2019年中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題匯編(含解析

1、(2019年湖南衡陽26題)26. (12分)如圖，在等邊 ABC中，AB=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以lcm/s的速度沿 AB 勻速運(yùn)動(dòng).動(dòng)點(diǎn) Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿 BC的延長線方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為以t (s).過點(diǎn)P作PEXAC于E,連接PQ交AC邊于D.以CQ、CE為邊作平行四邊形 CQFE .(1)當(dāng)t為何值時(shí)， BPQ為直角三角形；(2)是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)F在/ ABC的平分線上？若存在，求出 t的值，若不存 在，請(qǐng)說明理由；(3)求DE的長；(4)取線段BC的中點(diǎn)M,連接PM,將4BPM沿直線PM翻折，得 B PM ,

2、連接AB, 當(dāng)t為何值時(shí)，AB的值最小？并求出最小值.5C Q【分析】(1)當(dāng)BQ = 2BP時(shí)，/ BPQ = 90 ,由此構(gòu)建方程即可解決問題.(2)如圖1中，連接BF交AC于M.證明EF=2EM,由此構(gòu)建方程即可解決問題.(3)證明DE=?AC即可解決問題.(4)如圖3中，連接AM, AB.根據(jù)AB AM - MB求解即可解決問題.【解答】解：(1) . ABC是等邊三角形， ./ B=60 , 當(dāng) BQ = 2BP 時(shí)，/ BPQ=90 , .6+t=2 (6-t),t= 3,，t=3時(shí)， BPQ是直角三角形.(2)存在.理由：如圖1中，連接BF交AC于M.BF 平分/ABC, BA=

3、BC, BFXAC, AM = CM = 3cm, EF / BQ, .Z EFM = Z FBC = i-ZABC= 30 ,EF=2EM ,.,t= 27(3-Lt),解得t=3.(3)如圖2中，作PK/ BC交AC于K.ABC是等邊三角形，Z B= / A= 60 , PK / BC, ./ APK=Z B=60 ,.A=/APK=/ AKP = 60 , . APK是等邊三角形，PA= PK, PEXAK,AE= EK,. AP=CQ = PK, /PKD = /DCQ, / PDK = / QDC , . PKDA QCD (AAS),DK = DC, . DE= EK+DK=L (

4、AK+CK) =AC=3 (cm). 22(4)如圖3中，連接AM, ABBM =CM= 3, AB=AC,AM BC,AM=Jab -bm 2 =現(xiàn)反，. AB AM - MB ,. AB， 3百-3,.AB的最小值為 3J3-3.【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì), 翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常 用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S 題.(2019年湖南懷化22題)22. (12 分)如圖，A、B、C、D、E 是。上的 5 等分點(diǎn)，連接 AC、CE、EB、BD、

5、DA,得到一個(gè)五角星圖形和五邊形MNFGH .(1)計(jì)算/ CAD的度數(shù)；(2)連接 AE,證明：AE=ME;(3)求證：ME2=BM?BE.【分析】(1)由題意可得/ COD = 70 ,由圓周角的定理可得/CAD = 36 ;(2)由圓周角的定理可得/ CAD = /DAE =/AEB=36 ,可求/ AME = /CAE = 72 ,可得AE= ME;(3)通過證明 AENA BEA,可得可得 ME2=BE?NE,通過證明BM=NE,BE AE即可得結(jié)論.【解答】 解：(1) A、B、C、D、E是。O上的5等分點(diǎn)，西的度數(shù)=整一=725 ./ COD = 70 . / COD = 2/C

6、AD ./ CAD= 36(2)連接AE,A、B、C、D、E是。O上的5等分點(diǎn),.ab=d=ae=cd=bc ./ CAD = Z DAE = Z AEB=36，/CAE=72 ,且/ AEB=36 ./ AME= 72 ./ AME = Z CAEAE= ME(3)連接AB.一 I. Bl I -ABE=Z DAE ,且/ AEB=Z AEBAENA BEABE -AE. . AE2= BE?NE,且 AE= ME . me2=be?ne ,I-. 3 I , . AE=AB, / CAB=Z CAD=Z DAE = / BEA=Z ABE=36 ./ BAD = Z BNA = 72BA=

7、 BN,且 AE= MEBN= MEBM =NEme2=be?ne = bm?be【點(diǎn)評(píng)】 本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的性質(zhì)和判定，證明AENA BEA是本題的關(guān)鍵.(2019年湖南婁底27題)27.如圖甲，在4ABC 中，Z ACB=90 , AC=4cm , BC=3cm .如果點(diǎn) P由點(diǎn) B出發(fā)沿 BA 方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn) C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度 均為1cm/s.連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (s) (0vtv4),解答下列問題：(1)設(shè)4APQ的面積為S,當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值？ S的最大值是多少？(2)如圖乙，連接 PC,將

8、APQC沿QC翻折，得到四邊形 PQPC,當(dāng)四邊形 PQPC為 菱形時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，4APQ是等腰三角形？尸一CeF 乙考點(diǎn)：相似形綜合題分析:FH AF(1)過點(diǎn) P作PHXAC于H,由APHsABC,得出EC=A&,從而求出 AB ,再根據(jù)PH 5 - t,得出 PH=3-t,則5 AQP的面積為：工AQ?PHt (3-t),最后進(jìn)行整225理即可得出答案;AE(2)連接PP交QC于E,當(dāng)四邊形 PQPC為菱形時(shí)，得出 APEsABC,最壟,AB求出AE=-烏+4,再根據(jù)5Iq門QE=AE -AQ, QEQC 得出一衛(wèi)t+4= - -t+2,252再求t即可;(3)由(1

9、)知，PD=-當(dāng)+3,與(2)同理得：QD=-,從而求出PQ=, .在4APQ中，分三種情況討論：當(dāng)AQ=AP ,即t=5 - t,當(dāng)PQ=AQ,即2-181+25b=t，當(dāng) PQ=AP ,即t2- 18t+25 =5-t, 5再分別計(jì)算即可.解答：解：(1)如圖甲，過點(diǎn) P作PHXAC于H, / C=90,AC XBC,PH / BC,.APHAABC , _ _ _ -BC煙1. AC=4cm , BC=3cm ,1. AB=5cm ,FH 5 - t .PH=3 - -t,.AQP的面積為:S= AQ PH=xtx (3-t)= - (t-)2+,2251028當(dāng)t為上秒時(shí)，S最大值為

10、cm2.28(2)如圖乙，連接 PP, PP交 QC于E,當(dāng)四邊形 PQPC為菱形時(shí)，PE垂直平分 QC,即PEXAC, QE=EC ,.APEAABC ,.度AC國.人匚 AP-ACI I (&- t) X4| AE=-AB5,QC=得(4-t)=-百+2,一瓦+4= - 2 t+2 ,4 c-yt+4 QE=AE - AQ t+4 t=QE=解得：t=弛,13.04,，當(dāng)四邊形 PQPC為菱形時(shí),t的值是2013s;（3）由（1）知,PD=一t+3,與(2)同理得：QD=AD - AQ=*+4PQ= JpF+QD? =J （一微七十3） 1 一看七十0）2 =掙t“- 18計(jì)25 ,在4A

11、PQ中,當(dāng)AQ=AP ,即t=5 -t時(shí)，解得:,5 ti=2當(dāng)PQ=AQ,萼吏-18t+25 =t時(shí)，解得: 525 _t2，t3=5;J. 當(dāng)PQ=AP,看安-1825=5-1時(shí),解得:t4=。, t5瑞- 0tadcm = 6,pc121又S四邊形OMCD =,2. c 9Saqdm =,-1 Saqad= 9,設(shè) OA = x、OD = y,則 x2+y2= 36, -xy = 9,1- x2+y2= 2xy,即 x= y,將 x = y 代入 x2+ y2 = 36 得 x2= 18,解得x=3-萬（負(fù)值舍去），OA= 372；（3） OC的最大值為8,如圖2, M為AD的中點(diǎn),圖2

12、 OM = 3, CM = 二口 2+口” 2=5,，OCWOM+CM=8,當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線時(shí)， OC有最大值8,連接OC,則此時(shí)OC與AD的交點(diǎn)為M,過點(diǎn)。作ON LAD,垂足為N, . / CDM =/ONM= 90 , /CMD=/OMN,CMDAOMN,匝=迎=即jLON MN OM ON解得 MN = M, on = 5 .AN=AM-MN=5在 RtOAN 中，0AM島人- J .cos/ OAD= =除.【點(diǎn)評(píng)】 本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).（2019年湖南益陽23題）23. （10分）操作體驗(yàn)：如圖，在

13、矩形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊 AD、BC上，將矩形 ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處.點(diǎn)P為直線EF 上一動(dòng)點(diǎn)（不與E、F重合），過點(diǎn)P分別作直線BE、BF的垂線，垂足分別為點(diǎn) M和N, 以PM、PN為鄰邊構(gòu)造平行四邊形 PMQN .（1）如圖1,求證：BE=BF;(2)特例感知：如圖 2,若DE = 5, CF=2,當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求平行四邊形PMQN的周長；(3)類比探究：若 DE=a, CF=b.如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段EF的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試用含 a、b的式子表示 QM與QN之 間的數(shù)量關(guān)系，并證明；如圖4,當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直

14、接用含a、b的式子表示 QM與QN之間的數(shù)量關(guān)系.(不要求寫證明過程)【分析】(1)證明/ BEF = / BFE即可解決問題(也可以利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可).(2)如圖2中，連接BP,作EHXBC于H,則四邊形 ABHE是矩形.利用面積法證明PM + PN=EH,利用勾股定理求出 AB即可解決問題.(3)如圖 3 中，連接 BP,作 EHLBC 于 H.由 Saebp- Sabfp=Saebf,可畤BE?PMjL?BF?PN=g?BF?EH,由 BE=BF,推出 PM - PN=EH由此即可解決問題.如圖4,當(dāng)點(diǎn) P在線段 FE的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同法可證：QM -QN=PN-PM

15、=【解答】(1)證明：如圖1中,四邊形ABCD是矩形,AD / BC, ./ DEF = Z EFB,由翻折可知：/ DEF=/BEF, ./ BEF = Z EFB ,BE=BF.(2)解：如圖2中，連接BP,作EHBC于H,則四邊形 ABHE是矩形，EH = AB. DE= EB=BF = 5, CF = 2,AD = BC=7, AE=2,在 RtABE 中，. / A=90 , BE=5, AE= 2, l陽=也2 2=SaBEF= Sapbe+Sapbf, PM BE , PN BF ,.?BF?EH =二?BE?PMJ?BF?PN,222 .BE=BF,PM+PN = EH= x/

16、21, 四邊形PMQN是平行四邊形， 四邊形 PMQN的周長=2 (PM + PN) = 2j五.(3)證明：如圖3中，連接BP,作EHLBC于H.ED= EB=BF = a, CF = b,AD= BC=a+b, . AE= AD - DE = b, .EH=ABWb2,SaEBP SaBFP= Sa EBF,.1. _Lbe?pm - L?BF ?PN =L?BF?EH ,222 .BE=BF,.PM -PN = EH = 2_b2, 四邊形PMQN是平行四邊形， .QN-QM= (PM- PN) = (曉 _七2如圖4,當(dāng)點(diǎn) P在線段 FE的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同法可證：QM -QN=PN-

17、PM =【點(diǎn)評(píng)】 本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，翻折變換，等腰三角形的 性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線， 構(gòu)造特殊四邊形解決問題，學(xué)會(huì)利用面積法證明線段之間的關(guān)系，屬于中考?jí)狠S題.（2019年湖南長沙24題）24. （9分）根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個(gè)角分別相等，四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊 形叫做相似四邊形.相似四邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.（1）某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時(shí)，得到如下三個(gè)命題，請(qǐng)判斷它們是否正確（直 接在橫線上填寫“真”或“假”）.四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似；（假命題）三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似；（假命題

18、）兩個(gè)大小不同的正方形相似.（真 命題）（2）如圖 1,在四邊形 ABCD 和四邊形 AiBiCiDi 中，/ ABC=/AiBiCi, /BCD = /B1C1D1,;,求證：四邊形 ABCD與四邊形A1B1C1D1相似.A】 BQ（3）如圖2,四邊形 ABCD中，AB / CD, AC與BD相交于點(diǎn) O,過點(diǎn) O作EF / AB分別交AD, BC于點(diǎn)E, F.記四邊形 ABFE的面積為S1,四邊形EFCD的面積為S2,若Q 四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求_1的值.S1【分析】(1)根據(jù)相似多邊形的定義即可判斷.(2)根據(jù)相似多邊形的定義證明四邊成比例，四個(gè)角相等即可.DE =(3)

19、四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，證明相似比是 1即可解決問題，即證明AE即可.【解答】(1)解：四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似，是假命題，角不一定相等.三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似，是假命題，邊不一定成比例.兩個(gè)大小不同的正方形相似.是真命題.(2)證明：如圖1中，連接BD, Bidi. / ABC=/ A1B1C1,故答案為假，假，真.ABDA A1B1D1,A/i，A A=Z A1, / ADB = /A1D1B1,B。= CD = AD , / ADC = Z A1D1C1 , /A=/A1, /ABC=/ E匚ID ADA1B1C1, / BCD = Z B1C1D1, ，四邊

20、形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似.(3)如圖2中，r3 c圖2 四邊形 ABCD與四邊形EFCD相似.DE_EF -,AS Afi EF=OE + OF,.DEWOF AE AB EF / AB / CD ,，理二理,處=強(qiáng)=理，AD AB AD AB Om opAD AD AB AB , AD AT AD= DE+AE,DE+AE Afi -2AE=DE+AE,.AE=DE,【點(diǎn)評(píng)】 本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，相似多邊形的判定 和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題.（2019年湖南株洲25題）25. （11分）四邊形ABCD是。O

21、的圓內(nèi)接四邊形，線段AB是。O的直徑，連結(jié)AC、BD .點(diǎn)H是線段 BD上的一點(diǎn)，連結(jié) AH、CH,且/ ACH = /CBD, AD = CH, BA的延長線與 CD的延長線相交與點(diǎn) P .（1）求證：四邊形 ADCH是平行四邊形；（2）若 AC=BC, PB =/PD, AB+CD = 2 （訴+1 ）求證： DHC為等腰直角三角形；求CH的長度.【分析】（1）由圓周角的定理可得/ DBC = / DAC = /ACH ,可證 AD / CH ,由一組對(duì)邊平行且相等的是四邊形是平行四邊形可證四邊形ADCH是平行四邊形；（2）由平行線的性質(zhì)可證/ ADH =/ CHD = 90 ,由/ CD

22、B = /CAB = 45 ,可證 DHC為等腰直角三角形；通過證明 ADPsCBP,可得可得里通過證明 CHDsacbBC FB BC V5可得當(dāng)卓號(hào)，可得 AB = V5CD,可求CD = 2,由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CHAB BC的長度.【解答】 證明：（1） . / DBC = / DAC , /ACH = /CBD ./ DAC = Z ACHAD /CH,且 AD=CH 四邊形ADCH是平行四邊形（2）.一AB是直徑/ ACB= 90 =Z ADB ,且 AC= BCCAB=Z ABC = 45CDB = Z CAB = 45 . AD / CHADH = / CHD =90，且

23、/ CDB = 45CDB = Z DCH = 45.CH = DH,且/ CHD = 90 . DHC為等腰直角三角形；.四邊形ABCD是。O的圓內(nèi)接四邊形， ./ ADP = / PBC,且/ P=/ PADPA CBP3里 且 PB = VPD,BC PBAD = CH ,BC 一訴. CH_ 1BC 5 . / CDB = / CAB=45 , Z CHD = Z ACB=90 CHDA ACB一二.一AB EC 7?AB = |V5CD . AB+CD = 2 (/5+D JCD+CD=2 (VS+D .CD = 2,且 DHC為等腰直角三角形.CH = 【點(diǎn)評(píng)】 本題是圓的綜合題，

24、考查了圓的有關(guān)知識(shí)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三 角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求CD的長度是本題的關(guān)鍵.（2019年湖南永州26題）26. （12分）（1）如圖1,在平行四邊形 ABCD中，/ A=30, AB=6, AD=8,將平行四邊形ABCD分割成兩部分，然后拼成一個(gè)矩形，請(qǐng)畫出拼成的矩形，并說明矩形的長和寬.（保留分割線的痕跡）（2）若將一邊長為1的正方形按如圖2-1所示剪開，恰好能拼成如圖2-2所示的矩形,則m的值是多少?（3）四邊形ABCD是一個(gè)長為7,寬為5的矩形（面積為35）,若把它按如圖3-1所示的方式剪開，分成四部分，重新拼成如圖3-2所示的圖形，得到一個(gè)長為 9,寬為4的矩

25、形（面積為36）.問：重新拼成的圖形的面積為什么會(huì)增加？請(qǐng)說明理由.i圖山【解答】解：（1）如圖所示:（2）依題意有1+m. n解得泄歿迂，咤=二15 （負(fù)值舍去）, 簽檢臉,哨斗叵是原方程的解，故相的值是士，直角三角形的斜邊與直角梯形的斜腰不在一條直線上,故重新拼成的圖形的面積會(huì)增加.（2019年湖南常德26題） 26. （10分）在等腰三角形 ABC中，AB=AC,作CMLAB交AB于點(diǎn)M, BNLAC交AC于點(diǎn)N.（1）在圖 1 中，求證： BMCA CNB;(2)在圖2中的線段 CB上取一動(dòng)點(diǎn) P,過P作PE / AB交CM于點(diǎn)E,作PF / AC交BN 于點(diǎn) F,求證：PE+PF=B

26、M;(3)在圖3中動(dòng)點(diǎn)P在線段CB的延長線上，類似(2)過P作PE / AB交CM的延長 線于點(diǎn)E,作PF/AC交NB的延長線于點(diǎn) F,求證：AM?PF+OM?BN=AM?PE.圖102圖3【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/ ABC=/ACB,利用AAS定理證明；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=NC,證明 CEPsCMB、 BFPA BNC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，證明結(jié)論；(3)根據(jù) BMCA CNB,得到 MC = BN,證明 AMCAOMB,得到嶇=5L,根MC MB據(jù)比例的性質(zhì)證明即可.【解答】證明：(1) AB = AC, ./ ABC=Z ACB, . CMXAB

27、, BNXAC, ./ BMC = Z CNB=90 ,在 BMC和ACNB中，fZMEC=ZNCBbc=cb . BMCACNB (AAS);(2) BMCA CNB,BM =NC, PE/ AB,CEPA CMB,.PE _ CP-,而CB PF / AC, . BFPABNC, 里=型， NC BC,PE+PP_=CP + BP = 1?而 Blfl CB CB PE+PF = BM;(3)同(2)的方法得到， PE-PF= BM,BMCACNB,MC=BN, . / ANB=90 , ./ MAC + Z ABN= 90 , . / OMB = 90 , ./ MOB + ZABN =

28、 90 , ./ MAC = Z MOB,又/ AMC = Z OMB = 90 ,AMCAOMB,，幽網(wǎng)NO MBAM ?MB = OM?MC,AM X ( PE - PF) = OM?BN ,AM ?PF +OM?BN= AM ?PE .【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角 形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.(2019年湖南郴州25題)25. (10分)如圖1,矩形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與 A, B重合)，把 ADE 沿DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1,延長EA1交直線DC于點(diǎn)F,再把/ BEF折疊，使點(diǎn) B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

29、B1落在EF上，折痕 EH交直線BC于點(diǎn)H.(1)求證： A1DEA B1EH ;(2)如圖2,直線MN是矩形ABCD的對(duì)稱軸，若點(diǎn) A1恰好落在直線 MN上，試判斷 DEF的形狀，并說明理由；(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn) G為4DEF內(nèi)一點(diǎn)，且/ DGF=150 ,試探究 DG ,EG, FG的數(shù)量關(guān)系.【分析】(1)由折疊圖形的性質(zhì)可得/ DAie = Z EB1H = 90 , / DEA1 + /HEB1=90 從而可得/ DEA1=/EHB1,依據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似可得A1DEs4bEH;(2)由A1恰好落在直線 MN上可知A1在EF的中點(diǎn)，由SAS易證 A1DEA A

30、1DF , 即可得/ ADE = Z EDA1 = Z FDA1 = 30o ,(3)將 DGE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60到DGF位置，由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)將 DG, EG, FG集中到 G GF中結(jié)合/ DGF =150 ,可得 G GF為直角三角形，由勾股定理可得GG2+GF2 = GF2,即可證明 dg2+gf2 = ge2,【解答】解：(1)證明：由折疊的性質(zhì)可知：/ DAE = Z DA1E=90o , /EBH=/EB1H = 90 , /AED=/A1ED, /BEH = /B1EH, / DEA1 + Z HEB1 = 90又 / HEB1 + Z EHB1= 90 ,DEA1 = Z EHB1

31、, A1DEA B1EH;(2)結(jié)論： DEF是等邊三角形;理由如下： 直線MN是矩形ABCD的對(duì)稱軸，點(diǎn)A1是EF的中點(diǎn)，即A1E = A1F,在 A1DE 和 A1DF 中叫二叫ND A戶ND 州二90 ,AfF A1DEA A1DF (SAS), .DE= DF, / FDA1 = Z EDA1, y. A ADEA A1DE, z adf = 90./ADE = /EDA1 = /FDA1=30。， EDF = 60 ,. DEF是等邊三角形；（3） DG, EG, FG 的數(shù)量關(guān)系是 DG2+GF2=GE2,理由如下：由（2）可知 DEF是等邊三角形；將 DGE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到 DG

32、F位置, 如解圖（1）, .GF = GE, DG=DG, Z GDG = 60 , . DGG是等邊三角形， .GG=DG, / DGG=60 , . / DGF= 150 ,. GGF = 90 ,.-.GG2+GF2=GF2,DG2+GF2=GE2,【點(diǎn)評(píng)】 本題考查翻折變換、相似三角形證明、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解（3）題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)得全等三角形，構(gòu)造 RtG GF.（2019年吉林24題）24. （8分）性質(zhì)探究如圖，在等腰三角形 ABC中，/ACB= 120 ,則底邊AB與腰AC的長度之比為理解運(yùn)用（1）若頂角為120。的等腰三角形的周長為 8+

33、4%伍，則它的面積為 迥 :（2）如圖，在四邊形 EFGH中，EF=EG=EH.求證：/ EFG + /EHG = /FGH ;在邊FG, GH上分別取中點(diǎn) M, N,連接 MN .若/ FGH = 120 , EF=10,直接寫出線段MN的長.類比拓展頂角為2 ”的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為2sina (用含a的式子表示)圖圖【分析】性質(zhì)探究作CDXAB于D,則/ ADC = Z BDC=90 ,由等腰三角形的性質(zhì)得出 AD = BD , Z A =Z B=30 ,由直角三角形的性質(zhì)得出AC = 2CD, AD = JCD,得出 AB=2AD =2jCD,即可得出結(jié)果；理解運(yùn)用(1)

34、同上得出則 AC=2CD, AD = JCD,由等腰三角形的周長得出4CD+2/3 CD =8+4V3,解彳導(dǎo):CD=2,得出AB=4,由三角形面積公式即可得出結(jié)果；(2) 由等腰三角形的性質(zhì)得出/ EFG = / EGF, / EGH = / EHG ,得出/ EFG + /EHG=/ EGF+ / EGH = / FGH 即可；連接FH,作EPXFH于P,由等腰三角形的性質(zhì)得出 PF=PH,由得：/ EFG+ /EHG = Z FGH =120 ,由四邊形內(nèi)角和定理求出/FEH = 120 ,由等腰三角形的性質(zhì)得出/ EFH=30 ,由直角三角形的性質(zhì)得出PE=-i-EF=5, PF=J5

35、pE = 5，,得出FH = 2PF =10-73,證明MN是4FGH的中位線，由三角形中位線定理即可得出結(jié)果；類比拓展作ADLBC于D,由等腰三角形的性質(zhì)得出 BD=CD, / BAD / BAC = a,由三角函數(shù)得出BD = ABXsina,得出BC=2BD=2ABX sin a,即可得出結(jié)果.【解答】性質(zhì)探究解：作CDXAB于D,如圖所示：則/ ADC = Z BDC=90 , AC= BC, / ACB= 120 ,AD= BD, / A=/ B=30 ,.AC=2CD, AD=73CD,.AB=2AD = 273CD,2T3cd =如；AC 2CD故答案為：.；理解運(yùn)用(1)解：如

36、圖所示：同上得：AC=2CD, AD =|y/3CD,. , AC+BC+AB=8+4 百，4CD+273CD = 8+4/3，解得：CD = 2, AB=4 代ABC 的面積=-i-ABX CD =1-X 4./3X 2=473；故答案為：4 .-(2)證明：EF = EG=EH, ./ EFG = Z EGF, / EGH = Z EHG, / EFG+ / EHG = / EGF+ / EGH = / FGH ;解：連接FH ,作EPXFH于P,如圖所示：貝UPF = PH,由得：Z EFG + Z EHG = Z FGH = 120 ,，/FEH = 360 -120 -120 =12

37、0 , EF= EH , ./ EFH = 30 , .PE得EF = 5,PF = V3PE = 57S,FH = 2PF= 10/3, 點(diǎn)M、N分別是FG、GH的中點(diǎn)，MN是 FGH的中位線，MN = -i-FH = 5/3；類比拓展解：如圖所示：作ADLBC于D,AB= AC,，BD=CD, /BAD=BAC= a,sin a=BDABBD= ABX sin a, .BC=2BD = 2ABXsin a,- BC_ 2ABsinQABAB=2sin a;故答案為：2sin”.區(qū)【點(diǎn)評(píng)】 本題是四邊形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、四邊形內(nèi)角和定理、就

38、直角三角形等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和含 30。角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(2019年吉林25題)25. (10 分)如圖，在矩形 ABCD 中，AD = 4cm, AB = 3cm, E 為邊 BC 上一點(diǎn)，BE=AB, 連接AE.動(dòng)點(diǎn)P、Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以&cm/s的速度沿AE向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q 以2cm/s的速度沿折線 AD-DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn) Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s),在運(yùn)動(dòng)過 程中，點(diǎn)P,點(diǎn)Q經(jīng)過的路線與線段 PQ圍成的圖形面積為 y (cm2).(1) AE = 3-J1 cm, / EAD = 45 ;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量

39、x的取值范圍;(3)當(dāng)PQ=JLcm時(shí)，直接寫出 x的值.4【分析】(1)由勾股定理可求 AE的長，由等腰三角形的性質(zhì)可求/EAD的度數(shù);(2)分三種情況討論，由面積和差關(guān)系可求解；(3)分三種情況討論，由勾股定理可求解.【解答】 解：(1) AB=3cm, BE=AB=3cm, AE= JjVB，BE2=3&cm, Z BAE=Z BEA=45. / BAD = 90 ./ DAE = 45故答案為：32, 45(2)當(dāng)0vxW2時(shí)，如圖，過點(diǎn) P作PF AD,c e aD Q F A AP= /2x, Z DAE = 45 , PFXADPF = x= AF,C1、/ AC、/ Cl- 2

40、一 y= Sapqa = _ X AQX PF = x ,(2)當(dāng)2vxW3時(shí)，如圖，過點(diǎn) P作PFXAD,C EBp pf = AF = x, QD=2x- 4DF = 4 x, y= x2+ (2x-4+x) (4-x) = - x2+8x- 822當(dāng)3vxw_時(shí)，如圖，點(diǎn) P與點(diǎn)E重合.CQ = ( 3+4) 2x= 7 - 2x, CE = 4 3 = 1cm.y=_L (1+4) X 3-上(7 - 2x) X 1 = x+422(3)當(dāng) 0vxw 2 時(shí)C EBD Q F A, QF= AF = x, PFXAD .PQ= AP-FlPQ= cm4 -. ：x= 4x- - x8當(dāng)

41、2vxW3時(shí)，過點(diǎn) P作PM LCDC EBD 尸 A四邊形MPFD是矩形PM =DF = 4- 2x, MD = PF = x,MQ = x (2x 4) = 4 xMP2+MQ2= PQ2. (4-2x) 2+ (4-x) 2.方程無解. PQ2=CP2+cq2,當(dāng) 3vxw_時(shí),空=1 +(7-2x) 2,一 x=25綜上所述:x=【點(diǎn)評(píng)】 本題是四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵.(2019年吉林長春 23題)23. (10 分)如圖，在 RtABC 中，/ C=90 , AC=20, BC=15.點(diǎn) P從點(diǎn) A 出發(fā)，沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線 CB運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為每秒 5個(gè) 單位長度，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn) P不與點(diǎn)A、C重合時(shí)，過點(diǎn)P 作PN LAB于點(diǎn)N,連結(jié) PQ,以PN、PQ為鄰邊作？ PQMN.設(shè)？PQMN與 ABC重疊 部分圖形的面積為 S,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)AB的長為 25 ;PN的長用含t的代數(shù)式