數(shù)字信號處理第三版西安科大出版高西全丁玉美課后答案第7章

1、有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章 第7章有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計7.1 學(xué)習(xí)要點學(xué)習(xí)要點7.2教材第教材第7章習(xí)題與上機題解答章習(xí)題與上機題解答有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章 6.1 學(xué)學(xué) 習(xí)習(xí) 要要 點點 7.1.1 線性相位概念與具有線性相位的線性相位概念與具有線性相位的FIR數(shù)字濾數(shù)字濾波器的特點波器的特點1 線性相位概念線性相位概念設(shè)H(ej)=FTh(n)為FIR濾波器的頻響特性函數(shù)。 H(ej)可表示為 H(ej)=Hg()ej()有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章Hg()稱為幅度函數(shù)， 為的實函數(shù)。 應(yīng)注意Hg()與幅頻特性函數(shù)|H(e

2、j)|的區(qū)別， |H(ej)|為的正實函數(shù)， 而Hg()是一個可取負值的實函數(shù)。 ()稱為相位特性函數(shù)， 當()=時， 稱為第一類（A類）線性相位特性； 當()=0時， 稱為第二類（B類）線性相位特性。 0=/2是第二類線性相位特性常用的情況， 所以本書僅考慮這種情況。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章2 具有線性相位的具有線性相位的FIR濾波器的特點（濾波器的特點（h(n)長度為長度為N）1） 時域特點21)(21)( )1()(ANNnnhnNhnh偶對稱關(guān)于類(6.1.1)212)(21)( )1()(BNNnnhnNhnh奇對稱關(guān)于類(6.1.2)有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾

3、波器的設(shè)計第章群延時, 21d)(dN為常數(shù)， 所以將A類和B類線性相位特性統(tǒng)稱為恒定群延時特性。 2） 頻域特點)0)()(: )2(2, , 0)(: ) 1(AgggHHNHN奇對稱關(guān)于情況為偶數(shù)三點偶對稱關(guān)于情況為奇數(shù)類gg(3):( )0, , 2B(4):( )0, 2,NHNH為奇數(shù) 情況關(guān)于三點奇對稱類為偶數(shù) 情況關(guān)于奇對稱 關(guān)于偶對稱有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章3） 結(jié)論掌握以上特點， 就可以得出如下結(jié)論， 這些結(jié)論對FIR濾波器的設(shè)計很重要。 （1） 情況1： 可以實現(xiàn)所有濾波特性（低通、 高通、 帶通、 帶阻和點阻等）。 （2） 情況2： Hg()=0， 不

4、能實現(xiàn)高能、 帶阻和點阻濾波器。 （3） 情況3： 只能實現(xiàn)帶通濾波器（因為Hg(0)=Hg()=Hg(2)=0）（4） 情況4： 不能實現(xiàn)低能、 帶阻和點阻濾波器。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章7.1.2 FIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法數(shù)字濾波器設(shè)計方法教材中主要介紹了FIR-DF的3種設(shè)計方法， 即窗函數(shù)法、 頻率采樣法、 等波紋最佳逼近法。這3種設(shè)計方法的設(shè)計原理及設(shè)計步驟教材中講得很清楚， 本書不再重復(fù)， 讀者只要認真學(xué)習(xí)教材， 并參考例題和習(xí)題解答， 就可以掌握本章的知識和方法。 下面僅舉一個例子， 用窗函數(shù)設(shè)計法的概念證明一個重要的結(jié)論， 使讀者正確理解所謂的最佳設(shè)計法， 其

5、設(shè)計效果與設(shè)計的最佳準則有關(guān)， 以一個最佳準則設(shè)計的最佳濾波器， 在另一個最佳準則下可能就不是最佳的， 甚至很差， 以至于無實際應(yīng)用價值。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章例例6.1.1 試證明在窗函數(shù)設(shè)計法中， 當h(n)長度N值固定時， 矩形窗設(shè)計結(jié)果滿足頻域最小均方誤差逼近準則。 解解: 仿照窗函數(shù)設(shè)計法的過程， 設(shè)Hd(ej)表示期望逼近的理想濾波器頻率響應(yīng)， 其單位脈沖響應(yīng)為hd(n)。 用w(n)表示窗函數(shù)， 長度為N; 用h(n)表示用窗函數(shù)法設(shè)計的實際FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)（即h(n)=hd(n)w(n)， 其頻率響應(yīng)函數(shù)為H(ej)。 定義H(ej)與Hd(ej)的

6、均方誤差為2jjd2d| )e ()e (|21HH有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章本例題就是要求證明： 當w(n)=RN(n)時， 2最小。 由于證明的條件與窗函數(shù)w(n)的類型（形狀）有關(guān)， 所以， 將2轉(zhuǎn)換到時域表示， 有利于證明。 證明如下： （1） 令誤差函數(shù) E(ej)=Hd(ej)H(ej)由于E(ej)為周期函數(shù)， 所以可展開為冪級數(shù)nnnEjje )( e)e (有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章（2） 用系數(shù)e(n)表示均方誤差2。 （3） 證明只有當w(n)=RN(n), h(n)=hd(n)Rn(n)時， 2最小。下面按三步證明： （1） 因為jjdd

7、(e )( )ennHh n，jj(e )( )ennHh n所以nnnhnhHHEjdjjdje)()()e ()e ()e (有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章由于h(n)長度為N， 即當n0或nN時， h(n)=0， 所以11jjjjddd0(e)( )e( )e( )( )eNnnmnn NnEh nh nh nh nnmnje )( e故1 0)()( , 0)()(ddNnnhnhNnnnhne有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章(2) 因為E(ej)=FTe(n)， 所以由帕塞瓦爾定理有22j2| )( e|d| )e (|21nnE1102d2d2d| )()(|

8、 )(| )(|nNnNnnhnhnhnh(3) 由（2）的結(jié)果知， 2的前面兩個求和項與w(n)無關(guān)， 而第三個求和項為11ddd( )( )001dd0|( )( )|( )( )( )| |( )( )| 0NNNw nRnnnNnh nh nh nw n h nh nh n有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章由此證明， 矩形窗設(shè)計確實滿足頻域最小均方誤差準則。 前面已提到， 當Hd(ej)為理想頻響特性（理想低通、 帶通等）時， 矩形窗設(shè)計的FIR濾波器阻帶最小衰減只有21 dB， 不滿足一般工程要求。 所以， 調(diào)用頻域最小均方誤差最佳逼近設(shè)計程序設(shè)計FIR濾波器時， 使Hd(e

9、j)具有平滑的滾降特性， 可使阻帶衰減加大， 通帶內(nèi)波紋減小。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章教材第教材第7章習(xí)題與上機題解答章習(xí)題與上機題解答1 已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為： （1） h(n)長度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3（2） h(n)長度N=7 h(0)= h(6)=3 h(1)= h(5)= 2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0試分別說明它們的幅度特性和相位特性各有什么特點。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章解解： （1） 由所給h(n)的取值可知，h(n)滿足h(n)=h(N1n)， 所以FIR濾波

10、器具有A類線性相位特性： 5 . 221)(N由于N=6為偶數(shù)(情況2)， 所以幅度特性關(guān)于=點奇對稱。 （2） 由題中h(n)值可知， h(n)滿足h(n)=h(N1n)， 所以FIR濾波器具有B類線性相位特性： 32212)(N由于7為奇數(shù)(情況3)， 所以幅度特性關(guān)于=0, , 2三點奇對稱。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章2 已知第一類線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)長度為16， 其16個頻域幅度采樣值中的前9個為： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)Hg(8)=0 根據(jù)第一類線性相位FIR濾波器幅度特性Hg()的特點， 求其余7

11、個頻域幅度采樣值。 解解： 因為N=16是偶數(shù)（情況2）， 所以FIR濾波器幅度特性Hg()關(guān)于=點奇對稱， 即Hg(2)=Hg()。 其N點采樣關(guān)于k=N/2點奇對稱， 即Hg(Nk)=Hg(k) k=1, 2, , 15綜上所述, 可知其余7個頻域幅度采樣值： Hg(15)=Hg(1)=8.34， Hg(14)=Hg(2)=3.79， Hg(13)Hg(9)=0有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章3 設(shè)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為)9 . 01 . 29 . 01 (101)(4321zzzzzH求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)， 判斷是否具有線性相位， 求出其幅度特性函數(shù)和相位特性函

12、數(shù)。解解: 對FIR數(shù)字濾波器， 其系統(tǒng)函數(shù)為104321)9 . 01 . 29 . 01 (101)()(NnnzzzzZnhzH有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章1( )1, 0,9, 2.1, 0.9,110h n 由h(n)的取值可知h(n)滿足： h(n)=h(N1n) N=5所以， 該FIR濾波器具有第一類線性相位特性。 頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)為所以其單位脈沖響應(yīng)為有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章10j)(jgje )(e )()e (NnmnhHHee9 . 0e1 . 2e9 . 01 1014 j3 j2 jj2 j2 jjj2 je )ee9 . 01

13、. 2e9 . 0e (1012 je )2cos2cos8 . 11 . 2(101有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章幅度特性函數(shù)為 102cos2cos8 . 11 . 2)(gH相位特性函數(shù)為221)(N4 用矩形窗設(shè)計線性相位低通FIR濾波器， 要求過渡帶寬度不超過/8 rad。 希望逼近的理想低通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)為有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章 |0 | 0e)e (cjjdcaH（1） 求出理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)；（2） 求出加矩形窗設(shè)計的低通FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)表達式， 確定與N之間的關(guān)系； （3） 簡述N取奇數(shù)或偶

14、數(shù)對濾波特性的影響。解: （1）ccjjjjddc11( )(e)edeed22sin() ()nnh nHnn有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章（2） 為了滿足線性相位條件， 要求， N為矩形窗函數(shù)長度。 因為要求過渡帶寬度rad, 所以要求, 求解得到N32。 加矩形窗函數(shù), 得到h(n)： 21Na8N48)()()(sin)()()(cdnRanannRnhnhNNnNaNnanan其它021, 1 0)()(sinc有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章（3） N取奇數(shù)時， 幅度特性函數(shù)Hg()關(guān)于=0, , 2三點偶對稱， 可實現(xiàn)各類幅頻特性； N取偶數(shù)時， Hg()關(guān)

15、于=奇對稱， 即Hg()=0， 所以不能實現(xiàn)高通、 帶阻和點阻濾波特性。 5 用矩形窗設(shè)計一線性相位高通濾波器， 要求過渡帶寬度不超過/10 rad。 希望逼近的理想高通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)為其它0 | e)e (jjdcaH有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章（1） 求出該理想高通的單位脈沖響應(yīng)hd(n)； （2） 求出加矩形窗設(shè)計的高通FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)表達式， 確定與N的關(guān)系； （3） N的取值有什么限制？為什么？解解: （1） 直接用IFTHd(ej)計算： jjdd1( )(e ) ed2nh nHccjjjj1eedeed2nn有限脈沖響應(yīng)(FIR)

16、數(shù)字濾波器的設(shè)計第章ccj()()1eded2njnccj()j()j()j()1eeee2()nnnnna)(sin)(sin)(1cnanan)()(sin)(cananan有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章hd(n)表達式中第2項正好是截止頻率為c的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 而(n)對應(yīng)于一個線性相位全通濾波器： Hdap(ej)=ej即高通濾波器可由全通濾波器減去低通濾波器實現(xiàn)。 （2） 用N表示h(n)的長度， 則h(n)=hd(n)RN(n)=)()()(sin)(cnRnnnN)()(sincanan有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章為了滿足線性相位條件：

17、h(n)=h(N1n)要求滿足12N（3） N必須取奇數(shù)。 因為N為偶數(shù)時（情況2）， H(ej)=0， 不能實現(xiàn)高通。 根據(jù)題中對過渡帶寬度的要求， N應(yīng)滿足：, 即N40。 取N=41。N4106 理想帶通特性為 | |0 | e)e (cccjjdBBHa有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章（1） 求出該理想帶通的單位脈沖響應(yīng)hd(n)； （2） 寫出用升余弦窗設(shè)計的濾波器的h(n)表達式， 確定N與之間的關(guān)系； （3） 要求過渡帶寬度不超過/16 rad。 N的取值是否有限制？為什么？解解: （1）jjdd1( )()ed2nh nHeccccjjjj()1eedeed2Bama

18、nB)()(sin)()(sin(ccananananB有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章上式第一項和第二項分別為截止頻率c+B和c的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 所以， 上面hd(n)的表達式說明， 帶通濾波器可由兩個低通濾波器相減實現(xiàn)。 （2） h(n)=hd(n)w(n)ccsin()()sin()20.540.46 cos( )()()1NB nananRnnanaN為了滿足線性相位條件， 與N應(yīng)滿足12N有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章實質(zhì)上， 即使不要求具有線性相位， 與N也應(yīng)滿足該關(guān)系， 只有這樣， 才能截取hd(n)的主要能量部分， 使引起的逼近誤差最小。

19、（3） N取奇數(shù)和偶數(shù)時， 均可實現(xiàn)帶通濾波器。 但升余弦窗設(shè)計的濾波器過渡帶為8/N ， 所以， 要求， 即要求N128。 7 試完成下面兩題：試完成下面兩題： （1） 設(shè)低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)與頻率響應(yīng)函數(shù)分別為h(n)和H(ej)， 另一個濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h1(n)， 它與h(n)的關(guān)系是h1(n)=(1)nh(n)。 試證明濾波器h1(n)是一個高通濾波器。 N816有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章（2） 設(shè)低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)與頻率響應(yīng)函數(shù)分別為h(n)和H(ej)， 截止頻率為c, 另一個濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h2(n)， 它與h(n)的關(guān)系是h2(n)=2h

20、(n)cos0n， 且c0(c)。 試證明濾波器h2(n)是一個帶通濾波器。解解: （1） 由題意可知)(ee 21)()cos()() 1()(jj1nhnhnnhnhnnn對h1(n)進行傅里葉變換, 得到有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章mnnnnmnhhHjjjj1j1e ee )(21e )e (e )(e )(21)( j)( jnnnnnhnh)e ()e (21)( j)( jnHH上式說明H1(ej)就是H(ej)平移的結(jié)果。 由于H(ej)為低通濾波器， 通帶位于以=0為中心的附近鄰域， 因而H1(ej)的通帶位于以=為中心的附近， 即h1(n)是一個高通濾波器。有

21、限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章這一證明結(jié)論又為我們提供了一種設(shè)計高通濾波器的方法（設(shè)高通濾波器通帶為c, ）： 設(shè)計一個截止頻率為c的低通濾波器hLp(n)。 對hLp(n)乘以cos(n)即可得到高通濾波器hHp(n) cos(n)=(1)nhLp(n)。 (2) 與(1)同樣道理， 代入h2(n)=2h(n) cos0n, 可得2)e ()e ()e ()( j)( jj200HHH有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章因為低通濾波器H(ej)通帶中心位于=2k， 且H2(ej)為H(ej)左右平移0， 所以H2(ej)的通帶中心位于=2k0處， 所以h2(n)具有帶通特性。

22、 這一結(jié)論又為我們提供了一種設(shè)計帶通濾波器的方法。 8 題8圖中h1(n)和h2(n)是偶對稱序列， N=8， 設(shè) H1(k)=DFTh1(n) k=0， 1， ， N1 H2(k)=DFTh2(n) k=0， 1， ， N 1 （1） 試確定H1(k)與 H2(k)的具體關(guān)系式。 | H1(k)|=| H2(k)|是否成立？為什么？（2） 用h1(n)和h2(n)分別構(gòu)成的低通濾波器是否具有線性相位？群延時為多少？有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章題8圖有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章解解： （1） 由題8圖可以看出h2(n)與h1(n)是循環(huán)移位關(guān)系： h2(n)=h1(

23、n+4)8R8(n)由DFT的循環(huán)移位性質(zhì)可得)() 1()(e)()(11j1482kHkHkHWkHkkk| )(| )(| )(|11482kHkHWkHk(2) 由題8圖可知， h1(n)和h2(n)均滿足線性相位條件： h1(n)=h1(N1n)h2(n)=h2(N1n)有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章所以， 用h1(n)和h2(n)構(gòu)成的低通濾波器具有線性相位。 直接計算FTh1(n)和h2(n)也可以得到同樣的結(jié)論。 設(shè) )(jg11j11e )()(FT)e (HnhH27) 1(21)()(21N)(jg22j22e )()(FT)e (HnhH所以， 群延時為27

24、d)(d112有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章9 對下面的每一種濾波器指標， 選擇滿足FIRDF設(shè)計要求的窗函數(shù)類型和長度。 （1） 阻帶衰減為20 dB， 過渡帶寬度為1 kHz， 采樣頻率為12 kHz； （2） 阻帶衰減為50 dB， 過渡帶寬度為2 kHz， 采樣頻率為20 kHz； （3） 阻帶衰減為50 dB， 過渡帶寬度為500 Hz， 采樣頻率為5 kHz。 解解： 我們知道， 根據(jù)阻帶最小衰減選擇窗函數(shù)類型， 根據(jù)過渡帶寬度計算窗函數(shù)長度。 為了觀察方便， 重寫出教材第211頁中表7.2.2。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器

25、的設(shè)計第章結(jié)合本題要求和教材表7.2.2， 選擇結(jié)果如下： （1） 矩形窗滿足本題要求。 過渡帶寬度1 kHz對應(yīng)的數(shù)字頻率為B=200/12 000=/60， 精確過渡帶滿足：1.8/N/60， 所以要求N1.860=108。 （2） 選哈明窗， 過渡帶寬度1 kHz對應(yīng)的數(shù)字頻率為B=4000/20 000=/5， 精確過渡帶滿足： 6.6/N/5， 所以要求N6.65=33。 （3） 選哈明窗， 過渡帶寬度1 kHz對應(yīng)的數(shù)字頻率為B=1000/5000=/5， 精確過渡帶滿足： 6.6/N/5， 所以要求N6.65=33。 10 利用矩形窗、升余弦窗、改進升余弦窗和布萊克曼窗設(shè)計線性相

26、位FIR低通濾波器。 要求希望逼近的理想低通濾波器通帶截止頻率c= /4 rad，N=21。 求出分別對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章解解: (1) 希望逼近的理想低通濾波器頻響函數(shù)Hd(ej)為jjde 0 | 4(e )0 | 4aH其中, a=(N1)/2=10。 (2) 由Hd(ej)求得hd(n)： 4j 10jd/4sin(10)14( )eed2(10)nnh nn有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章 (3) 加窗得到FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)： 升余弦窗:Hn2( )0.5 1cos( )1NwnRnNHnd21sin(10)24( )

27、( ) ( )1cos( )2(10)20nnhnh n w nRnn有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章 改進升余弦窗：Hm2( )0.540.46 cos( )1NnwnRnNHmHm21sin(10)24( )( )( )0.540.46 cos( )p(10)20dnnhnh n wnRnn 布萊克曼窗:BldBl( )( )( )hnh n wn)(204cos08. 0202cos5 . 042. 0)10()10(4sin21nRnnnn有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章11 將技術(shù)要求改為設(shè)計線性相位高通濾波器， 重復(fù)題10。 解解: 方法一 將題10解答中的逼近

28、理想低通濾波器(Hd(ej)、 hd(n)改為如下理想高通濾波器即可。 43| 00 | 43e)e (10jjdH有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章d)e (21)(jddHnhdee de21j4/310j10j4/3m)10()10(43sin)10()10(sinnnnn3sin(10)4(10)(10)nnn有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章上式中(n10)對應(yīng)于全通濾波器。 上式說明， 高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)等于全通濾波器的單位脈沖響應(yīng)減去低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 仿照10題， 用矩形窗、 升余弦窗、 改進升余弦窗和布菜克曼窗對上面所求的hd(n)加窗即可。 計

29、算與繪圖程序與題10解中類同， 只要將其中的h(n)用本題的高通h(n)替換即可。 方法二 根據(jù)第7題（1）的證明結(jié)論設(shè)計。 （1） 先設(shè)計通帶截止頻率為/4的低通濾波器。 對四種窗函數(shù)所得FIR低通濾波器單位脈沖響應(yīng)為題9解中的hR(n)、 hHn(n)、 hHm(n)和hBl(n)。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章(2) 對低通濾波器單位脈沖響應(yīng)乘以cosn可得到高通濾波器單位脈沖響應(yīng)： 矩形窗： )()cos()10()10(4sin)cos()()(21R1nRnnnnnhnh 升余弦窗： 2HnHn( )( )cos( )( 1)( )nh nhnnhn )()cos(2

30、02cos1)10(2)10(4sin21nRnnnn有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章 改進升余弦窗： )cos()()(Hn3nnhnh)()cos(202cos46. 054. 0)10()10(4sin21nRnnnn 布萊克曼窗： )()cos(204cos08. 0202cos5 . 042. 0)10()10(4sin)(214nRnnnnnnh有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章題12圖12 利用窗函數(shù)（哈明窗）法設(shè)計一數(shù)字微分器， 逼近題12圖所示的理想微分器特性， 并繪出其幅頻特性。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章解解: (1) 由于連續(xù)信號存在微

31、分， 而時域離散信號和數(shù)字信號的微分不存在， 因而本題要求設(shè)計的數(shù)字微分器是指用數(shù)字濾波器近似實現(xiàn)模擬微分器， 即用數(shù)字差分濾波器近似模擬微分器。 下面先推導(dǎo)理想差分器的頻率響應(yīng)函數(shù)。 設(shè)模擬微分器的輸入和輸出分別為x(t)和y(t)， 即ttxktyd)(d)(令x(t)=ejt， 則y(t)=jket=jkx(t)對上式兩邊采樣（時域離散化）， 得到有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章()j()jej ny nTkx nTkTjj(e )FT ()j(e )kYy nTXT其中=T。 將x(nT)和y(nT)分別作為數(shù)字微分器的輸入和輸出序列， 并用Hd(ej)表示數(shù)字理想微分器的頻

32、率響應(yīng)函數(shù)， 則)e (j)e ()e ()e (jjjdjXTkXHY即TkHj)e (jd有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章jd|(e )| j|kHT根據(jù)題12圖所給出的理想特性可知所以應(yīng)取k=T， 所以Hd(ej)=j取群延時=(N1)/2， 則逼近頻率響應(yīng)函數(shù)應(yīng)為 Hd(ej)=jej=ej(/2)有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章deej21)(jjdnnhj()21ej()12 j() nnn )(sin2)(cos)(2)(1212nnnn2cos()sin() 0()()nnnnn有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章設(shè)FIR濾波器h(n)長度為N， 一般

33、取=(N1)/2。 加窗后得到( )( ) ( )dh nh n w n2cos()sin()( ) 0()()nnw nnnn我們知道， 微分器的幅度響應(yīng)隨頻率增大線性上升， 當頻率=時達到最大值， 所以只有N為偶數(shù)的情況4才能滿足全頻帶微分器的時域和頻域要求。 因為N是偶數(shù)， =N/21/2=正整數(shù)1/2， 上式中第一項為0， 所以有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章2sin()( )( ) ()nh nw nn 式就是用窗函數(shù)法設(shè)計的FIR數(shù)字微分器的單位脈沖響應(yīng)的通用表達式， 且具有奇對稱特性h(n)= h(N1n)。 選定濾波器長度N和窗函數(shù)類型， 就可以直接按式得到設(shè)計結(jié)果。

34、 當然， 也可以用頻率采樣法和等波紋最佳逼近法設(shè)計。 本題要求的哈明窗函數(shù)： 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章)(12cos46. 054. 0)(HmnRNnnwN將式代入式得到h(n)的表達式：2(1)sin22( )0.540.46cos( )1(1)2NnNnh nRnNnN (2) 對3種不同的長度N=20，40和41，用MATLAB計算單位脈沖響應(yīng)h(n)和幅頻特性函數(shù)，并繪圖的程序ex712.m如下：有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章%ex712.m： 用哈明窗設(shè)計線性相位FIR微分器clear all； close all； N1=20； n=0： N11；

35、tou=(N11)/2； h1n=sin(ntou)*pi)./(pi*(n-tou).2).*(hamming(N1)； N2=40； n=0： N21； tou=(N21)/2； h2n=sin(ntou)*pi)./(pi*(n-tou).2).*(hamming(N2)； N3=41； n=0： N31； tou=(N31)/2； h3n=sin(ntou)*pi)./(pi*(ntou).2).*(hamming(N3);h3n(N31)/2+1)=0； %因為該點分母為零， 無定義， 所以賦值0%以下為繪圖部分（省略）有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章程序運行結(jié)果即數(shù)字微分

36、器的單位脈沖響應(yīng)和幅頻特性函數(shù)曲線如題12解圖所示。 由圖可見， 當濾波器長度N為偶數(shù)時， 逼近效果好。 但N=奇數(shù)時（本程序中N=41）， 逼近誤差很大。 這一結(jié)論與教材給出的理論一致（對第二類線性相位濾波器， N=奇數(shù)時不能實現(xiàn)高通濾波特性）。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章題12解圖有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章也可以采用調(diào)用等波紋最佳逼近法設(shè)計函數(shù)remez來設(shè)計FIR數(shù)字微分器的方法。 hn=remez(N1， f， m， defferentiator) 設(shè)計N1階FIR數(shù)字微分器， 返回的單位脈沖響應(yīng)向量hn具有奇對稱特性。 在大多數(shù)工程實際中， 僅要求在頻

37、率區(qū)間0p上逼近理想微分器的頻率響應(yīng)特性， 而在區(qū)間p上頻率響應(yīng)特性不作要求， 或要求為零。 對微分器設(shè)計， 在區(qū)間p 20 kHz， 衰減大于40 dB（2=0.01）； 希望分別設(shè)計性價比最高的FIR和IIR兩種濾波器進行濾除干擾。 請選擇合適的濾波器類型和設(shè)計方法進行設(shè)計， 最后比較兩種濾波器的幅頻特性、 相頻特性和階數(shù)。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章題19*圖有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章解解： 本題以模擬頻率給定濾波器指標， 所以， 程序中先要計算出對應(yīng)的數(shù)字邊界頻率， 然后再調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)fir1設(shè)計數(shù)字濾波器。 由題意確定濾波器指標（邊界頻率

38、以模擬頻率給出）：fp =15 kHz，1 = 0.02， p=20 lg dBfp =20 kHz， 2 = 0.01， s=40 dB（1） 確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標。 根據(jù)信號帶寬， 取系統(tǒng)采樣頻率Fs=80 kHz。 ，1 = 0.02，p =20 lg dB， 2 = 0.01，s =40 dB 2211sp2F2211sss2Ff有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章（2） 設(shè)計數(shù)字低通濾波器。 為了設(shè)計性價比最高的FIR和IIR濾波器， IIR濾波器選擇橢圓濾波器， FIR濾波器采用等波紋最佳逼近法設(shè)計。 設(shè)計程序為ex719.m。 %ex719.m： 設(shè)計性價比最高的FIR

39、和IIR濾波器Fs=80000； fp=15000； fs=20000； data1=0.02； rp=20*log10(1data1)/(1+1)； data2=0.01； rs=40； wp=2*fp/Fs； ws=2*fs/Fs； %計算數(shù)字邊界頻率（關(guān)于歸一化）%橢圓DF設(shè)計有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章Ne， wpe=ellipord(wp， ws， rp， rs)； %調(diào)用ellipord計算橢圓DF階數(shù)N和通帶截止頻率wpBe， Ae=ellip(Ne， wpe， rs， wp)； %調(diào)用ellip計算橢圓DF系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量Be和Ae%用等波紋最佳逼近法設(shè)計FIRD

40、Ff=wp， ws； m=1, 0； rip=data1, data2； Nr， fo， mo， w=remezord(f， m， rip)； hn=remez(Nr， fo， mo， w)； %以下為繪圖部分（省略）有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章程序運行結(jié)果： 橢圓DF階數(shù)Ne=5， 損耗函數(shù)曲線和相頻特性曲線如題圖19*解圖（a）所示。 采用等波紋最佳逼近法設(shè)計的FIRDF階數(shù)Nr=29， 損耗函數(shù)曲線和相頻特性曲線如題19*解圖(b)圖所示。 由圖可見， IIRDF階數(shù)低得多， 但相位特性存在非線性， FIRDF具有線性相位特性。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章題

41、19*解圖有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章20*. 調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)fir1設(shè)計線性相位低通FIR濾波器， 要求希望逼近的理想低通濾波器通帶截止頻率c=/4 rad， 濾波器長度N=21。 分別選用矩形窗、 Hanning窗、 Hamming窗和Blackman窗進行設(shè)計， 繪制用每種窗函數(shù)設(shè)計的單位脈沖響應(yīng)h(n)及其損耗函數(shù)曲線， 并進行比較， 觀察各種窗函數(shù)的設(shè)計性能。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章題20*解圖有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章解： 本題設(shè)計程序ex720.m如下： %ex720.m： 調(diào)用fir1設(shè)計線性相位低通FIR濾波器cl

42、ear； close all； N=21； wc=1/4； n=0： 20； hrn=fir1(N1， wc， boxcar(N)； %用矩形窗函數(shù)設(shè)計hnn=fir1(N1， wc， hanning(N)； %用hanning窗設(shè)計hmn=fir1(N1， wc， hamming(N) ； %用hamming窗函數(shù)設(shè)計hbn=fir1(N1， wc， blackman(N)； %用blackman窗函數(shù)設(shè)計%以下為繪圖部分（省略）有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章程序運行結(jié)果： 用矩形窗、 Hanning窗、 Hamming窗和Blackman窗設(shè)計的單位脈沖響應(yīng)h(n)及其損耗函數(shù)

43、曲線如題20*解圖所示。 由圖可見， 濾波器長度N固定時， 矩形窗設(shè)計的濾波器過渡帶最窄， 阻帶最小衰減也最??； blackman窗設(shè)計的濾波器過渡帶最寬， 阻帶最小衰減最大。 21*. 將要求改成設(shè)計線性相位高通FIR濾波器， 重作題20。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章解解： 本題的設(shè)計程序除了在每個fir1函數(shù)的調(diào)用參數(shù)中加入濾波器類型參數(shù)“high”外， 與第20題的程序完全相同， 請讀者修改并運行程序， 完成本題。 22*. 調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)remezord和remez設(shè)計線性相位低通FIR濾波器， 實現(xiàn)對模擬信號的采樣序列x(n)的數(shù)字低通濾波處理。 指標要求：

44、 采樣頻率為16 kHz； 通帶截止頻率為4.5 kHz， 通帶最小衰減為1 dB； 阻帶截止頻率為6 kHz， 阻帶最小衰減為75 dB。列出h(n)的序列數(shù)據(jù)， 并畫出損耗函數(shù)曲線。 解： 本題設(shè)計程序ex722.m如下： 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章%ex722.m： 調(diào)用remezord和remez設(shè)計線性相位低通FIR濾波器Fs=16000； f=4500， 6000； %采樣頻率， 邊界頻率為模擬頻率(Hz)m=1， 0； rp=1； rs=75； dat1=(10(rp/20)-1)/(10(rp/20)+1)； dat2=10(-rs/20)； rip=dat1，

45、 dat2； M， fo， mo， w=remezord(f， m， rip， Fs)； M=M+1； %邊界頻率為模擬頻率(Hz)時必須%加入采樣頻率Fshn=remez(M， fo， mo， w) %以下為繪圖部分（省略）有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章程序運行結(jié)果： h（n） =0.0023 0.0026 0.0207 0.0131 0.0185 0.0032 0.0278 0.0306 0.0176 0.0705 0.0402 0.1075 0.2927 0.6227 0.2927 0.1075 0.0402 0.0705 0.0176 0.0306 0.0278 0.003

46、2 0.0185 0.0131 0.0207 0.0026 0.0023單位脈沖響應(yīng)h(n)及其損耗函數(shù)曲線如題22*解圖所示。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章題22*解圖有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章23*. 調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)remezord和remez設(shè)計線性相位高通FIR濾波器， 實現(xiàn)對模擬信號的采樣序列x(n)的數(shù)字高通濾波處理。 指標要求： 采樣頻率為16 kHz； 通帶截止頻率為5.5 kHz， 通帶最小衰減為1dB； 過渡帶寬度小于等于3.5 kHz， 阻帶最小衰減為75 dB。 列出h(n)的序列數(shù)據(jù)， 并畫出損耗函數(shù)曲線。 解解： 濾波器的阻

47、帶截止頻率fs=55003500=2000 Hz。 本題設(shè)計程序ex723.m如下： 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章%ex723.m： 調(diào)用remezord和remez設(shè)計線性相位高通FIR濾波器Fs=16000； f=2000， 5500； %采樣頻率， 邊界頻率為模擬頻率(Hz)m=0， 1； rp=1； rs=75； dat1=(10(rp/20)-1)/(10(rp/20)+1)； dat2=10(-rs/20)； rip=dat2， dat1； M， fo， mo， w=remezord(f， m， rip， Fs)； %邊界頻率為模擬頻率(Hz)時必須加入采樣頻率Fsh

48、n=remez(M， fo， mo， w)程序運行結(jié)果： 濾波器長度為N=M+1=11， 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章單位脈沖響應(yīng)h(n)及其損耗函數(shù)曲線如題23*解圖所示， 請讀者運行程序查看h(n)的數(shù)據(jù)。 題23*解圖有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章24*. 用窗函數(shù)法設(shè)計一個線性相位低通FIR濾波器， 要求通帶截止頻率為0.3 rad， 阻帶截止頻率為0.5 rad， 阻帶最小衰減為40 dB。 選擇合適的窗函數(shù)及其長度， 求出并顯示所設(shè)計的單位脈沖響應(yīng)h(n)的數(shù)據(jù)， 并畫出損耗函數(shù)曲線和相頻特性曲線， 請檢驗設(shè)計結(jié)果。 試不用fir1函數(shù)， 直接按照窗函數(shù)設(shè)

49、計法編程設(shè)計。 解解： 直接按照窗函數(shù)設(shè)計法的設(shè)計程序ex724.m如下： 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章%ex724.m： 直接按照窗函數(shù)設(shè)計法編程設(shè)計線性相位低通FIR濾波器wp=0.3*pi； ws=0.5*pi； rs=40； %指標參數(shù)Bt=ws-wp； %過渡帶寬度N=ceil(6.2*pi/Bt)； %選hanning窗， 求wn長度Nwc=(wp+ws)/2； r=(N-1)/2； %理想低通截止頻率wcn=0： N-1； hdn=sin(wc*(n-r)./(pi*(n-r)； %計算理想低通的hdnhdn(16)=wc/pi；%在n=(N-1)/2=15點為0/

50、0型， 直接賦值wn=0.5*(1-cos(2*pi*n/(N-1)； %求窗函數(shù)序列wnhn=hdn.*wn %加窗%以下為繪圖部分（省略）有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章題24*解圖程序運行結(jié)果： 單位脈沖響應(yīng)h(n)及其損耗函數(shù)曲線如題24*解圖所示， 請讀者運行程序查看h(n)的數(shù)據(jù)。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章25*. 調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)fir1設(shè)計線性相位高通FIR濾波器。 要求通帶截止頻率為0.6 rad， 阻帶截止頻率為0.45， 通帶最大衰減為0.2 dB， 阻帶最小衰減為45 dB。 顯示所設(shè)計的單位脈沖響應(yīng)h(n)的數(shù)據(jù)，并畫出損耗函數(shù)曲

51、線。 解： 本題設(shè)計程序ex725.m如下： %ex725.m： 調(diào)用fir1設(shè)計線性相位高通FIR濾波器wp=0.6*pi； ws=0.45*pi； rs=45； %指標參數(shù)wc=(wp+ws)/2； %理想低通截止頻率wc Bt=wp-ws； %過渡帶寬度N1=ceil(6.6*pi/Bt)； %hamming窗w(n)長度有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章N=N1+mod(N1+1， 2)； %如果N1為偶數(shù)加1， 保證N=奇數(shù)hn=fir1(N-1， wc/pi， high， hamming(N)%計算hnsubplot 221； yn=h(n)； tstem(hn， yn) %調(diào)用自編函數(shù)tstem繪制hn波形subplot 222； A=1； myplot(hn， A)； %調(diào)用自編函數(shù)myplot繪制損耗函數(shù)曲線程序運行結(jié)果： 濾波器長度N=45。 單位脈沖響應(yīng)h(n)及其損耗函數(shù)曲線如題25*解圖所示。 請讀者運行程序查看h(n)的數(shù)據(jù)。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章題25*解圖有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計第章26*. 調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)fir1設(shè)計線性相位帶