集合與函數(shù)的概念復(fù)習(xí)

1、第一章第一章 章末歸納總結(jié)章末歸納總結(jié)集合集合集合集合含義與表示含義與表示基本關(guān)系基本關(guān)系基本運(yùn)算基本運(yùn)算交集交集并集并集補(bǔ)集補(bǔ)集包含包含相等相等列舉法列舉法描述法描述法知識(shí)結(jié)構(gòu)集合的含義與表示 2.集合：把一些元素組成的 叫做集合（簡稱為集）,通常用 表示.研究對象總體小寫拉丁字母a,b,c 大寫拉丁字母A,B,C 3.集合中元素的特征: . 確定性、互異性、無序性 4.集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是 ,我們就稱這兩個(gè)集合是 . 一樣的相等的 1.元素：一般地,我們把 統(tǒng)稱為元素,通常用 表示.a屬于集合A，記作a Aa不屬于集合A，記作a / A5.元素與集合的關(guān)系：元素與集合的關(guān)系：

2、集合中元素的特性及其應(yīng)用n例1：若一個(gè)集合中含有三個(gè)元素0，x+2x, x+2。求x滿足的條件。（p2).a3,3aa,1)(a2,a1222的值求實(shí)數(shù)】已知【例注意元素的互異性注意元素的互異性133, 111222aaaa或），或（解：由題意0, 2, 1aaa或或解得. 133212aaaaa互異性，故，不符合元素的時(shí)，當(dāng). 0. 1aa故同理總結(jié)：集合中的元素具有確定性，互異性，無序性，在解含有參數(shù)的集合的問題時(shí)，要注意解題后的代入檢驗(yàn).自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）：記作自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）：記作正整數(shù)集：記作正整數(shù)集：記作 或或 整數(shù)集：記作整數(shù)集：記作有理數(shù)集：記作有理數(shù)集：記作實(shí)數(shù)集：

3、記作實(shí)數(shù)集：記作N N* *N N+ +N NZ ZQ QR R6.6.常用數(shù)集及表示符號(hào)常用數(shù)集及表示符號(hào)1 1、列舉法：把集合中的元素、列舉法：把集合中的元素 出來，并放在出來，并放在 內(nèi)內(nèi)2 2、描述法：用文字或公式等描述出元素的、描述法：用文字或公式等描述出元素的 ，并，并放在放在x| x| 內(nèi)內(nèi)3.3.圖示法：圖示法：VennVenn圖圖 4.4.自然語言自然語言(二二)集合的表示集合的表示一一列舉一一列舉共同特征共同特征n例3：若方程ax+bx+1=0的解集與集合A中的元素為1、2，求a,b的值。(p4) 二、集合間的基本關(guān)系二、集合間的基本關(guān)系都是都是集合集合B B的元素，我們稱

4、的元素，我們稱A A為為B B的子集的子集. .3.3.集合相等：集合相等：ABBAAB且4.4.空集：空集：2n2n-12n-22 2.真子真子 集：集：.的真子集是集合集合BA記作記作： AB,AxBxBA，且，但存在元素如果集合5.5.若集合中元素有若集合中元素有n n個(gè)，則其子集個(gè)數(shù)為個(gè)，則其子集個(gè)數(shù)為 真子集個(gè)數(shù)為真子集個(gè)數(shù)為 非空真子集個(gè)數(shù)為非空真子集個(gè)數(shù)為AB BA 記作：記作： 或或1 1. .子集：子集： 對于兩個(gè)集合對于兩個(gè)集合A A，B B如果集合如果集合A A中的任何一個(gè)元素中的任何一個(gè)元素規(guī)定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的規(guī)定空集是任何集合的子集，是任何非空集

5、合的真子集真子集.3121112, 12132 5-2B2BA aaaaaaaaaa的取值范圍綜上所述，時(shí)，有當(dāng)即，有當(dāng)，解： .A,B,121|B,52|A4的取值范圍求實(shí)數(shù)】已知【例aaxaxxx三、集合的并集、交集、全集、補(bǔ)集三、集合的并集、交集、全集、補(bǔ)集|1BxAxxBA或、 2 |ABx xAxB、且|3AxUxxACU且、全集：全集：某集某集合含有我們所合含有我們所研究的各個(gè)集研究的各個(gè)集合的全部元素，合的全部元素，用用U U表示表示AB（1）AA=（4）A = A=（2）AA=（3）A = A=（6）A (AB),B (AB)（5）(AB) (AB)（8）AB BA,AB BA

6、.（7）AB=A ；AB=A .并集、交集的性質(zhì)：并集、交集的性質(zhì)：AA A=ABBA補(bǔ)集的性質(zhì)：補(bǔ)集的性質(zhì)：A( UA)= ；A( UA) ； U( UA) ； U(AB) ； U(AB) UA( UA)( UB)( UA)( UB)3.注意空集的特殊性.a012| 32的取值范圍真子集，求至多有一個(gè)，】已知集合【例RaxaxxA. 004-4, 0012,2aaaxaxxAA解得且無實(shí)數(shù)解，則的方程無真子集，這時(shí)關(guān)于則集合解：若可分兩種情況：中僅有一個(gè)元素集合恰有一個(gè)真子集，這時(shí)若集合AA21, 01201xxa時(shí)，方程為）（1, 04-402aaa時(shí)，則）（0a1,a|a或范圍為的取值實(shí)

7、數(shù)至多有一個(gè)真子集時(shí)，綜上，當(dāng)集合aA題型題型集合實(shí)際應(yīng)用集合實(shí)際應(yīng)用例例6：向：向50名學(xué)生調(diào)查對名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成果：贊成A的人數(shù)是的人數(shù)是30，其余的不贊成，贊成，其余的不贊成，贊成B的人數(shù)是的人數(shù)是33，其余的不贊成；另外，對，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生比對都不贊成的學(xué)生比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人人.問對問對A、B都贊成都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各多少人？的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各多少人？分析：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系解：A

8、30B3350AABB.21 贊成 的人數(shù)為 ，贊成 的人數(shù)為 ，如上圖，記名學(xué)生組成的集合為 ，贊成事件 的學(xué)生全體為集合 ；贊成事件 的學(xué)生全體為集合 設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則對A、B都不贊成的學(xué)生x人數(shù)為 +1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x，贊成B而不贊成A的人數(shù)3x為33-x. 依題意（30-x)+(33-x)+x+( +1)=50，解得x=213 所以對A、B都贊成的同學(xué)有8人，都不贊成的有 人.方法歸納：方法歸納：解決這一類問題一般借用數(shù)形結(jié)合，借助于解決這一類問題一般借用數(shù)形結(jié)合，借助于Venn 圖，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合圖，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖

9、形結(jié)合起來起來 設(shè)設(shè)A A, ,B B是非空的是非空的 ，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系系f f，使對于集合，使對于集合A A中的中的 ，在集合，在集合B B中都有中都有 和它對應(yīng)，那么就稱和它對應(yīng)，那么就稱 為為從集合從集合A A到集合到集合B B的一個(gè)函數(shù)的一個(gè)函數(shù). . 記作：記作： 函數(shù)的概念：函數(shù)的概念：數(shù)集數(shù)集任意一個(gè)數(shù)任意一個(gè)數(shù)x唯一確定的數(shù)唯一確定的數(shù)f f( (x x) )BAf:Axxfy ),( 其中其中, ,x x叫做叫做 ， A A叫做函數(shù)的定義域，叫做函數(shù)的定義域，與與x x相對應(yīng)的相對應(yīng)的y y值叫做值叫做 , ,函數(shù)值的集合函數(shù)值的集合 叫

10、叫做函數(shù)的值域做函數(shù)的值域. .值域是集合值域是集合B B的子集的子集. .自變量自變量 x x的取值范圍的取值范圍函數(shù)值函數(shù)值 Axxf )(（1）函數(shù)的三要素：）函數(shù)的三要素： . 定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域3.函數(shù)三種表示法函數(shù)三種表示法: 解析法；列表法；圖象法。解析法；列表法；圖象法。知識(shí)探究（知識(shí)探究（二二）區(qū)間區(qū)間思考思考1 1：設(shè)設(shè)a a，b b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且abab，介于這兩個(gè)數(shù)之間，介于這兩個(gè)數(shù)之間的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x x用不等式表示有哪幾種可能情況？用不等式表示有哪幾種可能情況？bxabxabxabxa,aa，+)+)，(a(a，+)+)， (-

11、(-，aa，(-(-，a).a).思考思考2 2：將實(shí)數(shù)集將實(shí)數(shù)集R R看成一個(gè)大區(qū)間，怎樣用區(qū)間表示實(shí)數(shù)看成一個(gè)大區(qū)間，怎樣用區(qū)間表示實(shí)數(shù)集集R R？（-，+）我們可以把滿足我們可以把滿足的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為的集合分別表示為axaxaxax,上述知識(shí)內(nèi)容總結(jié)成下表：上述知識(shí)內(nèi)容總結(jié)成下表： 這里的實(shí)數(shù)這里的實(shí)數(shù)a a與與b b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn). .a ab ba ab ba ab b數(shù)軸表示數(shù)軸表示定義定義符號(hào)符號(hào)名稱名稱 a, b 閉區(qū)間閉區(qū)間( a, b ) a, b )開區(qū)間開區(qū)間半開半閉半開半閉區(qū)間區(qū)間半開半閉半開半閉區(qū)間區(qū)間x|axbx|axbx|

12、axbx|axb( a, b a ab b 例例1 1 判判斷斷下下列列對對應(yīng)應(yīng)是是否否為為從從集集合合A A到到集集合合B B的的函函數(shù)數(shù) ( (1 1) ) A A= =R R, ,B B= =( (0 0, ,+ + ) ), ,x xA A, ,對對應(yīng)應(yīng)法法則則f f: :x x| |x x| |(2),|1,22AR ByyRyxAx 2 2且且對對應(yīng)應(yīng)法法則則f f: :x xy y= =x x解解:(1):(1)不不是是函函數(shù)數(shù). .因因?yàn)闉榧虾螦 A中中的的元元素素0,0,在在集集合合B B中中沒沒有有元元素素與與之之對對應(yīng)應(yīng). .( )2.是是函函數(shù)數(shù) 滿滿足足函函數(shù)數(shù)的

13、的概概念念 269 , (3)9,7,.xxxa b aba b 2 2例例 函函數(shù)數(shù)f f( ( ) )= =- -在在區(qū)區(qū)間間有有最最大大值值最最小小值值求求的的值值:開開口口方方向向, ,注注意意對對稱稱軸軸的的位位置置解解: :對對稱稱軸軸x x= =3 3( ) , f xa b函函數(shù)數(shù)在在上上是是增增函函數(shù)數(shù)22697699aabbab 2,0ab 例題講解例題講解1.1.求函數(shù)的定義域應(yīng)注意：求函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（2 2）f(x)f(x)是分式，則分母不為是分式，則分母不為0 0；（1 1）f(x)f(x)是整式，則定義域是是整式，則定義域是R R；（3 3）偶次方根的被開方數(shù)

14、非負(fù)；）偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)；0 x(4) (4) 若若f(x)= ,f(x)= ,則定義域則定義域0|xRx（5 5）表格形式給出時(shí)）表格形式給出時(shí), ,定義域就是表格中數(shù)的集合定義域就是表格中數(shù)的集合. . 011xyxx 211yxx 定義域定義域.), 0( 12的值域求例Rxacbxaxy配方法配方法解：解：cxabxay)(2abcabxabxa4)2(22abcabxa4)2(22abacabxa44)2(2244|440122abacyyabacya值域?yàn)闀r(shí)，）當(dāng)（44|440122abacyyabacya值域?yàn)闀r(shí)，）當(dāng)（求值域的方法求值域的方法.13值域求例xy解：0 x由

15、題知定義域?yàn)? x1y1|yy所以值域?yàn)橛^察法觀察法通過對解析式的簡單變形和觀察，利用熟知的基本函數(shù)的通過對解析式的簡單變形和觀察，利用熟知的基本函數(shù)的值域，求出函數(shù)的值域值域，求出函數(shù)的值域. .29xy練一練由知及09022xx3 , 0-92x3 , 0故所求的值域?yàn)榻猓?1)(4的值域求例xxxf解：分離常數(shù)法分離常數(shù)法111111)(xxxxf1x定義域?yàn)?11-1x011x1,|yRyy且所以值域?yàn)閨acyRybaxbcxy的形式的值域?yàn)樾稳缋? 求函數(shù)求函數(shù)的值域) 1(21xxxy解：解：，解出由xxxy21) 1(112yyyx得1112, 1yyx所以而012yy即12-

16、 y所以），故所求函數(shù)的值域1-2反表示法反表示法)25(3252xxxy求例解：解：配方，畫簡圖配方，畫簡圖4) 1(2xy125yx時(shí)，當(dāng)，由圖知時(shí)，當(dāng)32yx-12-5-23-13 ,12312|或函數(shù)的值域?yàn)閥y增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)函數(shù)是對定義域上的某個(gè)區(qū)間而言的增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)函數(shù)是對定義域上的某個(gè)區(qū)間而言的三、函數(shù)單調(diào)性三、函數(shù)單調(diào)性如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1、x2，當(dāng)x1f(x2) ，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)減函數(shù)。區(qū)間D叫做函數(shù)的減區(qū)間減區(qū)間。定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1、x2當(dāng)x1

17、x2時(shí)，都有f(x1) f(x2) ，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)增函數(shù)。區(qū)間D叫做函數(shù)的增區(qū)間增區(qū)間。3.最大最大(小小)值的定義值的定義:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)槎x域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)如果存在實(shí)數(shù)M滿滿足足:(1)對于任意的對于任意的xI,都有都有f(x) M ; (2)存在存在x0 I,使得使得f(x0)=M.則稱則稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的最大的最大(小小)值值. )( 或或例例5 畫出函數(shù)畫出函數(shù)f(x)=3x+2的圖像的圖像,判斷它的單調(diào)判斷它的單調(diào)性性,并加以證明并加以證明.解解 作出作出f(x)f(x)= =3x3x+2+2的圖像的圖像. .由圖看出由圖看出, ,

18、函數(shù)的圖函數(shù)的圖在在R R上是上升的上是上升的, ,函數(shù)是函數(shù)是R R上的增函數(shù)上的增函數(shù). .所以所以 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2),O 1 2 x21543yy=3x+2任取任取x1,x2R,設(shè)設(shè)x1x2,取值取值作差作差變形變形定號(hào)定號(hào)21xx 021xx證明證明:判斷判斷 下結(jié)論下結(jié)論四、函數(shù)的奇偶性四、函數(shù)的奇偶性1.奇函數(shù):對任意的 ,都有Ix )()(xfxf)()(xfxf2.偶函數(shù):對任意的 ,都有Ix 3.奇函數(shù)和偶函數(shù)的必要條件:注注:要判斷函數(shù)的奇偶性要判斷函數(shù)的奇偶性,首先要看其定首先要看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱義域是否關(guān)

19、于原點(diǎn)對稱!定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.奇奇(偶偶)函數(shù)的一些特征函數(shù)的一些特征1.若函數(shù)若函數(shù)f(x)是是奇奇函數(shù)函數(shù),且在且在x=0處有定義處有定義,則則f(0)=0.2.奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,且在對稱的區(qū)間上且在對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致單調(diào)性一致。3.偶函數(shù)圖像關(guān)于偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱軸對稱,且在對稱的區(qū)間上單且在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。調(diào)性相反。 ( ) ()2253( ),(2)331,.2)( ), 1,.pxf xfxqp qf x 例例 已已知知函函數(shù)數(shù)是是奇奇函函數(shù)數(shù) 且且求求實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的值值判判斷斷函函數(shù)數(shù)在在上上的的單單調(diào)調(diào)性性 并并加加

20、以以證證明明解解: :( (1 1) )函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )為為奇奇函函數(shù)數(shù)()( )fxf x 222233pxpxxqxq 0q 425(2)263pfp 222(2) ( )3xf xx 21x 1 1設(shè)設(shè)x x22121212112()()()3xxf xf xxx12121212()3x xxxx x 12120,1xxx x則則12()()f xf x ( ), 1).f x 即即函函數(shù)數(shù)在在上上是是增增函函數(shù)數(shù)0 例題講解例題講解 ()4( )f x 例例 若若函函數(shù)數(shù)是是定定義義在在R R上上的的偶偶函函數(shù)數(shù), ,且且在在 - - , ,0 0 上上是是增增函函數(shù)數(shù)

21、, ,并并且且22(21)(321),.faafaaa 求求實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 的的取取值值范范圍圍(): 解解 由由條條件件知知f f( (x x) )在在 0 0, ,+ +上上是是減減函函數(shù)數(shù)22221811212()0,3213()04733aaaaaa 而而2222(21)(321)21321faafaaaaaa 由由230aa 03a 例題講解例題講解( )1.( )( ),f xg x下下面面四四組組中中的的函函數(shù)數(shù)與與表表示示同同一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的是是2. ( ), ( )()A f xx g xx 2. ( ), ( )B f xx g xx 33. ( ), ( )C f xx g

22、 xx2. ( ) |1|, ( ) |1|D f xxg xx C2.1yax 求求函函數(shù)數(shù)在在 0 0, ,2 2 上上的的最最值值. .0,21,1;0,1,21:0,1ayaayaay 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的最最大大值值為為最最小小值值為為 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的最最大大值值為為最最小小值值為為當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)3.3|1|.yx 求求函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)增增區(qū)區(qū)間間)1,24.( ) 1,1,(1)(1)0,.f xfafaa 若若奇奇函函數(shù)數(shù)是是定定義義在在上上的的減減函函數(shù)數(shù) 且且求求 的的取取值值范范圍圍12a 練習(xí)練習(xí)21135.( ) , 2 ,2 ,22f xxa bab 若若函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的最最小小值值為為最最大大值值為為求求區(qū)區(qū)間間 a a, ,b b . .:(1)0ab解解若若( ) , ( )2 ,( )2f xa bf ab f ba 則則在在上上單單調(diào)調(diào)遞遞減減22113222113222abba , 1,1,33a bab (2)0ab 若若( ) ,0f xa則則在在上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增, ,在在 0 0, ,b b 是是單單調(diào)調(diào)遞遞減減13 , 217,4a b max(0)134ffb min39( )0,( )2032f bf xa 而而2