對數(shù)概念教學(xué)設(shè)計

1、基于數(shù)學(xué)史的對數(shù)概念教學(xué)設(shè)計教材 人教A版普通高中數(shù)學(xué)必修一2.2.1【課時安排】第1課時教材分析 本節(jié)包括對數(shù)概念、對數(shù)與指數(shù)的互化和對數(shù)的運算性質(zhì)，這是學(xué)生學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ).教材借助例題中的指數(shù)函數(shù)，由“已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)”直接引出對數(shù)的概念.這種引入方式雖然直截了當(dāng)?shù)刂赋鲋笖?shù)和對數(shù)的互逆關(guān)系，但是對于大部分學(xué)生而言太過于抽象，學(xué)生難以通過定義了解對數(shù)是如何計算，和它最初是如何被發(fā)明的，也就很難體會到對數(shù)強大的簡化運算的功能，以及引入對數(shù)的必要性.學(xué)情分析 1. 認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)生已學(xué)習(xí)了指數(shù)的知識，以及加法和減法、乘法和除法、乘方與開方之間的互逆關(guān)系，因此可以較容易地接受指數(shù)與對數(shù)的

2、互逆關(guān)系，并由此得到對數(shù)的概念.2認(rèn)知障礙：用對數(shù)符號來表示指數(shù).教學(xué)目標(biāo)1 知識與技能 理解對數(shù)的概念（即：對數(shù)是一個數(shù)，底的次冪等于真數(shù)）以及指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系.2. 過程與方法（1）經(jīng)歷對數(shù)概念的提出過程，學(xué)習(xí)將乘法和除法轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加減以及乘方和開方轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘除運算的化歸思想；（2）通過類比減法、除法、開方運算學(xué)習(xí)對數(shù)概念的過程，學(xué)習(xí)類比思想和垂直數(shù)學(xué)化的思想.3. 情感態(tài)度與價值觀（1）感受引入對數(shù)十分必要；（2）領(lǐng)悟?qū)?shù)強大的簡化運算的功能；（3）體會對數(shù)源于生活中數(shù)學(xué)運算的需要，它有較高的科學(xué)價值和應(yīng)用價值.教學(xué)重點：理解對數(shù)的概念以及指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系.教學(xué)難點：對數(shù)概

3、念；底數(shù)和真數(shù)的限制條件.關(guān)鍵： 把當(dāng)成一個數(shù)，底的次冪等于真數(shù).教學(xué)方法：問題驅(qū)動、引導(dǎo)探究.教學(xué)手段：計算機、PPT、幾何畫板.教學(xué)流程設(shè)計問題引入探究發(fā)現(xiàn)變式思考形成概念鞏固運用設(shè)計意圖：通過一組運算量較大的計算題使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知障礙，結(jié)合對數(shù)產(chǎn)生的歷史背景，使學(xué)生體會到現(xiàn)實生活對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用，激發(fā)學(xué)生尋找新的運算方法的動力.設(shè)計意圖：在學(xué)生尚未形成對數(shù)的概念時，先給出一組比較特殊的數(shù)字，通過尋找規(guī)律并將其運用到化簡計算的探究過程，使學(xué)生初步體會到對數(shù)在化簡一些復(fù)雜計算時的作用.設(shè)計意圖：對算式進(jìn)行變形，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考的動力.回顧數(shù)學(xué)史上對數(shù)表的發(fā)明，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家在解決問題的過

4、程中所做的努力，培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的探究精神和科學(xué)態(tài)度.設(shè)計意圖：通過類比數(shù)的運算的發(fā)展規(guī)律，引出對數(shù)，揭示指數(shù)和對數(shù)的互逆關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的類比思想.通過分析底數(shù)和真數(shù)的限制條件，使學(xué)生更深刻地理解對數(shù)的概念，強化指數(shù)和對數(shù)的聯(lián)系.設(shè)計意圖：根據(jù)桑代克的練習(xí)律與斯金納的強化原理設(shè)計該練習(xí)，使學(xué)生熟練掌握指數(shù)式和對數(shù)式的互化.知識拓展設(shè)計意圖：通過介紹科學(xué)家們對對數(shù)的高度評價和對數(shù)在科學(xué)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生了解對數(shù)的科學(xué)價值和應(yīng)用價值.小結(jié)及作業(yè)設(shè)計意圖：小結(jié)意在鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，回顧探索歷程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想；作業(yè)意在使學(xué)生進(jìn)一步熟悉對數(shù)的概念及指數(shù)和對數(shù)的互化. 教學(xué)過程設(shè)計 （一）問題引入問

5、題1：請計算下面的式子（不使用計算器）：（1） （2） （3） （4）教師活動：請學(xué)生回答計算結(jié)果并談?wù)動嬎愕母惺?學(xué)生活動：計算并發(fā)表感受（計算量大）.歷史上，科學(xué)家也曾經(jīng)遇到相同的問題！背景介紹1：在16世紀(jì)，隨著哥白尼“日心說”的盛行，天文學(xué)也蓬勃發(fā)展.歐洲人漸漸熱衷于地理探險和海洋貿(mào)易，特別是地理探險需要更準(zhǔn)確的天文知識，需要對龐大的“天文數(shù)據(jù)”進(jìn)行快速和準(zhǔn)確的計算.但那時候還沒有計算機，人們迫切需要找到一種方法提高運算效率.那該怎么辦呢？設(shè)計意圖：通過一組運算量較大的計算題使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知障礙，結(jié)合對數(shù)產(chǎn)生的歷史背景，使學(xué)生體會到現(xiàn)實生活對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用，激發(fā)學(xué)生尋找新的運算方法的

6、動力.（二）探究發(fā)現(xiàn)問題2：閱讀下列資料，回答問題： 1714年，德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾研究了下面的兩行數(shù)：012345678910111213141248163264128256512102420484096819216384 請大家想一想，斯蒂菲爾會發(fā)現(xiàn)其中什么規(guī)律呢？學(xué)生活動：思考并發(fā)現(xiàn)規(guī)律.教師活動：歸納結(jié)論：若設(shè)第一行的數(shù)為的話，那么第二行對應(yīng)的數(shù)則為.問題3：后來，英國數(shù)學(xué)家納皮爾受到這個表格的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)了可以利用這個規(guī)律來簡便計算問題1中的題目！同學(xué)們，你們知道他是怎么做的嗎？學(xué)生活動：思考問題并進(jìn)行猜想.教師活動：肯定學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，并總結(jié)納皮爾的發(fā)現(xiàn)：第一列數(shù)的加減運算結(jié)果與第二列數(shù)

7、的乘除運算結(jié)果之間存在著對應(yīng)關(guān)系.例如，要計算，則計算其對應(yīng)的第一行的數(shù)5和8的和得到13，再找到13對應(yīng)的第二行的結(jié)果8192即可.引導(dǎo)學(xué)生給出簡化算法：（1） ；（2） ；（3） ；（4） .問題4：這四個式子的運算方法有什么共同特點嗎？學(xué)生活動：思考問題，并嘗試作出回答.教師活動：補充學(xué)生的想法，共同特點：把每個要運算的數(shù)轉(zhuǎn)化為.這樣就可以將整數(shù)的乘法、除法、乘方和開方轉(zhuǎn)化為對應(yīng)指數(shù)的加法、減法、乘法和除法，起到簡化簡運算的作用.設(shè)計意圖：在學(xué)生尚未形成對數(shù)的概念時，先給出一組比較特殊的數(shù)字，通過尋找規(guī)律并將其運用到化簡計算的探究過程，使學(xué)生初步體會到對數(shù)在化簡一些復(fù)雜計算時的作用. （

8、三）變式思考問題5：把原來的第（1）問改成，還能否用同樣的方法解決呢？學(xué)生活動：可能質(zhì)疑原來的方法行不通，也可能想到利用非整數(shù)的指數(shù)冪. 教師活動：根據(jù)前面的分析，要判斷能否用同樣的方法，就要看132和156能否寫成.由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，指數(shù)函數(shù)的值域為，對于132和156，都存在唯一對應(yīng)的值.通過幾何畫板的動態(tài)展示，將132和156分別表示成，再用同樣的方法即可解出近似解.這就給了當(dāng)時的科學(xué)家一個啟示：如果制作出了足夠多組數(shù)的表格，就可以利用它來計算類似的問題了.而歷史上許多數(shù)學(xué)家為了這項工作奉獻(xiàn)了畢生的精力.背景介紹2：納皮爾就花了20多年的時間編制出這樣的表格，不過他選取的底數(shù)不

9、是2，而是一個較復(fù)雜的數(shù).后來英國數(shù)學(xué)家布里格斯專程拜訪了納皮爾，建議將底數(shù)改為10，符合人們使用十進(jìn)制的習(xí)慣.于是，他花了大量時間和精力，終于在1617年編制了以10為底的表格，以供人們計算較大的數(shù)據(jù).下圖就是布里格斯所編制的表格（部分示例）.N以10為底N以10為底10.00080.19420.39890.93230.966101.00040.796111.82250.602121.76260.364131.68370.426 總結(jié)：編制這樣表格的關(guān)鍵，就是對于每一個，令，再把表示出來. 設(shè)計意圖：對算式進(jìn)行變形，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考的動力.回顧數(shù)學(xué)史上對數(shù)表的發(fā)明，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家在解決問題

10、的過程中所做的努力，培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的探究精神和科學(xué)態(tài)度. （四）形成概念在剛剛的探究中，我們發(fā)現(xiàn)簡化運算不一定以2為底，也可以以其它數(shù)為底，如布里格斯就是以10為底.一般地，可以以為底，這樣化簡運算的關(guān)鍵是：給定，對于每個，把寫成.問題6：如何將中的準(zhǔn)確表示出來呢？學(xué)生活動：不知所措，有預(yù)習(xí)的學(xué)生可能會說用對數(shù)來表示.問題7：觀察數(shù)的運算的發(fā)展，思考問題：（1）已知，求（2）已知，求（3）已知，求（4）已知，求 ？學(xué)生活動：觀察并思考問題.教師活動：提出概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù).在此，強調(diào)“對數(shù)是一個數(shù)”！.根據(jù)定義，可以得到對數(shù)和指數(shù)間

11、的關(guān)系：當(dāng)時，.通常，我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把記為.將以為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，把記為.背景介紹3：由此可知，對數(shù)是指數(shù)的逆運算.但有趣的是，在數(shù)學(xué)史上，對數(shù)卻是先于指數(shù)被發(fā)現(xiàn)的.1614年，納皮爾發(fā)明了對數(shù)和對數(shù)表.1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒發(fā)明了指數(shù)，比對數(shù)晚了20多年，當(dāng)時人們并沒有發(fā)現(xiàn)指數(shù)和對數(shù)之間的關(guān)系.后來，數(shù)學(xué)家歐拉才提出“對數(shù)源于指數(shù)”，這一說法得到了數(shù)學(xué)家們的廣泛認(rèn)可.至此，對數(shù)逐漸得到完善，成為我們今天所用的對數(shù).設(shè)計意圖：通過觀察數(shù)的運算的發(fā)展規(guī)律，類比聯(lián)想到提出新的概念來解決新的運算問題，引出對數(shù)，揭示指數(shù)和對數(shù)的互逆關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的類比思想.問題8：

12、為什么對數(shù)的定義中要滿足底數(shù)，呢？學(xué)生活動：思考問題并回答.教師活動：提示學(xué)生根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的互逆關(guān)系，舉反例分析限制條件. 當(dāng)，在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義，即找不到對應(yīng)的使得；當(dāng)，時，是沒有意義的；同理可得的情況.而指數(shù)函數(shù)的定義域為，所以的取值范圍是.總結(jié)：負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).設(shè)計意圖：通過分析對數(shù)定義中的底數(shù)和真數(shù)的限制條件，使學(xué)生更深刻地理解對數(shù)的概念，強化指數(shù)和對數(shù)的聯(lián)系. （五）鞏固運用 問題9：根據(jù)對數(shù)的定義，計算: （1）；（2）；（3）；（3）.學(xué)生活動：通過上面的計算題，發(fā)現(xiàn)兩個結(jié)論：，.教師活動：通過例題的講解，強化對數(shù)的本質(zhì)：對數(shù)是一個數(shù)！.例如，.問題10：求下列各式中的值：

13、 （1）；（2）；（3）；（4）.設(shè)計意圖：通過練習(xí)題，讓學(xué)生熟練掌握指數(shù)式和對數(shù)式的互化. （六）知識拓展 背景介紹4：自從有了計算機，對數(shù)在簡化計算上的作用已經(jīng)大大降低，但是它在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用卻遍布各大領(lǐng)域：在生物領(lǐng)域，利用“半衰期”求生物死亡年數(shù)；在化學(xué)領(lǐng)域，對數(shù)用于測量PH值；在地理領(lǐng)域，對數(shù)用于計算地震強度；在物理領(lǐng)域，對數(shù)用于測量聲音的分貝.總結(jié)：對數(shù)之所以有如此廣泛的應(yīng)用，是因為在這些領(lǐng)域涉及了復(fù)雜的運算，這就體現(xiàn)了對數(shù)強大的簡化運算的功能！ 這就難怪歷史上許多科學(xué)家對對數(shù)的發(fā)明給予了高度評價： 拉普拉斯說：（對數(shù)）用縮短計算時間延長了天文學(xué)家的壽命.伽利略說：給我空間、時間及

14、對數(shù)，我可以創(chuàng)造一個宇宙. 恩格斯說：對數(shù)的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)立、微積分的建立是17世紀(jì)數(shù)學(xué)史上的3大成就. 設(shè)計意圖：通過介紹對數(shù)在科學(xué)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用和科學(xué)家們對對數(shù)的高度評價，使學(xué)生了解對數(shù)的科學(xué)價值和應(yīng)用價值. （七）小結(jié)及作業(yè)小結(jié)：（1）； （2）； （3）； （4）.實現(xiàn)簡便運算的關(guān)鍵：就是把整數(shù)的乘法、除法、乘方和開方運算轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法、減法、乘法和除法.這體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想化歸思想.一般地，可以以為底，把寫成，即，那如何將準(zhǔn)確表示出來呢？觀察數(shù)的運算的發(fā)展：（1）已知，求（2）已知，求（3）已知，求（4）已知，求 對數(shù)！通過類比逆運算的關(guān)系和引入新的運算的解決方法，提出引入對

15、數(shù)這個重要的概念.這體現(xiàn)了類比的數(shù)學(xué)思想.問：對數(shù)是什么？ 對數(shù)是一個數(shù)！作業(yè)： 1上網(wǎng)搜索了解對數(shù)的發(fā)展史；2課本練習(xí)題P64 第1,2,3題.設(shè)計意圖：小結(jié)意在鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，回顧探索歷程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想；作業(yè)意在使學(xué)生進(jìn)一步熟悉對數(shù)的概念及指數(shù)和對數(shù)的互化. 附：本教學(xué)設(shè)計的創(chuàng)新之處1過去的“對數(shù)及其運算”的教學(xué)大多僅限于“知其然不知其所以然”或者說只會形式計算而不理解本質(zhì)的水平.本設(shè)計從數(shù)學(xué)史的角度引入對數(shù)概念，實現(xiàn)了由工具性理解向關(guān)系性理解的轉(zhuǎn)變提升；2從垂直數(shù)學(xué)化的角度引入對數(shù)概念，為弗賴登塔爾所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)化原則提供了一個具體的案例；3在“過程與方法”與“情感態(tài)度價值觀”目標(biāo)上實現(xiàn)了可操作的創(chuàng)新.致謝：感謝華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院馮偉貞教授對本文的指導(dǎo)意見以及佛山市南海桂城中學(xué)蔣愛國教師對本文的文獻(xiàn)幫助.參考文獻(xiàn)1何小亞,姚靜.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計M.北京:科學(xué)出版社,2012.2王華民,侯斌.從一堂概念課的不同導(dǎo)入談數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)J.數(shù)學(xué)通報，2014,53(8):47-50.3陳少麗.對數(shù)的發(fā)明及其相關(guān)歷史分析D.臨汾