2021年人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第7章《7.3.2課時(shí)精講》(含解析)

1、7.3.2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)三角形式的乘法設(shè)z1，z2的三角形式分別是：z1r1(cos1isin1)，z2r2(cos2isin2)，則z1z2r1(cos1isin1)r2(cos2isin2)r1r2cos(12)isin(12)，這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和幾何意義：兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘，可以先分別畫(huà)出與z1，z2對(duì)應(yīng)的向量，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2(如果20，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角|2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的r2倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.特征：旋轉(zhuǎn)伸縮變換知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)三

2、角形式的除法設(shè)z1，z2的三角形式分別是：z1r1(cos1isin1)，z2r2(cos2isin2)，則cos(12)isin(12)(z20)，這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差幾何意義：兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相除，可以先畫(huà)出z1，z2對(duì)應(yīng)的向量，將向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2(若20，則按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)|2|)，再把模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，所得向量就表示商.復(fù)數(shù)除法實(shí)質(zhì)也是向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮1復(fù)數(shù)三角形式的乘法公式推廣z1z2z3znr1(cos1isin1)r2(cos2isin2)rn(cosnisinn)r1r2rncos

3、(12n)isin(12n)2復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算(棣莫佛定理)r(cosisin)nrn(cosnisinn)即復(fù)數(shù)的n(nN*)次冪的模等于模的n次冪，輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的n倍，這個(gè)定理稱(chēng)為棣莫佛定理1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，1的立方根是1.()(2)z|z|2.()(3)236i.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)把z2i對(duì)應(yīng)的向量，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為_(kāi)(2)(1i)2019_.(3)_.答案(1)12i(2)22019(3)2題型一 復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算例1計(jì)算下列各式：(1)；(2)3cos7；(3)4.解(1)原式

4、.(2)原式2121.(3)原式i.(1)積的模等于模的積，積的輻角等于輻角之和(2)復(fù)數(shù)三角形式乘法運(yùn)算注意向量旋轉(zhuǎn)的方向(3)做復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，三角形式和代數(shù)形式可以交替使用，但是結(jié)果一般保留代數(shù)形式(1)如果向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)4i，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后再把模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向量，那么與對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_；(2)計(jì)算(1i)6.答案(1)44i(2)見(jiàn)解析解析(1)4i4，4444i.(2)原式62626.題型二 復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算例2計(jì)算(1i).解因?yàn)?i，所以原式(0i)i.(1)商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角(2)結(jié)果一般保留代數(shù)形式(3)商的輻角

5、主值不一定等于被除數(shù)的輻角主值減去除數(shù)的輻角主值所得的差實(shí)際上，arg與argz1，argz2的關(guān)系是：argargz1argz22k(kZ)計(jì)算：(1)6(cos70isin70)3(cos40isin40)；(2).解(1)原式2i.(2)原式44i.題型三復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算幾何意義的應(yīng)用例3如圖所示，已知平面內(nèi)并列八個(gè)全等的正方形，利用復(fù)數(shù)證明：1234.證明如圖，建立平面直角坐標(biāo)系(復(fù)平面)1arg(3i)，2arg(5i)，3arg(7i)，4arg(8i)所以1234就是乘積(3i)(5i)(7i)(8i)的輻角而(3i)(5i)(7i)(8i)650(1i)，所以arg(3i)(5i

6、)(7i)(8i)，又因?yàn)?，2，3，4均為銳角，于是012342，所以1234.復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義解題要充分挖掘題目中的已知條件設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且z11i，若把繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，把繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得兩向量恰好重合，求復(fù)數(shù)z2.解依題意(1i).z2(1i)22i.1.10()Ai BiC.i D.i答案A解析10cosisincosisincosisini.故選A.2若復(fù)數(shù)z，則它的三角形式為()A.B.C.D.答案C解析zi，|z|，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，位于第一象限，所以argz.故選C.3.()Ai BiC1 D1答案A