同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)微分方程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)微分方程同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)微分方程第一節(jié) 微分方程的基本概念 與一階微分方程解法 一階微分方程的基本概念與解法引例 幾何問題物理問題 第七章 第1頁/共65頁一曲線通過點(1,2) ,在該曲線上任意點處的解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C為任意常數(shù))由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲線方程為21xy由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 . 第2頁/共65頁sm20的速度行駛, 制動時獲得加速度,sm4 . 02a求制動后列車的運動規(guī)律.解: 設(shè)列車在制動后 t 秒行駛了s 米 ,已知4 . 0dd

2、22ts,00ts200ddtts由前一式兩次積分, 可得2122 . 0CtCts利用后兩式可得0,2021CC因此所求運動規(guī)律為tts202 . 02說明: 利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住 , 以及制動后行駛了多少路程 . 即求 s = s (t) .第3頁/共65頁常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容)0),()(nyyyxF),()1()(nnyyyxfy( n 階顯式微分方程)一般地 , n 階常微分方程的形式是的階.分類或第4頁/共65頁,00ts200ddtts引例24 . 022ddxy

3、 使方程成為恒等式的函數(shù).通解 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程)1(00)1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解xxy2dd21xy引例1 Cxy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件 其圖形稱為積分曲線.其圖形稱為積分曲線族.第5頁/共65頁是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解,0Axt00ddttx的特解 . 解: 22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2這說明t

4、kCtkCxsincos21是方程的解 . 是兩個獨立的任意常數(shù),21,CC),(21為常數(shù)CCt kkCcos2102xk利用初始條件易得: ,1AC 故所求特解為tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求滿足初始條件 第6頁/共65頁求所滿足的微分方程 .PQxyox解: 如圖所示, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 點的橫坐標(biāo)yyxX,xyyx即02 xyy點 P(x, y) 處的法線方程為且線段 PQ 被 y 軸平分, 第7頁/共65頁1、可分離變量微分方程 或 xxfyygd)(d)(可分離變量方程。 )()(dd21yfxfxy形如的微分方程稱為解法：可分離變量方程的

5、解法:xxfyygd)(d)(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF則有稱為方程的隱式通解.二、一階微分方程的解法第8頁/共65頁yxxy23dd的通解.解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為任意常數(shù) )或說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.( 此式含分離變量時丟失的解 y = 0 )第9頁/共65頁0d)1(d2yxxyx解: 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1

6、,112xy( C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y第10頁/共65頁) 1(sin2yxy解: 令 , 1yxu則yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù) )所求通解:第11頁/共65頁.dd的通解求方程yxexy解法 1 分離變量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法 2, yxu令yu1則故有ueu1積分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 為任意常數(shù) )所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (第12頁/共65頁子的含量 M 成正比,0M求在衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間

7、t 的變化規(guī)律. 解: 根據(jù)題意, 有)0(ddMtM00MMt(初始條件)對方程分離變量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始條件, 得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMMM0Mto然后積分:td)(已知 t = 0 時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原第13頁/共65頁成正比,求解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為對方程分離變量,mtvkmgvdd然后積分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件, 得)(ln1gmkC代入上式后化簡, 得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,)1 (tmkekgmvm

8、gvk設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. kmgv t 足夠大時第14頁/共65頁形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy代替 u,便得原方程的通解.解法:分離變量: 第15頁/共65頁.tanxyxyy解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuuddsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為xCxysin( 當(dāng) C =

9、0 時, y = 0 也是方程的解)( C 為任意常數(shù) )第16頁/共65頁.0dd)2(22yxxyxy解:,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有22uuuxu分離變量xxuuudd2積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解即Cuux )1(yCxyx)(說明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 為任意常數(shù))求解過程中丟失了. 第17頁/共65頁一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)

10、(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPeCyd)(稱為齊次方程 ;第18頁/共65頁對應(yīng)齊次方程通解xxPeCyd)(齊次方程通解非齊次方程特解xxPCed)()()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法:,)()(d)(xxPexuxy則xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作變換xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(兩端積分得第19頁/共65頁.) 1(12dd25xxyxy解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積

11、分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法求特解. 令,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(第20頁/共65頁伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)第21頁/共65頁2)ln(ddyxaxyxy的通解.解: 令

12、,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez 將1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 第22頁/共65頁一、可降階高階微分方程 第七章 二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第二節(jié)第23頁/共65頁)()(xfyn ),( yxfy ),( yyfy 第24頁/共65頁)()(xfyn令,)1( nyz)(ddnyxz則因此1d)(Cxxfz即1)1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過 n 次積分, 可得含 n 個任意常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程 一

13、、可降階高階微分方程 第25頁/共65頁.cos2xeyx 求解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC第26頁/共65頁),(yxfy 型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy第27頁/共65頁yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(

14、21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為第28頁/共65頁),(yyfy 型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy第29頁/共65頁.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xCeCy12解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddd

15、dyppdd第30頁/共65頁解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得yeppydd2積分得1221221Cepy利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)yepxydd積分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解為xey1得第31頁/共65頁為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面)0()(xxy設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo), 且, 0)( xy)(xyy 過曲線上任一點 P(x, y) 作該曲線的切線及 x 軸的垂線,1S區(qū)間 0, x 上以,2S記為)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解:, 0)(, 1)0(xyy因為

16、. 0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 設(shè)曲線在點 P(x, y) 處的切線傾角為 ,滿足的方程 ., 1)0(y積記為( 99 考研 )ttySxd)(02Pxy1S1oyx第32頁/共65頁再利用 y (0) = 1 得利用,1221 SS得xttyyy021d)(兩邊對 x 求導(dǎo), 得2)( yyy 定解條件為)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化為,ddyppy 則yyppdd,1yCp 解得利用定解條件得,11C, yy 再解得,2xeCy , 12C故所求曲線方程為xey 2ddpyppy12SPxy1S1oyx第33頁/共65頁二、 高階線性微分方

17、程 解的結(jié)構(gòu) 2、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 3、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 1、二階線性微分方程 第七章 第34頁/共65頁的方程，叫二階線性微分方程。)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 時，時，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性齊次微分方程時，時，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性非齊次微分方程的方程，叫 n 階線性微分方程。).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 1、二階線性微分方程的概念形如一般地，形如二、 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 第35頁/共65頁 )(11yCxP )(11yCxQ0證畢)(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個解,也是

18、該方程的解.證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理1.第36頁/共65頁不一定是所給二階方程的通解.例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy則為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無關(guān)概念. 第37頁/共65頁)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是定義

19、在區(qū)間 I 上的 n 個函數(shù),21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這 n個函數(shù)在 I 上線性相關(guān), 否則稱為線性無關(guān).例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān);又如，,12xx若在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點 ,321,kkk必需全為 0 ,可見2,1xx故在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān).若存在不全為 0 的常數(shù)第38頁/共65頁)(),(21xyxy線性相關(guān)存在不全為 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy

20、( 無妨設(shè))01k)(),(21xyxy線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)思考:)(),(21xyxy若中有一個恒為 0, 則)(),(21xyxy必線性相關(guān)0)()()()(2121xyxyxyxy(證明略)21, yy可微函數(shù)線性無關(guān)第39頁/共65頁)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解, 則)()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xCxCysincos21推論. nyyy,21若是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個線性無關(guān)解

21、, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC第40頁/共65頁)(* xy設(shè)是二階非齊次方程的一個特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理 3.)()()(xfyxQyxPy 則是非齊次方程的通解 .證: 將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ第41頁/共65頁)(*)(xyxYy故是非齊次方程的解,又Y 中含有兩個獨立任意常數(shù),例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對應(yīng)齊

22、次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢因而 也是通解 .第42頁/共65頁), ,2, 1()(nkxyk設(shè)分別是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1則)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 第43頁/共65頁)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對應(yīng)齊次方程的 n 個線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(x

23、yxY)(* xy是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解第44頁/共65頁常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD提示:3231,yyyy都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān) . (反證法可證)3322311)()()(yyyCyyCC(89 考研 )3322311)()()(yyyCyyCD第45頁/共65頁 已知微

24、分方程)()()(xfyxqyxpy 個解,2321xxeyeyxy求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解 .解:1312yyyy與是對應(yīng)齊次方程的解,且xexeyyyyxx21312常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為)()(221xeCxeCyxxx代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解為有三 第46頁/共65頁常系數(shù)齊次線性微分方程 第七章 第47頁/共65頁),(0為常數(shù)qpyqypy xrey 和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程,1. 當(dāng)042qp時, 有兩個相異實根,21r

25、 ,r方程有兩個線性無關(guān)的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為xrxreCeCy2121( r 為待定常數(shù) ),xrer函數(shù)為常數(shù)時因為,所以令的解為 則微分其根稱為特征根.第48頁/共65頁042qp時, 特征方程有兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,12xrexy 因此原方程的通解為xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru第49頁/共65

26、頁042qp時, 特征方程有一對共軛復(fù)根irir21,這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解為)sincos(21xCxCeyx第50頁/共65頁),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 實根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .二階常

27、系數(shù)齊次線性微分方程:第51頁/共65頁若特征方程含 k 重復(fù)根,ir若特征方程含 k 重實根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk則其通解中必含對應(yīng)項)(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iiDC第52頁/共65頁032 yyy求方程的通解.解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxeCeCy321例2. 求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解: 特征方程0122

28、rr有重根,121 rr因此原方程的通解為tetCCs)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問題的解為tets)24(22C第53頁/共65頁 第七章 常系數(shù)非齊次線性微分方程 型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、二、第54頁/共65頁)(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法第55頁/共65頁( )( )xmf xePx 型型則有形如

29、的特解，其中其中 為實數(shù) ,)(xPm為 m 次多項式 .此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時, k=0,1,2*( )kxmyx Qx e( )xmypyqyeP x待定多項式 .( )mQx為 m 次對非齊次方程第56頁/共65頁1332 xyyy求方程的一個特解.解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0第57頁/共65頁xexyyy265 求方程的通解. 解: 本題特征方程為,0652 rr其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xxeCeCY3221設(shè)非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2第58頁/共65頁 0)0()0()0( 123yyyyyy解: 本題特征方程為, 02323