熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡態(tài)和物態(tài)方程

1、1第一章 熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡態(tài)和物態(tài)方程1.1 設(shè)一定體氣體溫度計(jì)是按攝氏溫標(biāo)刻度的，它在0.1013MPa下的冰點(diǎn)及水的沸點(diǎn)時(shí)的壓強(qiáng)分別為0.0405MPa和0.0553MPa,試問(wèn)(1)當(dāng)氣體的壓強(qiáng)為0.0101MPa時(shí)的待測(cè)溫度是多少？(2)當(dāng)溫度計(jì)在沸騰的硫中時(shí)（0.1013MPa下硫的沸點(diǎn)為444.5），氣體的壓強(qiáng)是多少？（答案：（1）-204.66；（2）1.06105Nm-2）1.2 水銀氣壓計(jì)A中混進(jìn)了一個(gè)空氣泡，因此它的讀數(shù)比實(shí)際的氣壓小，當(dāng)精確的氣壓計(jì)的讀數(shù)為0.102MPa時(shí)，它的讀數(shù)只有0.0997MPa，此時(shí)管內(nèi)水銀面到管頂?shù)木嚯x為80 mm。問(wèn)當(dāng)此氣壓計(jì)的讀數(shù)為0.0

2、978MPa時(shí)，實(shí)際氣壓應(yīng)是多少？設(shè)空氣的溫度保持不變。（答案：1.0105Nm-2）1.3 一抽氣機(jī)轉(zhuǎn)速（即轉(zhuǎn)/分），抽氣機(jī)每分鐘能抽出氣體20 l(升)。設(shè)容器的容積V2.0 l，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后才能使容器內(nèi)的壓強(qiáng)由0.101MPa降為133Pa。設(shè)抽氣過(guò)程中溫度始終不變。（答案：40s）1.4 兩個(gè)貯存著空氣的容器A和B，以備有活塞之細(xì)管相連接。容器A浸入溫度為的水槽中，容器B浸入溫度為的冷卻劑中。開(kāi)始時(shí)，兩容器被細(xì)管中之活塞分隔開(kāi)，這時(shí)容器A及B中空氣的壓強(qiáng)分別為p1O.0533MPa，p2O.0200MPa，體積分別為V10.25 l，V20.40 l.試問(wèn)把活塞打開(kāi)后氣體的壓強(qiáng)是多

3、少?（答案：）1.5 一端開(kāi)口，橫截面積處處相等的長(zhǎng)管中充有壓強(qiáng)為p的空氣。先對(duì)管子加熱，使從開(kāi)口端溫度1000K均勻變?yōu)殚]端200K的溫度分布，然后把管子開(kāi)口端密封，再使整體溫度降為100K，試問(wèn)管中最后的壓強(qiáng)是多大？（答案：0.20p）1.6證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的體脹系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)，根據(jù)下述積分求得：如果，試求物態(tài)方程。1.7 張玉民47-1.121.8 描述金屬絲的幾何參量是長(zhǎng)度，力學(xué)參量是張力，物態(tài)方程是f (,L,T)=0實(shí)驗(yàn)通常在1Pa 下進(jìn)行，其體積變化可以忽略。線脹系數(shù)定義為，等溫楊氏模量定義為，其中A是金屬絲的截面積。一般來(lái)說(shuō)，和Y是

4、T的函數(shù)，對(duì) 僅有微弱的依賴關(guān)系。如果溫度變化范圍不大，可以看作常量。假設(shè)金屬絲兩端固定，試證明，當(dāng)溫度由T1降至T2 時(shí)，其張力的增加為1.9 張玉民46-1.11.10張玉民204-4.21.11張玉民204-4.41.12 把氧氣當(dāng)作范德瓦耳斯氣體，它的m6Pamol-2， m3mol-1，求密度為100kgm-3、壓強(qiáng)為10.1MPa時(shí)氧的溫度，并把結(jié)果與氧當(dāng)作理想氣體時(shí)的結(jié)果作比較。（答案：396K；389K）1.13 把標(biāo)準(zhǔn)狀況下22.4 l的氮?dú)獠粩鄩嚎s，它的體積將趨于多大？計(jì)算氮分子直徑。此時(shí)分子產(chǎn)生的內(nèi)壓強(qiáng)約為多大？已知氮?dú)獾姆兜峦叨狗匠讨械某?shù)m6Pamol-2， m3m

5、ol-1。（答案：0.039310-3m3；3.110-10m；90MPa）第二章 熱力學(xué)第一定律2.1 一理想氣體做準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹，在任一瞬間壓強(qiáng)滿足，其中和都是常量，試證由狀態(tài)到狀態(tài)的過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)外界所作的功為2.2 某金屬在低溫下的摩爾定體熱容與溫度的關(guān)系為其中稱為德拜特征溫度，都是與材料性質(zhì)有關(guān)的常量。式中第一項(xiàng)是金屬中晶格振動(dòng)對(duì)摩爾定體熱容的貢獻(xiàn)，第二項(xiàng)是金屬中自由電子對(duì)摩爾定體熱容的貢獻(xiàn)。試問(wèn)該金屬的溫度由變?yōu)檫^(guò)程中，每摩爾有多少熱量被傳送?（答案：）2.3 已知范德瓦耳斯氣體物態(tài)方程為其內(nèi)能為其中a，b，c，d均為常量。試求（1）該氣體從等溫膨脹到時(shí)系統(tǒng)對(duì)外界所做的功；（2）該氣

6、體在定體下升高溫度所吸收的熱量。（答案：（1）；（2）2.4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，在0.1MPa、300K1200K范圍內(nèi)銅的摩爾定壓熱容為，其中Jmol-1K-1， Jmol-1K-2，試計(jì)算在0.1MPa下，溫度從300K增到1200K時(shí)銅的摩爾焓的改變。（答案： Jmol-1）2.5體積為的絕熱容器中充有壓強(qiáng)與外界標(biāo)淮大氣壓強(qiáng)相同的空氣，但容器壁有裂縫，試問(wèn)將容器從0緩慢加熱至20，氣體吸收熱量是多少，已知空氣的定壓比熱容為，空氣的摩爾質(zhì)量為，比熱容比。（答案：）2.6 用絕熱壁做成圓柱形的容器，在容器中間放置一無(wú)摩擦的、絕熱的可動(dòng)活塞，活塞兩側(cè)各有物質(zhì)的量為 (以mol為單位)的理想氣體。設(shè)

7、兩側(cè)氣體的初始狀態(tài)均為，氣體定體摩爾熱容為常量，。將一通電線圈放在活塞左側(cè)氣體中，對(duì)氣體緩慢加熱。左側(cè)氣體膨脹，同時(shí)通過(guò)活塞壓縮右方氣體，最后使右方氣體壓強(qiáng)增為。試問(wèn)：（1）對(duì)活塞右側(cè)氣體做了多少功，（2）右側(cè)氣體的終溫是多少?（3）左側(cè)氣體的終溫是多少，(4)左側(cè)氣體吸收了多少熱量？（答案：（1）；（2）；（3）；（4）2.7 滿足的方程成為多方方程，其中常數(shù)名為多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方過(guò)程中的熱容量 為2.8 室溫下有體積為、壓強(qiáng)為0.10MPa的氧氣，經(jīng)某多方過(guò)程膨脹到體積為、壓強(qiáng)為0.05MPa，試求多方指數(shù)、內(nèi)能變化、吸（或放）的熱量及所做的功。（答案：1.2；-63J；63

8、J；-126J）2.9 假設(shè)理想氣體的 和 之比 是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中和的關(guān)系。該關(guān)系式中藥用到一個(gè)函數(shù)F（T）,其表達(dá)式為（答案：）2.10 已知某種理想氣體在圖上的等溫線與絕熱線的斜率之比為0.714，現(xiàn)1mol該種理想氣體在圖上經(jīng)歷如題圖2-1所示的循環(huán)。試問(wèn)：(1)該氣體的是多少?(2)循環(huán)功是多少？(3)循環(huán)效率是多少?題圖2-1（答案：；）2.11 1mol單原子理想氣體經(jīng)歷如題圖2-2所示的可逆循環(huán)。其中聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)的曲線方程為，a點(diǎn)的溫度為 。試以，R表示：（1）在過(guò)程中傳輸?shù)臒崃?；?）此循環(huán)效率。題圖2-2（答案：（1）；（2）2.12理想氣體經(jīng)歷一卡諾循環(huán)，當(dāng)

9、熱源溫度為100、冷卻器溫度為0時(shí)，作凈功800J，今若維持冷卻器溫度不變，提高熱源溫度，使凈功增為，則這時(shí)（1）熱源的溫度為多少？（2）效率增大到多少？設(shè)這兩個(gè)循環(huán)都工作于相同的兩絕熱線之間。（答案：（1）473K；（2）42.3%）2.13用“理想熱泵從溫度為的河水中吸熱給某一建筑物供暖。設(shè)熱泵的輸入功率為，該建筑物的散熱率即單位時(shí)間內(nèi)向外散失的熱量為，其中為正的常量，為建筑物的室內(nèi)溫度。(1)試問(wèn)建筑物的平衡溫度是多少？（2）若把把熱泵換成一個(gè)功率同為的加熱器直接對(duì)建筑物加熱，其平衡溫度是多少?何種方法較為經(jīng)濟(jì)?（答案：（1）；（2）第三章 熱力學(xué)第二定律與熵1. 對(duì)于任何物質(zhì)，證明絕熱

10、線與等溫線不能相交于二點(diǎn)。2. 對(duì)于任何物質(zhì)，證明兩絕熱線不能相交。3. 如圖題3-1所示，圖中13為等溫線，14為絕熱線，12和43均為等壓線，23為等體線。1mol H2(理想氣體)在“1”點(diǎn)的狀態(tài)參量為,；在“3”點(diǎn)的狀態(tài)參量為，。試分別用如下三條路徑計(jì)算：（1）123；（2）13；（3）143。題圖3-1（答案： ）4. 如題圖3-2所示，一長(zhǎng)為0.8m的圓柱形容器被一薄的活塞分隔成兩部分。開(kāi)始時(shí)活塞固定在距左端0.3m處。活塞左邊充有1 mol壓強(qiáng)為Pa的氦氣，右邊充有壓強(qiáng)為Pa的氖氣，它們都是理想氣體。將氣缸浸入水中，開(kāi)始時(shí)整個(gè)物體系的溫度均勻地處于25。氣缸及活塞的熱容可不考慮。

11、放松以后振動(dòng)的活塞最后將位于新的平衡位置，試問(wèn)這時(shí)：（1）水溫升高多少？（2）活塞將靜止在距氣缸左邊多大距離位置？（3）物體系的總墑增加多少?題圖3-2 （答案：（1）不變；（2）；（3）5. 一直立的氣缸被活塞封閉有1mol理想氣體，活塞上裝有重物，活塞及重物的總質(zhì)量為，活塞面積為，重力加速度為，氣體的摩爾定體熱容，為常量?；钊c氣缸的熱容及活塞與氣缸間摩擦均可忽略，整個(gè)系統(tǒng)都是絕熱的。初始時(shí)活塞位置固定，氣體體積為，溫度為?；钊环潘珊髮⒄駝?dòng)起來(lái)，最后活塞靜止于具有較大體積的新的平衡位量，不考慮活塞外的環(huán)境壓強(qiáng)，試問(wèn)：（1）氣體的溫度是升高，降低，還是保持不變？（2）氣體的熵是增加，減少，

12、還是保持不變？（3）計(jì)算氣體的末態(tài)溫度。（答案：（1）降低；（2）增加；（3）6. 有一熱機(jī)循環(huán)，它在如題圖3-3所示的圖上可表示為其半長(zhǎng)軸和半短軸分別平行于軸及軸的橢圓。循環(huán)中熵的變化范圍為從到，的變化范圍為到。試求該熱機(jī)的效率。題圖3-3（答案：）7. 絕熱壁包圍的氣缸被一絕熱活塞外隔成A，B兩室。活塞在氣缸內(nèi)可無(wú)摩擦地自由滑動(dòng)。A，B內(nèi)各有1 mol雙原子分子理想氣體。初始時(shí)氣體處于平衡態(tài)，它們的壓強(qiáng)、體積、溫度分別為。A室中有一電加熱器使之徐徐加熱，直到A室中壓強(qiáng)變?yōu)?，試?wèn)：（1）最后A，B兩室內(nèi)氣體溫度分別是多少？（2）在加熱過(guò)程中，A室氣體對(duì)B室做了多少功？（3）加熱器傳給A室氣體

13、多少熱量？（4）A，B兩室的總熵變是多少？（答案：（1），；（2）；（3）；（4）8. 均勻桿的溫度一端為，另一端為 ，試計(jì)算達(dá)到均勻溫度后的熵增。（答案：第四章 均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)4.1 溫度維持為25，壓強(qiáng)在0至1000pn之間，測(cè)得水的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：若在25的恒溫下將水從1pn加壓到1000pn，求水的熵增和從外界吸收的熱量。（答案：；）4.2 已知在體積保持不變時(shí)，一氣體的壓強(qiáng)正比于其絕對(duì)溫度。試證明在溫度保持不變時(shí)，該氣體的熵隨體積增加而增加。4.3證明下列關(guān)系:(1) (2) (3) (4) (5) 4.4 求證： () ；（）.4.5 試證明在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱

14、膨脹中的溫度降落大于在節(jié)流過(guò)程中溫度降落。提示：證明4.6對(duì)系統(tǒng),證明： 其中 ， 分別代表等溫與絕熱壓縮系數(shù)。4.7設(shè)一物體的物態(tài)方程具有下列形式 證明其內(nèi)能與體積無(wú)關(guān)。4.8（1）證明，并由此導(dǎo)出（2）根據(jù)以上兩式證明，理想氣體的定容熱熔比和定壓熱容量只是溫度的函數(shù)。（3）證明范德瓦耳斯氣體的只是溫度的函數(shù)，與體積無(wú)關(guān)。4.9 證明理想氣體的摩爾自由能可以表為 4.10 試證明范氏氣體的摩爾定壓熱容量與定容熱容量之差為 4.11由測(cè)量一氣體的膨脹系數(shù)與等溫壓縮系數(shù)得 ，其中是摩爾體積，為常數(shù)，是壓強(qiáng)的函數(shù)。又已知在低壓下該氣體的定壓熱容。證明：（1）（2）物態(tài)方程為（3）4.12 計(jì)算熱輻

15、射在等溫過(guò)程中體積由變到時(shí)所吸收的熱量。（答案：）4.13 計(jì)算以熱輻射為工作物質(zhì)的卡諾循環(huán)的效率。（答案：）4.14 一均勻各向同性的順磁固體，忽略提交變化，并取單位體積。已知：（a）它滿足居里定律，即，（為正常數(shù)）；（b）（為正常數(shù)，不太低時(shí)）。（1）證明，亦即與無(wú)關(guān)；（2）求；（3）求以為獨(dú)立變量的熵的表達(dá)式；（4）求以為變量的可逆絕熱過(guò)程方程；（5）求等溫磁化過(guò)程（磁場(chǎng)從）吸收的熱量；（6）求絕熱去磁過(guò)程（磁場(chǎng)從）的溫度變化；（7）計(jì)算以此順磁固體為工作物質(zhì)的可逆卡諾循環(huán)的效率。（答案：（2）； （3） （4）（是常數(shù)）； （5）（放熱）； （6）。4.15 已知超導(dǎo)體的磁感應(yīng)強(qiáng)度，求

16、證：（1）與無(wú)關(guān)，只是的函數(shù)；（2）；（3）。第五章 相變5.1利用無(wú)窮小的變動(dòng)，導(dǎo)出下列各平衡判據(jù)(假設(shè)總粒子數(shù)不變，且)：（1）在及不變的情形下，平衡態(tài)的極大；（2）在及不變的情形下，平衡態(tài)的極?。唬?）在及不變的情形下，平衡態(tài)的極?。唬?）在及不變的情形下，平衡態(tài)的極大；（5）在及不變的情形下，平衡態(tài)的極?。唬?）在及不變的情形下，平衡態(tài)的極??；（7）在及不變的情形下，平衡態(tài)的極?。唬?）在及不變的情形下，平衡態(tài)的極小。5.2試由熵判據(jù)推證熱動(dòng)平衡的穩(wěn)定性條件： ， 5.3試由及證明及。5.4求證：（1） ；（2）；（3）5.5 兩相共存時(shí)，兩相系統(tǒng)的定壓熱容量，體脹系數(shù) 和等溫壓縮系數(shù)

17、均趨于無(wú)窮。試加以說(shuō)明。5.6 試證明在相變中物質(zhì)摩爾內(nèi)能的變化為 如果一相是氣相，可看作理想氣體，另一相是凝聚相，試將公式化簡(jiǎn)。5.7 在三相點(diǎn)附近，固態(tài)氨的蒸汽壓（單位為Pa）方程為： 液態(tài)氨的蒸汽壓方程為 試求氨三相點(diǎn)的溫度和壓強(qiáng)，氨的汽化熱、升華熱及在三相點(diǎn)的熔解熱。（答案：；）5.8 以表示在維持相與相兩相平衡的條件下，使相物質(zhì)升高所吸收熱量，稱為相的兩相平衡的熱容量。試證明： 如果相是蒸汽，可看作理想氣體，相是凝聚相，上式可化簡(jiǎn)為，并說(shuō)明為什么飽和蒸汽的熱容量有可能是負(fù)的。5.9 試證明，相變潛熱隨溫度的變化率為 如果相是氣相，相是凝聚相，試證明上式可簡(jiǎn)化為 。5.10 蒸汽與液相

18、達(dá)到平衡，以表示在維持兩相平衡的條件下，蒸汽體積隨溫度的變化率。試證明蒸氣的兩相平衡膨脹系數(shù)為 5.11 證明范德瓦耳斯氣體在的等溫線上的極小點(diǎn)與極大點(diǎn)的連線軌跡為 5.12 證明半徑為的肥皂泡的內(nèi)壓與外壓之差為。第六章 輸運(yùn)現(xiàn)象與非平衡態(tài)理論6.1 設(shè)一空心球的內(nèi)半徑為，溫度為，內(nèi)半徑為，溫度為，球內(nèi)熱傳導(dǎo)的速率恒定。則當(dāng)空心球的熱導(dǎo)率為時(shí)，內(nèi)外表面的溫度差是多少？（答案：）6.2 兩根金屬棒、尺寸相同，的導(dǎo)熱系數(shù)是的兩倍，用它們來(lái)導(dǎo)熱。設(shè)高溫處與低溫處的溫度保持恒定，求將、并聯(lián)使用和串聯(lián)使用時(shí)熱傳遞能量之比（設(shè)棒的側(cè)面是絕熱的）。（答案： ）6.3 一細(xì)金屬絲將一質(zhì)量為、半徑為的均質(zhì)圓盤(pán)沿

19、中心軸垂直吊住，盤(pán)能繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，盤(pán)面平行于一大的水平板，盤(pán)與平面間充滿了黏度為的液體。初始時(shí)盤(pán)以角速度旋轉(zhuǎn)，假定盤(pán)面與大水平板間距離為，且在任一豎直直線上的速度梯度都相等，試問(wèn)在秒時(shí)盤(pán)的旋轉(zhuǎn)角速度是多少？（答案：）6.4 若旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)（如圖6.5所示）中的內(nèi)、外筒半徑分別為和，且與相比不是很小，試問(wèn)當(dāng)懸絲扭轉(zhuǎn)力矩為、圓筒旋轉(zhuǎn)角速度為時(shí)所測(cè)得的流體的黏度是多少？（答案：）6.5 氣體的平均自由程可通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定?，F(xiàn)測(cè)得，壓強(qiáng)為時(shí)氬和氮的平均自由程分別為，試問(wèn)：（1）氮和氬的有效直徑是多少？（2），壓強(qiáng)為時(shí)的等于多少？（3），壓強(qiáng)為時(shí)的等于多少？（答案：（1）0.6；(2)4.9510-7m；(3

20、)2.1910-7m）6.6 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氦氣的黏度為，氬氣的黏度為，它們的摩爾質(zhì)量分別為和。試問(wèn)（1）氦原子的碰撞截面與氬原子的碰撞截面之比等于多少？（2）氦的熱導(dǎo)系數(shù)與氬的熱導(dǎo)系數(shù)之比等于多少？（3）氦的擴(kuò)散系數(shù)與氬的擴(kuò)散系數(shù)之比等于多少？（4）此時(shí)測(cè)得，用這些數(shù)據(jù)近似估算碰撞截面和。（答案：（1）；（2）；（3）；（4）1.010-21m，2.810-21m）6.7 某種氮原子氣體，摩爾質(zhì)量為，溫度為，壓強(qiáng)為。已知一個(gè)分子在行進(jìn)（單位為m）的路程中受碰撞的概率為，則該分子的平均自由程是多少？該氣體的黏度和熱傳導(dǎo)系數(shù)分別是多少（認(rèn)為分子是剛性的，分子直徑是）？（答案：；）6.8 杜瓦瓶夾

21、層的內(nèi)層外徑為10.0cm，外層內(nèi)徑為10.6cm，瓶?jī)?nèi)盛著冰水混合物，瓶外室溫為25。（1）如果夾層內(nèi)充有一個(gè)大氣壓的氮?dú)?，近似的估算由于氣體熱傳導(dǎo)所引起的、單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位高度杜瓦瓶流入的熱量。取氮分子有效直徑為。（2）要使熱傳導(dǎo)流入的熱量為（1）的答案的1/10，夾層中氣體的壓強(qiáng)需降低到多少？（答案：(1)1.4Wcm-1；(2)2.110-1Nm-2）第七章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 7.1 試證明：任體積內(nèi)，在的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為7.2試證明，對(duì)于一維自由粒子，在長(zhǎng)度內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為7.3 試證明，對(duì)于二維自由粒子，在面積內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)

22、數(shù)為 7.4 在極端相對(duì)論情形下，粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為。試求在體積內(nèi)，在的能量范圍內(nèi)三維粒子的量子態(tài)數(shù)。（答案：）7.5 設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為和。粒子間的相互作用很弱，可以看作是近似獨(dú)立的。假設(shè)粒子可以分辨，處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制。試證明，在平衡態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別為 和 其中和是兩種粒子的能級(jí)，和是能級(jí)的簡(jiǎn)并度。7.6 同上題，如果粒子是玻色子或費(fèi)米子，試分別寫(xiě)出平衡狀態(tài)下的兩種粒子的最概然分布。第八章 玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)8.1 試根據(jù)公式證明，對(duì)于非相對(duì)論粒子 , 有 上述結(jié)論對(duì)于玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立。8.2 根據(jù)公式證明，對(duì)于相對(duì)論粒子, 有

23、 上述結(jié)論對(duì)玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立。8.3 根據(jù)公式證明，對(duì)于能譜關(guān)系為()的粒子組成的維理想氣體，其內(nèi)能和壓強(qiáng)間存在關(guān)系 式中是維理想氣體的“體積”。上述結(jié)論對(duì)玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立。8.4 試證明，對(duì)于遵從玻耳茲曼分布的定域系統(tǒng)，熵函數(shù)可以表示為 ，式中是粒子處在量子態(tài)的概率，,是對(duì)粒子的所有量子態(tài)求和。 對(duì)于滿足經(jīng)典極限條件的非定域系統(tǒng)，熵的表達(dá)式有何不同?（答案：）8.5 固體含有、兩種原子，試證明由于原子在晶體格點(diǎn)的隨機(jī)分布起的混合熵為 其中是總原子數(shù)，是原子的百分比，是原子的百分比注意。上式給出的熵為正值。8.6 （1）對(duì)于三維非相對(duì)論理想氣體，粒子

24、能量的可能值為 ， 試由粒子的量子能級(jí)出發(fā)，求單原子分子的平動(dòng)配分函數(shù)。（2）由于粒子的平動(dòng)動(dòng)能總是連續(xù)的，試從粒子的態(tài)密度出發(fā)，求單原子分子的平動(dòng)配分函數(shù)。（答案：）8.7 考慮一極端相對(duì)論性理想氣體，粒子的靜止質(zhì)量可以忽略。粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為，其中為光速，粒子的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)已忽略。試求：（1）粒子的配分函數(shù)；（2）氣體的物態(tài)方程、內(nèi)能和熵；（3）可逆絕熱過(guò)程的過(guò)程方程。（答案：（1）；（2），；（3）=常數(shù)，式中）8.8考慮由能譜關(guān)系為(為一常數(shù)，)的粒子組成的維經(jīng)典理想氣體，（1）試求粒子的配分函數(shù)；（2）試求氣體的物態(tài)方程和內(nèi)能；（3）證明氣體的內(nèi)能和壓強(qiáng)間存在關(guān)系 式中是維理想氣體的“

25、體積”。（答案：（1），式中；（2），）8.9 表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運(yùn)動(dòng)，可以看作二維理想氣體。是寫(xiě)出在二維理想氣體中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率和方均根速率。（答案：；）8.10 試根據(jù)麥?zhǔn)纤俣确植悸蓪?dǎo)出兩分子的相對(duì)速度和相對(duì)速率的概率分布，并求相對(duì)速率的平均值。8.11 試證明，單位時(shí)間內(nèi)碰到單位面積器壁上，速率介于之間的分子數(shù)為 8.12 分子從器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率、方均根速率和平均能量。（答案：；）8.13已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達(dá)式為其中、是常數(shù)，求粒子的平均能量。（答案：）8.14 試求雙原子分子理想氣體的振動(dòng)熵

26、。（答案：）8.15 對(duì)于雙原子分子，常溫下kT遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)動(dòng)的能級(jí)間距。試求雙原子分子理想氣體的轉(zhuǎn)動(dòng)熵。（答案：）8.16 試求二維諧振子的配分函數(shù)及平均能量。（1）如果諧振子是經(jīng)典的；（2）如果諧振子是量子的，其能級(jí)和簡(jiǎn)并度分別為： （答案：（1），； （2），）第九章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)9.1 試證明，對(duì)于理想玻色或費(fèi)米系統(tǒng)， 9.2 試證明，理想玻色或費(fèi)米系統(tǒng)的熵可以表示為 其中為量子態(tài)上的平均粒子數(shù)，對(duì)粒子的所有量子態(tài)求和。并證明當(dāng)時(shí)，有 9.3 求弱簡(jiǎn)并理想費(fèi)米(玻色)氣體的壓強(qiáng)公式。（答案：）9.4 試證明一維和二維理想玻色氣體不存在玻色凝聚現(xiàn)象。9.5試根據(jù)普朗克公式求平衡輻射內(nèi)能密度按波長(zhǎng)的分布： 并據(jù)此證明，使輻射內(nèi)能