向量及相關性東華大學ppt課件

1、定義定義1 1 . , 21個個分分量量稱稱為為第第個個數(shù)數(shù)第第個個分分量量，個個數(shù)數(shù)稱稱為為該該向向量量的的維維向向量量，這這組組稱稱為為所所組組成成的的數(shù)數(shù)個個有有次次序序的的數(shù)數(shù)iainnnaaanin分量全為復數(shù)的向量稱為復向量分量全為復數(shù)的向量稱為復向量. .分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，n例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n維實向量維實向量n維復向量維復向量第第1個分量個分量第第n個分量個分量第第2個分量個分量),(21nTaaaa naaaa21 維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行維向量寫成一行，稱為行向量，也就

2、是行矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： TTTTba,n 維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： ,bann留意留意行向量和列向量總被看作是兩個不同的行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；向量；行向量和列向量都按照矩陣的運算法那么行向量和列向量都按照矩陣的運算法那么進展運算；進展運算；向量向量)3( n解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的實數(shù)組成的數(shù)組有次序的實數(shù)組成的數(shù)組幾何籠統(tǒng)：可隨意幾何籠統(tǒng)：可隨意平行挪動的有向線段平行挪動的有向線段代數(shù)籠統(tǒng)：向量

3、的代數(shù)籠統(tǒng)：向量的坐標表示式坐標表示式),(21nTaaaa 空間空間)3( n解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)點空間：點的集合點空間：點的集合向量空間：向量的集合向量空間：向量的集合代數(shù)籠統(tǒng)：向量空代數(shù)籠統(tǒng)：向量空間中的平面間中的平面 dczbyaxzyxrT ),(幾何籠統(tǒng)：空間幾何籠統(tǒng)：空間直線、曲線、空間直線、曲線、空間平面或曲面平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP),(zyxrT 一一對應一一對應 RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnT 221121),( 叫做叫做 維向量空間維向量空間n 時，時， 維向量沒有直觀的幾何籠統(tǒng)維向

4、量沒有直觀的幾何籠統(tǒng)n3 n叫做叫做 維向量空間維向量空間 中的中的 維超平面維超平面Rnn1 n 假設干個同維數(shù)的列向量或同維數(shù)的行向量所組成的集合叫做向量組例如例如維維列列向向量量個個有有矩矩陣陣mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的的列列向向量量組組稱稱為為矩矩陣陣向向量量組組Aa1a2ana2ajana1a2ajan維行向量維行向量個個又有又有矩陣矩陣類似地類似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量

5、組向量組 , , ， 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組 T1 T2 Tm 反之，由有限個向量所組成的向量組可以構反之，由有限個向量所組成的向量組可以構成一個矩陣成一個矩陣.矩矩陣陣構構成成一一個個組組維維列列向向量量所所組組成成的的向向量量個個nmnmm , 21 矩陣矩陣構成一個構成一個的向量組的向量組維行向量所組成維行向量所組成個個nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA b xaxaxann2211線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程組與增廣矩陣

6、的列向量組之間一一對應方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應，組組實實數(shù)數(shù)，對對于于任任何何一一給給定定向向量量組組mmkkkA,: 2121 定義定義., 21個個線線性性組組合合的的系系數(shù)數(shù)稱稱為為這這，mkkk，稱稱為為向向量量組組的的一一個個向向量量 2211mmkkk 線性組合線性組合mmb 2211，使，使，一組數(shù)一組數(shù)如果存在如果存在和向量和向量給定向量組給定向量組mmbA ,: 2121. 2211有有解解即即線線性性方方程程組組bxxxmm 的線性組合，這時稱的線性組合，這時稱是向量組是向量組則向量則向量Ab 向量向量 能能由向量組由向量組 線性表示線性表示bA.),(),(

7、 2121的秩的秩，的秩等于矩陣的秩等于矩陣，條件是矩陣條件是矩陣線性表示的充分必要線性表示的充分必要能由向量組能由向量組向量向量bBAAbmm 定理定理1 1定義定義 . .,:,: 2121這兩個這兩個能相互線性表示，則稱能相互線性表示，則稱量組量組與向與向若向量組若向量組稱稱線性表示，則線性表示，則向量組向量組組中的每個向量都能由組中的每個向量都能由若若及及設有兩個向量組設有兩個向量組BAABBAsm 向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示線性表示向量組等價向量組等價BA使使在數(shù)在數(shù)存存量量線性表示，即對每個向線性表示，即對每個向能由能由（和和（若記若記,), 2 , 1().,)

8、,212121mjjjjsmkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （ ),21sbbb（從而從而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （ . )(數(shù)數(shù)矩矩陣陣稱稱為為這這一一線線性性表表示示的的系系矩矩陣陣ijsmkK 矩矩陣陣：為為這這一一表表示示的的系系數(shù)數(shù)的的列列向向量量組組線線性性表表示示，矩矩陣陣的的列列向向量量組組能能由由，則則矩矩陣陣若若BACBACnssmnm snssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),), （ TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2

9、121222211121121：為為這這一一表表示示的的系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的行行向向量量組組線線性性表表示示的的行行向向量量組組能能由由同同時時，ABC,. . 的的行行向向量量組組等等價價的的行行向向量量組組與與于于是是的的行行向向量量組組線線性性表表示示，的的行行向向量量組組能能由由可可知知，由由初初等等變變換換可可逆逆性性的的行行向向量量組組線線性性表表示示組組能能由由的的行行向向量量，即即的的行行向向量量組組的的線線性性組組合合向向量量都都是是的的每每個個行行，則則經(jīng)經(jīng)初初等等行行變變換換變變成成設設矩矩陣陣BABAABABBA.的列向量組等價的列向量組等價列向量組與列向量組與的的，則

10、，則經(jīng)初等列變換變成經(jīng)初等列變換變成類似，若矩陣類似，若矩陣BABA . 價的方程組一定同解價的方程組一定同解這兩個方程組等價，等這兩個方程組等價，等能相互線性表示，就稱能相互線性表示，就稱與方程組與方程組的解；若方程組的解；若方程組的解一定是方程組的解一定是方程組線性表示，這時方程組線性表示，這時方程組能由方程組能由方程組稱方程組稱方程組的線性組合，就的線性組合，就的每個方程都是方程組的每個方程都是方程組程組程組的一個線性組合；若方的一個線性組合；若方一個方程就稱為方程組一個方程就稱為方程組所得到的所得到的的各個方程做線性運算的各個方程做線性運算對方程組對方程組BABAABABAA0 ,:

11、22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組留意留意.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有時時則則只只有有當當線線性性無無關關若若 nnnn ., 2. 線線性性相相關關性性無無關關就就是是不不是是線線對對于于任任一一向向量量組組定義定義那么稱向量組那么稱向量組 是線性相關的，否那么稱它線性無關是線性相關的，否那么稱它線性無關A., 0, 0, 3. 線線性性無無關關則則說說若若線線性性相相關關則則說說若若時時向向量量組組只只包包含含一一個個向向量量 .4. 組組是是線線性性相相關關的的包包含含零零向向量量的的任任何何向

12、向量量.,. 5 量共面量共面向向量相關的幾何意義是三量相關的幾何意義是三是兩向量共線；三個向是兩向量共線；三個向義義量對應成比例，幾何意量對應成比例，幾何意充要條件是兩向量的分充要條件是兩向量的分它線性相關的它線性相關的量組量組對于含有兩個向量的向對于含有兩個向量的向定理向量組定理向量組 當當 時線性相關時線性相關的充分必要條件是的充分必要條件是 中至少有一個向中至少有一個向量可由其他量可由其他 個向量線性表示個向量線性表示m ,212 mm ,211 m證明證明 充分性充分性 設設 中有一個向量比如中有一個向量比如 能由其他向量線性表示能由其他向量線性表示.maaa,21ma即有即有112

13、211 mmma 故故 01112211 mmma 因因 這這 個數(shù)不全為個數(shù)不全為0， 1,121 m m故故 線性相關線性相關.m ,21必要性必要性設設 線性相關，線性相關，m ,21那么有不全為那么有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一個不為中至少有一個不為0，mkkk,21無妨設那么有無妨設那么有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其他向量線性表示能由其他向量線性表示.1 證畢證畢. 性性獨獨立立）線線個個方方程程）線線性性無無關關（或或程程，就就稱稱該該方方程程組組（各各方方；當當方方程程組組中中沒沒有有多多余余個個

14、方方程程）是是線線性性相相關關的的各各余余的的，這這時時稱稱方方程程組組（合合時時，這這個個方方程程就就是是多多是是其其余余方方程程的的線線性性組組若若方方程程組組中中有有某某個個方方程程線性相關性在線性方程組中的運用線性相關性在線性方程組中的運用).,( .0 A, 0 212211mmmAxxxxA 其中其中有非零解有非零解即即方程組方程組線性相關就是齊次線性線性相關就是齊次線性向量組向量組結論結論.)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要條條件件是是向向量量組組線線性性無無關關的的充充分分于于向向量量個個數(shù)數(shù)的的秩秩小小矩矩陣陣條條件件是是它它所所構構成成的的線線性性相相關關

15、的的充充分分必必要要向向量量組組 定理定理2 2下面舉例闡明定理的運用下面舉例闡明定理的運用.證明略證明略維維向向量量組組n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,討討論論其其線線性性相相關關性性維維單單位位坐坐標標向向量量組組稱稱為為n解解.),( 21階單位矩陣階單位矩陣是是的矩陣的矩陣維單位坐標向量組構成維單位坐標向量組構成neeeEnn .)(01 nERE ，知知由由.2)(向向量量組組是是線線性性無無關關的的知知此此，故故由由定定理理等等于于向向量量組組中中向向量量個個數(shù)數(shù)即即ER例例， 742520111321 .21321的的線線性

16、性相相關關性性，及及，試試討討論論向向量量組組 解解.2, 21321321即即可可得得出出結結論論）的的秩秩，利利用用定定理理，及及（），可可同同時時看看出出矩矩陣陣（成成行行階階梯梯形形矩矩陣陣），施施行行初初等等行行變變換換變變，對對矩矩陣陣（ 已知已知例例分析分析 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321線線性性無無關關向向量量組組線線性性相相關關；，向向量量組組可可見見 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201. , , 321133322211321線線性性無無關關試試證證線線性性

17、無無關關已已知知向向量量組組bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使設有設有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即線性無關，故有線性無關，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx證證02110011101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行., 0 321321線線性性無無關關向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解bbbxxx . ,. ,: , (1) 1121也線性無關也線性無關向量組向量組則則線性無關線性無關量組量組若向若向反言之

18、反言之也線性相關也線性相關向量組向量組則則線性相關線性相關：向量組向量組若若ABBAmmm 定理定理3 3）設設（2 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj .,.,.2121性相關性相關也線也線則向量組則向量組線性相關線性相關反言之，若向量組反言之，若向量組關關也線性無也線性無：則向量組則向量組線性無關線性無關：若向量組若向量組添上一個分量后得向量添上一個分量后得向量即即ABbbbBAbmmjj . 3 時一定線性相關時一定線性相關于向量個數(shù)于向量個數(shù)小小當維數(shù)當維數(shù)維向量組成的向量組，維向量組成的向量組，個個）（mnnm.,:,: (4) 121且且表

19、表示示式式是是唯唯一一的的線線性性表表示示必必能能由由向向量量組組向向量量則則線線性性相相關關組組而而向向量量線線性性無無關關設設向向量量組組AbbBAmm .2, 11)()()(2,. 1)()(),(),( 1 111線線性性相相關關知知向向量量組組根根據(jù)據(jù)定定理理因因此此，從從而而，有有則則根根據(jù)據(jù)定定理理線線性性相相關關若若向向量量組組，有有記記）（BmARBRmARAARBRaaaBaaAmmm 證明證明.:1 關關的任何部分組都線性無的任何部分組都線性無向量組線性無關，則它向量組線性無關，則它反之，若一個反之，若一個線性相關線性相關含有零向量的向量組必含有零向量的向量組必特別地，

20、特別地，量組線性相關量組線性相關相關的部分組，則該向相關的部分組，則該向一個向量組若有線性一個向量組若有線性）可推廣為）可推廣為結論（結論（闡明闡明列列），只只有有因因但但從從而而有有，則則線線性性無無關關若若向向量量組組有有，）記記（mBmBRmBRmARABRARbbBAmmrmmr()(.)()(,).()(),(),(2 1)1(1 .B)(線性無關線性無關，因此向量組，因此向量組故故mBR .,12 結結論論也也成成立立個個分分量量維維）而而言言的的，若若增增加加多多即即維維數(shù)數(shù)增增加加）是是對對增增加加一一個個分分量量（結結論論（闡明闡明.,)(,.)(),(,3 212121線線性性相相關關個個向向量量故故則則若若，有有構構成成