx,2nx,二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)（四）收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系（四）收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系l注注定理定理4 :)1(