A第六章第節(jié)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1A第六章第節(jié)第六章第節(jié)2021年8月28日2例例5：30(1)dxx x ,1tx 令令 32)11(11ttdtt0 03)1(tdt 021)1(2t122lim(1)1tt = 2. 則原積分則原積分第1頁/共87頁2021年8月28日3212dxxx 1(1)(2)dxxx 21(1)(2)dxxx 2(1)(2)dxxx 21(1)(2)dxxx 21111()312dxxx 211(ln1ln2 )3xx2111ln32xx 第2頁/共87頁2021年8月28日41111lnlimln342xxx , 原廣義積分發(fā)散。原廣義積分發(fā)散。2(1)(2)dxxx 請請同同學(xué)學(xué)們們

2、判判斷斷的的斂斂散散性性。212dxxx 21(1)(2)dxxx 2(1)(2)dxxx 21(1)(2)dxxx 2111ln32xx 第3頁/共87頁2021年8月28日5第4頁/共87頁2021年8月28日6 在引出定積分的引例中，我們介紹了在引出定積分的引例中，我們介紹了計算曲邊梯形的面積，變速直線運動的路計算曲邊梯形的面積，變速直線運動的路程等問題。它們所涉及的思想方法是相同程等問題。它們所涉及的思想方法是相同的。現(xiàn)在我們把這一思路用更簡潔的形式的?，F(xiàn)在我們把這一思路用更簡潔的形式表示出來，以期能用它來解決更多的此類表示出來，以期能用它來解決更多的此類問題。如求旋轉(zhuǎn)體的體積、平面曲

3、線的弧問題。如求旋轉(zhuǎn)體的體積、平面曲線的弧長、變力所作的功及水壓力等。長、變力所作的功及水壓力等。第5頁/共87頁2021年8月28日7回顧求曲邊梯形面積的步驟：回顧求曲邊梯形面積的步驟：設(shè)設(shè) y = f (x) 0, 且在且在 a, b 上連續(xù)。上連續(xù)。(1) ：得小曲邊梯形的面積：得小曲邊梯形的面積 (i =1, 2, n)(2) ：(3) ：(4) 逼近逼近：iiixfA )( niiixfA1)( iA )(僅僅差差高高階階無無窮窮小小與與iiixfA 01lim()( )nbiiaiAfxf x dx y = f (x)0 xyab第6頁/共87頁2021年8月28日8其中其中, 極

4、限固然重要極限固然重要, 但定積分形式的形成關(guān)鍵但定積分形式的形成關(guān)鍵在于在于(2) 部分量部分量 形成了被積表達式形成了被積表達式(1) 所求量具有區(qū)間可加性是形成定積分的前提。所求量具有區(qū)間可加性是形成定積分的前提。,)(iiixfA 為簡便起見為簡便起見, 現(xiàn)省去下標?，F(xiàn)省去下標。(1), (2).的雛形。的雛形。第7頁/共87頁2021年8月28日90 xyy = f (x)ab,badxxxA 表示任一小區(qū)間表示任一小區(qū)間用用 上的小曲邊梯形面積上的小曲邊梯形面積,xx+dx( ),Af x dx 則則)()(dxoAdxxf 且且)0(dx , ,dAa b把把在在上上無無限限累累

5、加加 badAAA 又稱為又稱為則小區(qū)間長為則小區(qū)間長為 dx,x取為左端點取為左端點把把 ( ),f x dxA稱稱為為所所求求量量的的元元素素記作記作 ,( ),dAf x dx 即即dA或或。.)(xdxfba dx,第8頁/共87頁2021年8月28日10 只要求出一小塊的面積只要求出一小塊的面積, 其無限的累加其無限的累加即為所求整個曲邊梯形的面積。即為所求整個曲邊梯形的面積。 把面積把面積 A 改為一般的所求量改為一般的所求量 I, 則有則有,)(dxxfId baIdIxdxx ,0, ,x xdxl作作這一小段的質(zhì)量這一小段的質(zhì)量dxxdm)( 則整段細棒的質(zhì)量為這一小段質(zhì)量的

6、無限累加。則整段細棒的質(zhì)量為這一小段質(zhì)量的無限累加。 ldmm0這就是這就是。的質(zhì)量：的質(zhì)量：xl0 lxdx0)( baxdxf.)(如長為如長為 l 的細棒上的線密度的細棒上的線密度 連續(xù)連續(xù)，則細棒則細棒)(x 第9頁/共87頁2021年8月28日11現(xiàn)在利用元素法討論：現(xiàn)在利用元素法討論：(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積(2) 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積(3) 平行截面面積為已知的立體體積平行截面面積為已知的立體體積(4) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長(5) 旋轉(zhuǎn)曲面的面積等幾何問題。旋轉(zhuǎn)曲面的面積等幾何問題。第10頁/共87頁2021年8月28日12 (1) 圖形由連續(xù)曲線圖形由連

7、續(xù)曲線( ),0,yf xyxaxb所所圍圍 (a)0)( xf取任一小區(qū)間取任一小區(qū)間,badxxx dxxfdA)( baAdA以直邊近似代替曲邊以直邊近似代替曲邊, baxdxf)(0 xyy = f (x)abx x+dxdA第11頁/共87頁2021年8月28日13上有正有負上有正有負在在,)()(baxfb , ,a c在在上上, ,cadxxx 取取xdxfAd)(1 , ,c b在在上上 , , ,x xdxc b 取取xdxfAd)(2 caAdA1.)(xdxfba 2bcdA cxx caxdxf)(xdxfbc )(0 xyy = f (x)ab.第12頁/共87頁20

8、21年8月28日14 (2) 圖形由兩條連續(xù)曲線圖形由兩條連續(xù)曲線圍成圍成與與bxaxxgyxfy ,)(),()()()(xgxfa ( )yf x ( )yg x ab,badxxx 取取xdxgxfAd)()( baxdxgxfA)()( 0 y x. x第13頁/共87頁2021年8月28日15相交相交與與)()()(xgxfbcd caxdxfxgA)()(則則 bdxdxfxg)()( baxdxgxfA)()(即即 dcxdxgxf)()( )yf x ( )yg x xyab0第14頁/共87頁2021年8月28日16與與圖形由連續(xù)曲線圖形由連續(xù)曲線)(),()3(yxyx 圍

9、成圍成dycy ,cd( )xy ( )xy , , ,y ydyc d取取,d y小小矩矩形形的的底底長長( )( ),yy 高高為為ydyyAd)()( 此時取此時取 y 為積分變量為積分變量 dcydyyA)()( y xy . dcydyyA)()( 一般：一般：第15頁/共87頁2021年8月28日17求平面圖形面積的求平面圖形面積的:1、作圖、作圖, 求出交點求出交點;2、選擇積分變量、選擇積分變量, 寫出面積元素寫出面積元素;3、作定積分、作定積分, 并計算并計算.第16頁/共87頁2021年8月28日181,2xxyeyey 例例 ：求求由由與與所所圍圍圖圖形形的的面面積積。2

10、12ln2ln xye xye (1) 選選 x 為積分變量為積分變量求交點求交點2xyey 2xyey )2 , 2(ln)2 , 2ln( 02ln)2(dxeAx4ln22. (2) 選選 y 為積分變量為積分變量(0,1), (0,2)交交點點：，yxeyxln 21 )ln(lndyyyA0yxln20(2)xedx yxeyxln . 22ln4 第17頁/共87頁2021年8月28日19解方程組：解方程組：224yxyx 得交點：得交點：(8, 4), (2,2) )2 4(242ydyyA 18 2224yxyx例例 ：求求曲曲線線與與圍圍成成的的面面積積。2y x4444 x

11、y22yx 第18頁/共87頁2021年8月28日20 xyo3 342 xy由由得兩切線的斜率為得兩切線的斜率為14, k 故兩切線為故兩切線為1:43, lyx其交點的橫坐標為其交點的橫坐標為3,2x )34(622323xdxxx 9. 4 22,k 2 :26;lyx )34(342230 xdxxxA =l1l2 。積積的切線所圍成圖形的面的切線所圍成圖形的面處處，和點和點與其在點與其在點求拋物線求拋物線例例)03()3(0, 34. 32 xxy第19頁/共87頁2021年8月28日2121yx在在 (0,1) 內(nèi)的一條切線內(nèi)的一條切線, 使使它與兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小

12、它與兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.設(shè)拋物線上切點為設(shè)拋物線上切點為2( , 1)M xx 則該點處的切線方程則該點處的切線方程為為2(1)2()Yxx Xx 它與它與 x, y 軸的交點分別為軸的交點分別為21(,0),2xAx 2(0,1)Bx 所指面積所指面積( )S x 221 (1)22xx 120(1)xdx xyM11 AB22(1)2,43xx 第20頁/共87頁2021年8月28日22( )S x 2221(1) (31),4xxx3 ,3x 當當時時( )0,S x ( )0;S x 且為最小點且為最小點. 故所求切線為故所求切線為2 34,33YX ( )0,S x

13、令令得得 0, 1 上的唯一駐點上的唯一駐點3,3x 3( )0,1,3xS x 因因此此是是在在上上的的唯唯一一極極小小點點3 ,3x 當當時時2 34 .33yx 即即為為22(1)2( ),43xS xx 2(1)2()Yxx Xx 第21頁/共87頁2021年8月28日23 )()(tytx 若曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程若曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程：baAy dx 則則( )( )tdt ，其中其中b )( ，a )( ( )( )tt dt 連連續(xù)續(xù)。其其中中給給出出)(),(,ttt )(tx 第22頁/共87頁2021年8月28日2433cos1(02 ) sinxaya 例例 ：求

14、求由由曲曲線線所所圍圍圖形的面積。圖形的面積。()由圖形的對稱性由圖形的對稱性,41AA axdyA01 3sina23 cos( sin )ad da42202sincos3 da)sin(sin364202 )221436522143(32 a.832aA ,3232a 222333()xya直直角角坐坐標標方方程程2 0yx1A 3cosax 令令a0第23頁/共87頁2021年8月28日25( ), rr求求由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線圍圍成成的圖形面積。的圖形面積。A )( rr ()由元素法：由元素法：任取任取, , d d面面則則相相應(yīng)應(yīng)的的小小曲曲邊邊扇扇形形的的),( r積近似地由半

15、徑為積近似地由半徑為的圓扇形的面積代替。的圓扇形的面積代替。中心角為中心角為 d即有即有 AdA.)(212 drr0 第24頁/共87頁2021年8月28日26A )(2 rr )(),(21 rrrr 求由兩條連續(xù)曲線求由兩條連續(xù)曲線圍成的圖形面積。圍成的圖形面積。與與 ,12AAA 221( )2rd 211( )2rd 22211( )( ).2Arrd )(1 rr r0第25頁/共87頁2021年8月28日2712 cosra 例例 ：求求由由所所圍圍圖圖形形的的面面積積。由直角坐標與極坐標的變換關(guān)系：由直角坐標與極坐標的變換關(guān)系：,sincos ryrx cos2ar xayx2

16、22 ,)(222ayax 為圓心在為圓心在(a, 0), 半徑為半徑為a 的圓的圓2aa同理同理 cos2ar 2aa sin2ar yx0yx0 第26頁/共87頁2021年8月28日28 cos2ar 22: drA)(212 222)cos2(21 da 2022cos4 da.221422aa 12 cosra 例例 ：求求由由所所圍圍圖圖形形的的面面積積。2aa cos2ar yx0 第27頁/共87頁2021年8月28日29xyoaa 一圓沿另一等圓一圓沿另一等圓外緣外緣無滑動地滾動，無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所動圓圓周上任一點所畫出的曲線。畫出的曲線。 ( (圓外旋輪線圓外

17、旋輪線) )觀察動點的運動觀察動點的運動第28頁/共87頁2021年8月28日30 xyoaa2a觀察動點的運動觀察動點的運動 心形線心形線 ( (圓外旋輪線圓外旋輪線) )第29頁/共87頁2021年8月28日31xyo2a0 2 0 r 2aP r 心形線心形線 ( (圓外旋輪線圓外旋輪線) )第30頁/共87頁2021年8月28日322a0 2 0 r 2aP rxyoa 心形線心形線 ( (圓外旋輪線圓外旋輪線) )第31頁/共87頁2021年8月28日33xyo22301(1cos )2d A =r = 1+ cos 3r = 3cos 積。積。的圖形的公共部分的面的圖形的公共部分的

18、面分別所圍成分別所圍成及及求曲線求曲線rr cos1cos3 由由得得3 5.4 2231(3cos )2d 23 cos1cos3 第32頁/共87頁2021年8月28日34內(nèi)部的面積。內(nèi)部的面積。所圍且在圓周所圍且在圓周求由雙紐線求由雙紐線例例 2)()(. 3222222222ayxyxayx ar cos21 ()262a 由對稱性由對稱性雙紐線化成極坐標雙紐線化成極坐標2)2316(a 令令 r = 0, k k,2ar 令令 2cos21246da A = 4+0 xya a6 4 第33頁/共87頁2021年8月28日35習(xí)題習(xí)題 6 2(A)3(3, 5, 7), 8習(xí)題習(xí)題

19、6 2(B)1(1, 3), 2第34頁/共87頁2021年8月28日36由一平面圖形繞這平面內(nèi)的一條直線由一平面圖形繞這平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。此直線稱為對旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。此直線稱為對稱軸。稱軸。如：如： 圓柱、圓柱、 圓錐、圓錐、 圓臺、圓臺、 圓球、圓球、第35頁/共87頁2021年8月28日37xf(x)ab 0,),(軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞曲邊梯形曲邊梯形xybxaxxfy 第36頁/共87頁2021年8月28日38xf(x)abx111111111 )(xA2( )fx 2( )bafx d x V =( )dVA x dx x+dx2( )fx dx 0,),(軸旋轉(zhuǎn)軸

20、旋轉(zhuǎn)繞繞曲邊梯形曲邊梯形xybxaxxfy 第37頁/共87頁2021年8月28日39x=g(y)yx0cd( ),0 xg yyc yd xy曲曲邊邊梯梯形形繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)第38頁/共87頁2021年8月28日40 x=g(y)yx0cd( ),0 xg yyc yd xy曲曲邊邊梯梯形形繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)第39頁/共87頁2021年8月28日41x=g(y)yx0cd( )dVA y dy ( )A y 2( )dcVgy dy 2( )gy dyyg)(2 yy+dy( ),0 xg yyc yd xy曲曲邊邊梯梯形形繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)第40頁/共87頁2021年8月28日42abf (x

21、)yx0 xdx在在a,b上上,0, 0)(baxf 且且( ),0 yf xxya xb y 曲曲邊邊梯梯形形繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)第41頁/共87頁2021年8月28日43xabyx02( )x f x dx dV = 2 x f (x)dxf (x)( ),0 yf xxya xb y 曲曲邊邊梯梯形形繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)第42頁/共87頁2021年8月28日44byx0adV = 2 x f (x)dxf (x) ( ),0 yf xxya xb y 曲曲邊邊梯梯形形繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)第43頁/共87頁2021年8月28日45byx0af (x) dV = 2 x f (x)dx( ),0 yf

22、xxya xb y 曲曲邊邊梯梯形形繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)第44頁/共87頁2021年8月28日460y0 xbxadxf (x) dV = 2 x f (x)dx( ),0 yf xxya xb y 曲曲邊邊梯梯形形繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)第45頁/共87頁2021年8月28日47f (x)Yx0bdx0yz2( )baVx f x dx a dV = 2 x f (x)dx( ),0 yf xxya xb y 曲曲邊邊梯梯形形繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)第46頁/共87頁2021年8月28日48例例1：所圍圖形所圍圖形曲線曲線求由求由0,2, yxxy繞繞 x 軸與軸與 y 軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積

23、。xy022(1) 繞繞 x 軸軸：xdydV2 xdx xdxV 20 .2 (2) 繞繞 y 軸軸：為中空立體，為中空立體，法法1：的圓柱體體積的圓柱體體積，高為，高為底半徑為底半徑為22 V222 V.5216 曲邊三角形繞曲邊三角形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積ydy2220)( 第47頁/共87頁2021年8月28日4922dx法法2：xdxfxVba)(2 .5216 xxfy )(xdxx 202 xy0第48頁/共87頁2021年8月28日50軸所圍圖軸所圍圖及及表示表示xtxxfytV)0(, )()( )(xfy 在在 x0 時為連續(xù)的非負函數(shù)時為連續(xù)的非負函

24、數(shù), 且且 ,0)0( f形繞直線形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積, 證明證明:. )(2)(tftV 證證:xtdxx 利用柱殼法利用柱殼法dxxfxtdV)()(2 則則dxxfxttVt)()(2)(0 dxxftt)(20 dxxfxt)(20 dxxftVt)(2)(0 )(2tft )(2tft )(2)(tftV 故故dxxft)(20 )(xfxoy第49頁/共87頁2021年8月28日51設(shè)平面圖形設(shè)平面圖形 D 由由xyxyx 與與222確定確定, 求求 D 繞直線繞直線 x = 2 旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。02軸，軸，y

25、x/2 為積分變量。為積分變量。取取 yxyx222 211yx , 1, 0, dyyy取取ydyydV)2()11(222 1xyD.y第50頁/共87頁2021年8月28日52ydyydV)2()11(222 222 1(1) yyd y 12202 1(1) Vyyd y )1()1(12210102ydyydy 2 4 103)1(31y .3222 第51頁/共87頁2021年8月28日53。軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積繞繞求曲線求曲線xxxy21 21limxxx0，為水平漸近線為水平漸近線0 yxy0設(shè)設(shè) b 0,bV(b)xdxxbVb220)1()( )(lim

26、bVVb .2 )111(22b 第52頁/共87頁2021年8月28日54xA(x)dV=A(x)dxx baxdxAV)(aVb第53頁/共87頁2021年8月28日55同理同理: : 若立體由曲面及若立體由曲面及垂直于垂直于y 軸的兩個平面軸的兩個平面 y = c, y = d 所圍所圍，且垂直于且垂直于 y 軸的任一截面軸的任一截面面積為一已知連續(xù)函數(shù)面積為一已知連續(xù)函數(shù) A(y)，,dcy 則立體的體積：則立體的體積：.)( dcydyAV第54頁/共87頁2021年8月28日56半徑為半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ( 是是銳角銳角

27、)角的角的平面所截，平面所截，得一圓柱楔得一圓柱楔。求其體積求其體積。22xRy oxy第55頁/共87頁2021年8月28日57oyRxRR半徑為半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ( 是是銳角銳角)角的角的平面所截，平面所截，得一圓柱楔得一圓柱楔。求其體積求其體積。第56頁/共87頁2021年8月28日58oyRxxy22xR 221()tan2RRRxd x 32tan .3R ( )RRVA x dx RR221()tan ,2Rx y tan (x, y)截面積截面積A(x)半徑為半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成的正圓柱體被通

28、過其底的直徑并與底面成 ( 是是銳角銳角)角的角的平面所截，平面所截，得一圓柱楔得一圓柱楔。求其體積求其體積。第57頁/共87頁2021年8月28日59oyRxRR 半徑為半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ( 是是銳角銳角)角的角的平面所截，平面所截，得一圓柱楔得一圓柱楔。求其體積求其體積。第58頁/共87頁2021年8月28日60oyRxRR ABCD BC222tan ,y Ry DC222yR 2202tanRy Ryd y 32tan .3R 0( )RVS y dy 截面積截面積 S(y) (x, y)= 2x = ytan S(y)半

29、徑為半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ( 是是銳角銳角)角的角的平面所截，平面所截，得一圓柱楔得一圓柱楔。求其體積求其體積。第59頁/共87頁2021年8月28日61習(xí)題習(xí)題 6 2(A)13(2, 5), 14, 17習(xí)題習(xí)題 6 2(B)4, 7第60頁/共87頁2021年8月28日62定義：定義：若在弧若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線上任意作內(nèi)接折線,0M 1 iMiMnM AByox當折線段的當折線段的最大邊長最大邊長 0 時時, 折線的長度趨向于一個確定的折線的長度趨向于一個確定的極限極限, 則稱此極限為曲線弧則稱此極限為曲線弧 AB即即

30、并稱此并稱此曲線弧為可求長的曲線弧為可求長的。定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的。任意光滑曲線弧都是可求長的。 ni 10lim s的弧長的弧長,iiMM1 第61頁/共87頁2021年8月28日63設(shè)設(shè) y = f (x) 在在 a, b 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在曲線上取基點在曲線上取基點 M0(x0, y0),設(shè)設(shè) M(x, y) 為曲線上任一點為曲線上任一點，xy0M0 .x0M .x依依 x 增大的方向作為曲增大的方向作為曲線的正向線的正向。ab有向弧段有向弧段 M0M 的值的值 s 為為：s 的絕對值等于這弧段的長度的絕對值等于這弧段的長度，當有向弧段的方向當有向弧段的方向與

31、曲線的正向一致時與曲線的正向一致時，s 0; 否則否則 s 0。 第62頁/共87頁2021年8月28日64s 隨隨 x 的增大而增大的增大而增大, s = s(x) 是是 x 的單調(diào)的單調(diào)增加函數(shù)。增加函數(shù)。22)()(dydxds 顯然顯然 s 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)，即即 s = s(x)。任取任取,baxxx 在第一學(xué)期中已有相對應(yīng)的一小段弧長的計算在第一學(xué)期中已有相對應(yīng)的一小段弧長的計算公式為：公式為：第63頁/共87頁2021年8月28日65當曲線是用參數(shù)方程當曲線是用參數(shù)方程當曲線方程為當曲線方程為 ，連續(xù)并不全為零時，連續(xù)并不全為零時，且且)(),(tt 當曲線用極坐標方程當曲

32、線用極坐標方程連續(xù)時，連續(xù)時，表示，且表示，且)( y 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),第64頁/共87頁2021年8月28日66設(shè)設(shè)光滑光滑曲線曲線 y = f (x), 計算曲線上相應(yīng)于計算曲線上相應(yīng)于x 從從 a 到到 b 的一段弧長的一段弧長。 y = f (x) 具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，xdysd21 第65頁/共87頁2021年8月28日67表示，表示，設(shè)曲線由參數(shù)方程設(shè)曲線由參數(shù)方程)()()( ttytx，連連續(xù)續(xù)，且且曲曲線線上上無無重重點點)(),(tt ,)()(22tdttsd 則則連續(xù)，連續(xù)，且且，設(shè)曲線設(shè)曲線)()()( 第66頁/共87頁2021年8月28日683

33、2)1( xy求曲線求曲線之間的一段弧長。之間的一段弧長。與與在點在點)8, 5()0, 1( BA( ),)1(3 xy,123 xyxdysd21 ,5921xdx xdxs592151 AB)81080(271 xy 150第67頁/共87頁2021年8月28日69( ,0),(0, )A aBa 是是星星形形線線上的兩點，上的兩點，2, 0,sin,cos33 ttaytax試在星形線上求一點試在星形線上求一點 M，使使1.4AMAB AB. M,0ttM 點對應(yīng)點對應(yīng)設(shè)設(shè))(0tt tdtytxsd)()(22 tdttacossin3 )0( t)2( ttdtta 20cossi

34、n3 tdttat 00cossin3,23a ,sin2302ta xy0ABAM第68頁/共87頁2021年8月28日7002sin23ta即由即由)23(41a 41sin02 t,21sin0 t, 2, 0 t.60 t時，時，當當60 t,81,833ayax . )81,833(aaM所求點為所求點為,23a ,sin2302ta 因為因為ABAM1.4AMAB 第69頁/共87頁2021年8月28日71的全長。的全長。求曲線求曲線tdtyx 2cos 曲線方程為積分上限函數(shù)曲線方程為積分上限函數(shù) y = f (x),cos xy xdxxdysdcos112 ，的定義域為的定義

35、域為22 xy存存在在且且連連續(xù)續(xù)，y xdxs 22cos1 2021cos x dx .4 xdx 202cos22 第70頁/共87頁2021年8月28日72設(shè)平面光滑曲線設(shè)平面光滑曲線),(xfy 上的圓臺的側(cè)面積上的圓臺的側(cè)面積位于位于,dxxx sdydS 2 積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xdxfxfSba)(1)(22 ,0)(baxxf 且且求它繞求它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.取面積元素取面積元素: :)(2xf xdxf)(12 xyoabxyoab)(xfy abx第71頁/共87頁2021年8月28日73xy

36、o)(xfy abxsdydS 2 面積元素面積元素xdy 2dsdxxdy 2因為因為的線性主部。的線性主部。若光滑曲線由參數(shù)方程若光滑曲線由參數(shù)方程)()()( ttytx給出，給出，則它繞則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得軸旋轉(zhuǎn)一周所得不是薄片面積不是薄片面積S 的的 )(2t tdtt)()(22 S旋轉(zhuǎn)面的旋轉(zhuǎn)面的面積為面積為xdxfxfSba)(1)(22 第72頁/共87頁2021年8月28日74xRyo上一上一在在,21222RRxxxRyx 段繞段繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積 S .解解:,2122xxxxRy 應(yīng)用公式得應(yīng)用公式得 212xxS

37、22xR 2 1 22xRx dx 212xxdxR )(212xxR 當球臺高當球臺高 h2R 時時, 得得24RS 1x2xozyx 對曲線弧對曲線弧球的表面積公式球的表面積公式hxdxfxfSba)(1)(22 第73頁/共87頁2021年8月28日75一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解解:32222202 2sin( 3 cossin )(3 sincos )Satattattdt 2042cossin12 tdtta2512a 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) taytax33sin,cos 利用對稱性利用對稱性0yx)(2t tdtt)()(22 S第74頁/共87頁

38、2021年8月28日76習(xí)題習(xí)題 6 2(B) 9, 11第75頁/共87頁2021年8月28日77第76頁/共87頁2021年8月28日78已知物體沿直線運動時，已知物體沿直線運動時，若有一不變的力若有一不變的力 F作用在這物體上，且力的方向與運動方向一作用在這物體上，且力的方向與運動方向一致致，則當物體移動了距離則當物體移動了距離 s 時時，力力 F 對這物對這物體所作的功是：體所作的功是： 若力為變力若力為變力F(x), 但方向不變但方向不變,則由定積分則由定積分 baxdxFW)(。W = F s定義引例知，定義引例知，第77頁/共87頁2021年8月28日79求變力求變力 F(x)

39、將物體從將物體從 x = a 移動到移動到 x = b 所作的功所作的功 ( F(x)為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù) )。x.分割分割 a, b, ,badxxx 任取任取dx 很小很小, 則在這小區(qū)間上作用的力則在這小區(qū)間上作用的力 F(x) 可近似看可近似看成常力，成常力，以左端點以左端點 x 處的力處的力 F(x) 近似代替，又知近似代替，又知則變力則變力 F(x) 將物體從將物體從 x 移動到移動到xdxFdW)( )(xFx+dx.移動距離為移動距離為 dx，abx+dx 所作的功為：所作的功為：x.第78頁/共87頁2021年8月28日80已知把彈簧拉長所需的力與彈簧的伸長成正已知把彈簧拉長

40、所需的力與彈簧的伸長成正比比，又又 1 牛頓的力能使彈簧伸長牛頓的力能使彈簧伸長 1 cm，求把彈簧伸求把彈簧伸長長 10 cm 所作的功所作的功。x0取彈簧平衡取彈簧平衡位置為原點位置為原點，伸長方向為伸長方向為 x 軸軸,由題意，由題意，,)(xkxF , 1)01. 0( F又又01. 01 k即即,100 k. )1 . 00(100)( xxxF,100)(xdxxdxFdW xdxW0011 . 00 5 . 0 (牛頓牛頓米米)如圖建立坐標系。如圖建立坐標系。第79頁/共87頁2021年8月28日81一等腰三角形水槽（如圖）內(nèi)裝滿了水，一等腰三角形水槽（如圖）內(nèi)裝滿了水，若要將水完全吸盡，需作多少功？若要將水完全吸盡，需作多少功？3 m20