三重積分的變量代換PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1三重積分的變量代換三重積分的變量代換.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),(),()1(),(),(),(:),(3dwdudvJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxfTwvuzyxwvuJwvuzwvuywvuxxyzuvwwvuzzwvuyywvuxxTRzyxf 是一對一的，則有是一對一的，則有變換變換上雅可比式上雅可比式在在；上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在，且滿足，且滿足空間中的空間中的變?yōu)樽優(yōu)殚]區(qū)域閉區(qū)域空間中的空間中的將將上連續(xù)，變換上連續(xù)，變換中的有界閉區(qū)域中的有界閉區(qū)域在在設(shè)設(shè)定理定理 一、三重積分的換元法第1頁

2、/共33頁例1. 求由下面方程表示的曲面所圍立體的體積:其中,)()()(2233322222111hzcybxazcybxazcybxa . 0:333222111 cbacbacba解: 令,333222111zcybxawzcybxavzcybxau 則 ),(),(wvuzyxJ. 01 2222|1hwvududvdwV.|343h 第2頁/共33頁oxyz,R),(3zyxM設(shè),代代替替用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)將將 ryx),zr （則則就稱為點M 的柱坐標(biāo). zr 200 sinry zz cosrx 直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常常數(shù)數(shù) r坐標(biāo)面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面oz),(

3、zyxMr)0 ,(yx第3頁/共33頁zrrvdddd 因此 zyxzyxfddd),(.ddd),sin,cos( zrrzrrf 適用范圍:1) 積分域是圓柱或它在某坐標(biāo)面上的投影為圓(或一部分) ;2) 被積函數(shù)中含有x2+y2(相應(yīng)地, y2+z2, x2+z2)形式. ,1000cossin0sincos,rrrzrJ 第4頁/共33頁其中為由zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍解: 在柱面坐標(biāo)系下: cos202drrdcos342032a cos20 r20az 0及平面2axyzozrrvdddd 20d azz0dzrrzddd2 原式原式398

4、a柱面 cos2 r成半圓柱體.第5頁/共33頁o oxyz解: 在柱面坐標(biāo)系下h: hrz42d hrdrhrr2022)4(12 4)41ln()41(4hhhhz hr20 20 hrrr202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面42r原式 =zrrvdddd 第6頁/共33頁,R),(3zyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱為點M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,ZOMMoxyzzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標(biāo)面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz 第7

5、頁/共33頁 dddsind2rrv 因此有 zyxzyxfddd),(.dddsin)cos,sinsin,cossin(2 rrrrrf適用范圍:1) 積分域表面是球面或頂點在原點的圓錐面;2) 被積函數(shù)含 x2+y2+z2 一類式子 . . 0sincoscossinsincossinsinsinsinsincoscossin, rrrrrrJ ,sin2 r 第8頁/共33頁,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222Rzyx解: 在球面坐標(biāo)系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin

6、20dxyzo4Rr 第9頁/共33頁直角坐標(biāo)與廣義球坐標(biāo)的關(guān)系0200r cossinrax sinsinrby cosrcz , rJ sin2rabc例13.3.9. 橢球 的體積 .34sin102020abcdrrddabcV 1222222czbyax第10頁/共33頁zyxdddzrrddd dddsin2rr積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系* 說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應(yīng)雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;第11頁

7、/共33頁二、利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：.積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；.被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的奇偶性 一般地，當(dāng)積分區(qū)域 關(guān)于xoy平面對稱，且被積函數(shù)),(zyxf是關(guān)于z的奇函數(shù)，則三重積分為零，若被積函數(shù)),(zyxf是關(guān)于z的偶函數(shù)，則三重積分為 在xoy平面上方的半個閉區(qū)域的三重積分的兩倍. .,0),(相應(yīng)地）面對稱相應(yīng)地）面對稱或或（或（或則曲面所圍立體關(guān)于則曲面所圍立體關(guān)于）以偶次方形式出現(xiàn)，）以偶次方形式出現(xiàn)，或或（或（或中中若曲面若曲面xyxzyzzyxzyxF 第12頁/共33頁例例利用對稱性簡化計算利用對稱性簡化計算 dxdydzzy

8、xzyxz1)1ln(222222其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域1| ),(222 zyxzyx.解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是 的奇函數(shù),z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz第13頁/共33頁解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對對稱稱, 0)(dvyzxy,第14頁/共33頁同同理理 zx是是關(guān)關(guān)于于x的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于yoz面面對對稱稱, 0 xzdv由由對對稱稱性性知知 dvydvx22,則則 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx第15

9、頁/共33頁在柱面坐標(biāo)下：在柱面坐標(biāo)下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影區(qū)域投影區(qū)域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 第16頁/共33頁)0()(32222azazyx所圍立體體積.解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,cos0:3ar 利用對稱性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面對稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xoz dddsind2rrv yzxar第17頁/共33頁輪換對稱性：若積

10、分區(qū)域的表達式中將 x, y, z 依次輪換,表達式不變,則稱關(guān)于 x, y, z 輪換對稱. 此時有 dvzyxf),( dvxzyf),(.),( dvyxzf例8. 設(shè)是由平面 x+y+z=1和三個坐標(biāo)面所圍成的 區(qū)域, 求.)( dvzyxI解: 由輪換對稱性, xdvI3 yxxdzdyxdx1010103第18頁/共33頁說明：二重積分也有輪換對稱性.若積分區(qū)域 D 的表達式中將 x, y 依次輪換,表達式不變,則稱 D 關(guān)于 x, y 輪換對稱. 此時有.),(),( DDdxyfdyxf 例9. 設(shè).)()()(, 02abdxdyyfxfbabaDfD 則則連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)證

11、: 由輪換對稱性, Ddxdyyfxf)()( Ddxdyxfyfyfxf)()()()(21.)(2abdxdyD 第19頁/共33頁2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x綜合例子六個平面圍成 ,:第20頁/共33頁zoxy222yxz和球面4222zyx所圍成 , 計算.d)(2vzyxI提示:4利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標(biāo) rr d420dsin4020d221564第21頁/共

12、33頁,ddd12zyxxyI所圍成. 其中 由1,1,12222 yzxzxy分析：若用“先二后一”, 則有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210計算較繁! 采用“先一后二”較好.1zxy1o1第22頁/共33頁:4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211yyzxd11221, 1,1222yzxzxy由所圍,故可 表為 第23頁/共33頁,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解:zyxxIddd2利用對稱性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241z

13、rrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220第24頁/共33頁思考題則則上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為為面對稱的有界閉區(qū)域，面對稱的有界閉區(qū)域，中關(guān)于中關(guān)于為為若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時時關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng) 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf為偶函數(shù)時為偶函數(shù)時關(guān)于關(guān)于當(dāng)當(dāng).1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中xy zz2第25頁/共33頁一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所所圍圍, ,則三重積分則三重積

14、分 dvzyxf),(表示成直角坐標(biāo)下表示成直角坐標(biāo)下的三次積分是的三次積分是_; ;在柱面坐標(biāo)下在柱面坐標(biāo)下的三次積分是的三次積分是_; ;在球面坐標(biāo)下在球面坐標(biāo)下的三次積分是的三次積分是_. .2 2、 若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所圍所圍, ,將將 zdv表為柱面坐標(biāo)下的三次積分表為柱面坐標(biāo)下的三次積分_, ,其值為其值為_. .練 習(xí) 題第26頁/共33頁 3 3、若空間區(qū)域、若空間區(qū)域 為二曲面為二曲面azyx 22及及 222yxaz 所圍所圍, ,則其體積可表為三重積分則其體積可表為三重積分_; ;或二重積分或二重積分_; ;或柱面坐標(biāo)下的三次積分或柱面坐標(biāo)下

15、的三次積分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx , ,222zyx 所確定所確定, ,將將 zdv表為球面坐標(biāo)下的三次積分為表為球面坐標(biāo)下的三次積分為_；其值為；其值為_. .二、計算下列三重積分二、計算下列三重積分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其中其中 是由曲面是由曲面 24z)(2522yx 及平面及平面5 z所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. .第27頁/共33頁 2 2、 dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zAzyxa所確定所確定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222

16、czbyaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所圍成的立所圍成的立體的體積體的體積. .四、曲面四、曲面2224aazyx 將球體將球體azzyx4222 分分成兩部分成兩部分, ,試求兩部分的體積之比試求兩部分的體積之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所圍圍成成立立體體的的重重心心( (設(shè)設(shè)密密度度1 ) ). .第28頁/共33頁六、求半徑為六、求半徑為a, ,高為高為h的均勻圓柱體對于過中心而垂的均勻圓柱體對于過中心而垂 直于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量直于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量 ( (設(shè)密度設(shè)密度)1 . .第29頁/共33頁一、一、1 1、 22222216)(34422),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2；練習(xí)題答案第30頁/共33頁 2 2、 2221020rrzd