泰勒公式及其應(yīng)用 (畢業(yè)論文)

1、畢業(yè)論文題 目 泰勒公式及其應(yīng)用 學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) 所在院(系) 數(shù) 學(xué) 系 專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2006級(jí)4班 指導(dǎo)教師 完成地點(diǎn) 2010年 5月 30日泰勒公式及其應(yīng)用 摘 要 文章簡(jiǎn)要介紹了泰勒公式及其幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的展開(kāi)式,針對(duì)泰勒公式的應(yīng)用討論了九個(gè)問(wèn)題，即應(yīng)用泰勒公式求極限，證明不等式，判斷級(jí)數(shù)的斂散性，證明根的唯一存在性,判斷函數(shù)的極值,求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,進(jìn)行近似計(jì)算,求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值,求行列式的值.關(guān)鍵詞 泰勒公式；極限；不等式；斂散性；根的唯一存在性；極值;展開(kāi)式;近似計(jì)算;行列式. 引言泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容,它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示

2、為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù),這種化繁為簡(jiǎn)的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力杠桿.作者通過(guò)閱讀大量的參考文獻(xiàn),從中搜集了大量的習(xí)題,通過(guò)認(rèn)真演算,其中少數(shù)難度較大的題目之證明來(lái)自相應(yīng)的參考文獻(xiàn),并對(duì)這些應(yīng)用方法做了系統(tǒng)的歸納和總結(jié).由于本文的主要內(nèi)容是介紹應(yīng)用,所以,本文會(huì)以大量的例題進(jìn)行講解說(shuō)明. 預(yù)備知識(shí)定義2.1 若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù),則有 （1）這里為佩亞諾型余項(xiàng),稱(1)f在點(diǎn)的泰勒公式.當(dāng)=0時(shí),（1）式變成,稱此式為(帶有佩亞諾余項(xiàng)的)麥克勞林公式.定義2.2 若函數(shù) 在某鄰域內(nèi)為存在直至 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則, （2）這里為拉格朗日余項(xiàng),其中在與之間,稱（2）為在的泰勒公式.當(dāng)=0時(shí)

3、,（2）式變成稱此式為(帶有拉格朗日余項(xiàng)的)麥克勞林公式.常見(jiàn)函數(shù)的展開(kāi)式：.定理2.1(介值定理) 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),且 ,若為介于 與之間的任何實(shí)數(shù),則至少存在一點(diǎn),使得.3 泰勒公式的應(yīng)用3.1 利用泰勒公式求極限為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算,有時(shí)可用某項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式來(lái)代替該項(xiàng),使得原來(lái)函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理式的極限,就能簡(jiǎn)捷地求出.例3.1 求極限.分析：此為型極限,若用羅比達(dá)法求解，則很麻煩,這時(shí)可將和分別用泰勒展開(kāi)式代替,則可簡(jiǎn)化此比式.解 由,得,于是.3.2 利用泰勒公式證明不等式當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合物,不妨作一個(gè)輔助函數(shù)并用泰勒公式代替,往往使證

4、明方便簡(jiǎn)捷.例3.2 當(dāng)時(shí),證明.證明 取,則帶入泰勒公式,其中=3,得，其中.故當(dāng)時(shí),.3.3 利用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)的斂散性當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時(shí),往往利用泰勒公式將級(jí)數(shù)通項(xiàng)簡(jiǎn)化成統(tǒng)一形式,以便利用判斂準(zhǔn)則.例3.3 討論級(jí)數(shù)的斂散性.分析：直接根據(jù)通項(xiàng)去判斷該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù)還是非正向級(jí)數(shù)比較困難,因而也就無(wú)法恰當(dāng)選擇判斂方法,注意到,若將其泰勒展開(kāi)為的冪的形式,開(kāi)二次方后恰與相呼應(yīng),會(huì)使判斂容易進(jìn)行.解 因?yàn)?所以,所以故該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù).又因?yàn)?所以.因?yàn)槭諗?所以由正向級(jí)數(shù)比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂.3.4 利用泰勒公式證明根的唯一存在性例3.4 設(shè)f(x)在

5、上二階可導(dǎo),且,對(duì), 證明： 在內(nèi)存在唯一實(shí)根.分析：這里f(x)是抽象函數(shù),直接討論的根有困難,由題設(shè)f(x)在上二階可導(dǎo)且,可考慮將f(x)在a點(diǎn)展開(kāi)一階泰勒公式,然后設(shè)法應(yīng)用戒指定理證明.證明 因?yàn)?所以單調(diào)減少,又,因此xa時(shí),故f(x)在上嚴(yán)格單調(diào)減少.在a點(diǎn)展開(kāi)一階泰勒公式有由題設(shè),于是有,從而必存在,使得,又因?yàn)?在上應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在,使,由f(x)的嚴(yán)格單調(diào)性知唯一,因此方程在內(nèi)存在唯一實(shí)根.3.5 利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值例3.5 (極值的第二充分條件)設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo),在處二階可導(dǎo),且,.(i)若,則在取得極大值.(ii) 若,則在取得極小值.證明 由條

6、件，可得f在處的二階泰勒公式.由于,因此.(*)又因,故存在正數(shù),當(dāng)時(shí),與同號(hào).所以,當(dāng)時(shí),(*)式取負(fù)值,從而對(duì)任意有,即在取得極大值.同樣對(duì),可得在取得極小值.3.6 利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式利用基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,通過(guò)加減乘等運(yùn)算進(jìn)而可以求得一些較復(fù)雜的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.例3.6 求的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.解 利用泰勒公式3.7 利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計(jì)算式和一些數(shù)值的近似計(jì)算,利用麥克勞林展開(kāi)得到函數(shù)的近似計(jì)算式為,其誤差是余項(xiàng).例3.7 計(jì)算ln1.2的值,使誤差不超過(guò)0.0001解 先寫(xiě)出f(x)=ln(1+x)帶拉格朗日型余項(xiàng)的麥

7、克勞林展開(kāi)式：,其中（在0與x之間）.令,要使則取即可.因此當(dāng)要求的算式不能得出它的準(zhǔn)確值時(shí),即只能求出其近似值,這時(shí)泰勒公式是解決這種問(wèn)題的最好方法.例3.8 求的近似值,精確到.解 因?yàn)橹械谋环e函數(shù)是不可積的（即不能用初級(jí)函數(shù)表達(dá)）,現(xiàn)用泰勒公式的方法求的近似值.在的展開(kāi)式中以代替 x得逐項(xiàng)積分,得上式右端為一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù),由其余項(xiàng)的估計(jì)式知3.8 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值如果f(x)泰勒公式已知,其通項(xiàng)中的加項(xiàng)的系數(shù)正是,從而可反過(guò)來(lái)求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導(dǎo).例3.9 求函數(shù)在x=1處的高階導(dǎo)數(shù).解 設(shè)x=u+1,則,在u=0的泰勒公式為,從而,而g(u)中的泰勒

8、展開(kāi)式中含的項(xiàng)應(yīng)為,從g(u)的展開(kāi)式知的項(xiàng)為,因此待添加的隱藏文字內(nèi)容3,.3.9 利用泰勒公式求行列式的值若一個(gè)行列式可看做x的函數(shù)（一般是x的n次多項(xiàng)式）,記作f(x),按泰勒公式在某處展開(kāi),用這一方法可求得一些行列式的值.例 3.10 求n階行列式 d= （1）解 記,按泰勒公式在z處展開(kāi)：, （2）易知 （3）由（3）得,.根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為, 把以上各導(dǎo)數(shù)代入（2）式中,有若,有,若,有.4 總結(jié)本文主要介紹了泰勒公式以及它的九個(gè)應(yīng)用,使我們對(duì)泰勒公式有了更深一層的理解,怎樣應(yīng)用泰勒公式解題有了更深一層的認(rèn)識(shí).,只要在解題訓(xùn)練中注意分析,研究題設(shè)條件及其形

9、式特點(diǎn),并把握上述處理規(guī)則,就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧.參考文獻(xiàn)1陳傳章 金福林：數(shù)學(xué)分析（下）北京：高等教育出版社,1986.2張自蘭 崔福蔭：高等數(shù)學(xué)證題方法陜西：陜西科學(xué)出版社,1985.3王向東：數(shù)學(xué)分析的概念和方法上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社,1989.4同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)【m】.北京：人民教育出版社,1999.5劉玉璉 傅沛仁：數(shù)學(xué)分析講義【m】.北京：人民教育出版社,2000.6華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,數(shù)學(xué)分析（第二版）【m】高等教育出版社,1911.7張立民visual foxpro5.x中文版應(yīng)用技術(shù)手冊(cè)【m】大連：大連理工大學(xué)出版社,19978中文版vis

10、ual foxpro3.0編程指南【m】西安：西安交通大學(xué)出版社,19979visual basic程序設(shè)計(jì)【m】中央廣播電視大學(xué)出版社,2001some equivalent definitions and applications of convex function abstractthis paper briefly introduces the taylor formula and the expansion of several common functions, for the taylor formula discussed nine issues that limit app

11、lication of taylors formula of seeking to prove that inequality, determine convergence and divergence of series, that the root the only existence, determine the function of the extreme value, find the primary function of the power series expansion, to approximate calculation, find the higher derivative value at some point,