電磁場與電磁波課后習(xí)題及答案

1、電磁場與電磁波課后習(xí)題解答1.1 給定三個矢量、和如下： 求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）；（7）和；（8）和。解 （1）（2）（3）11（4）由 ，得 （5）在上的分量 （6）（7）由于所以 （8） 1.2 三角形的三個頂點(diǎn)為、和。 （1）判斷是否為一直角三角形； （2）求三角形的面積。解 （1）三個頂點(diǎn)、和的位置矢量分別為 ，則 ， ，由此可見故為一直角三角形。 （2）三角形的面積 1.3 求點(diǎn)到點(diǎn)的距離矢量及的方向。解 ，則 且與、軸的夾角分別為1.4 給定兩矢量和，求它們之間的夾角和在上的分量。解 與之間的夾角為 在上的分量為 1.5 給定兩矢量和，求在上的

2、分量。解 所以在上的分量為 1.6 證明：如果和，則；解 由，則有，即由于，于是得到 故 1.7 如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)為一已知矢量，而，和已知，試求。解 由，有故得 1.8 在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由定出，求該點(diǎn)在：（1）直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)；（2）球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。解 （1）在直角坐標(biāo)系中 、故該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為。（2）在球坐標(biāo)系中 、故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為1.9 用球坐標(biāo)表示的場，（1）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處的和；（2）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處與矢量構(gòu)成的夾角。解 （1）在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處，故（2）在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處，所以故與構(gòu)成的夾角為 1.10 球坐標(biāo)中兩個

3、點(diǎn)和定出兩個位置矢量和。證明和間夾角的余弦為解 由 得到 1.11 一球面的半徑為，球心在原點(diǎn)上，計(jì)算： 的值。解 1.12 在由、和圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量驗(yàn)證散度定理。解 在圓柱坐標(biāo)系中 所以 又 故有 1.13 求（1）矢量的散度；（2）求對中心在原點(diǎn)的一個單位立方體的積分；（3）求對此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。解 （1）（2）對中心在原點(diǎn)的一個單位立方體的積分為 （3）對此立方體表面的積分 故有 1.14 計(jì)算矢量對一個球心在原點(diǎn)、半徑為的球表面的積分，并求對球體積的積分。解 又在球坐標(biāo)系中，所以1.15 求矢量沿平面上的一個邊長為的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與軸和軸

4、相重合。再求對此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。解 又 所以 故有 1.16 求矢量沿圓周的線積分，再計(jì)算對此圓面積的積分。解 1.17 證明：（1）；（2）；（3）。其中，為一常矢量。解 （1）（2） （3）設(shè)，則，故1.18 一徑向矢量場表示，如果，那么函數(shù)會有什么特點(diǎn)呢？ 解 在圓柱坐標(biāo)系中，由 可得到 為任意常數(shù)。在球坐標(biāo)系中，由 可得到 1.19 給定矢量函數(shù)，試求從點(diǎn)到點(diǎn)的線積分：（1）沿拋物線；（2）沿連接該兩點(diǎn)的直線。這個是保守場嗎？ 解 （1） （2）連接點(diǎn)到點(diǎn)直線方程為 即 故 由此可見積分與路徑無關(guān)，故是保守場。1.20 求標(biāo)量函數(shù)的梯度及在一個指定方向的方向?qū)?shù)

5、，此方向由單位矢量定出；求點(diǎn)的方向?qū)?shù)值。 解 題1.21圖故沿方向的方向?qū)?shù)為 點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)值為1.21 試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的公式。解 在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元如題1.21圖所示。矢量場沿方向穿出該六面體的表面的通量為同理因此，矢量場穿出該六面體的表面的通量為故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達(dá)式 1.22 方程給出一橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量。解 由于 故橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量為1.23 現(xiàn)有三個矢量、為 （1）哪些矢量可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示？（2）求出這些矢量的源分布。解（1）在球坐標(biāo)系中 故矢量既可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示；在圓柱坐標(biāo)系中 故矢量可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示；直角在坐標(biāo)系中 故矢量可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示。 （2）這些矢量的源分布為 ，；，；，1.24 利用直角坐標(biāo)，證明解 在直角坐標(biāo)中1.25 證明解 根據(jù)算子的微分運(yùn)算性質(zhì)，有式中表示只對矢量作微分運(yùn)算，表示只對矢量作微分運(yùn)算。由，可得同理 故有 1.26 利用直角坐標(biāo)，證明解 在直角坐標(biāo)中所以1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明及，試證明之。解 （1）對于任意閉合曲線為邊界的任意曲面，由斯托克斯定理有由于曲面是任意的，故有（