數(shù)學(xué)建模灰色模型

1、數(shù)學(xué)建模灰色模型灰色系統(tǒng)及在建模中的應(yīng)用灰色系統(tǒng)及在建模中的應(yīng)用數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ鸵弧⒒疑到y(tǒng)介紹一、灰色系統(tǒng)介紹 華中科技大學(xué)的鄧聚龍教授80年代初創(chuàng)立的灰色系統(tǒng)是新興的橫斷學(xué)科。在短短的二十年里已得到了長足的發(fā)展。 目前，已經(jīng)成為社會、經(jīng)濟、科教、技術(shù)等很多領(lǐng)域進行預(yù)測、決策、評估、規(guī)劃、控制、系統(tǒng)分析和建模的重要方法之一。 特別是它對時間序列短、統(tǒng)計數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的建模與分析，具有獨特的功效。數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?灰色系統(tǒng)理論灰色系統(tǒng)理論是研究灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測、決策和控制的理論。它把一般系統(tǒng)論、信息論及控制論的觀點和方法延伸到社會、經(jīng)濟和生態(tài)等抽象系統(tǒng)，并結(jié)合數(shù)

2、學(xué)方法，發(fā)展出一套解決信息不完全系統(tǒng)（灰色系統(tǒng)）的理論和方法。數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?幾種不確定性方法的比較幾種不確定性方法的比較 模糊數(shù)學(xué)模糊數(shù)學(xué)著重研究“認知不確定”問題，其研究對象具有“內(nèi)涵明確，外延不明確內(nèi)涵明確，外延不明確”的特點。主要憑借經(jīng)驗憑借經(jīng)驗，借助于隸屬函數(shù)進行處借助于隸屬函數(shù)進行處理理。 概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計研究的是“隨機不確定隨機不確定”現(xiàn)象的歷史統(tǒng)計規(guī)律，考察具有多種可能發(fā)生的結(jié)果之“隨機不確定”現(xiàn)象中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性的大小。其出發(fā)點是，大樣本，且對象服從某種大樣本，且對象服從某種典型分布典型分布。數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)研究的是“部分信息明確，部分信部分信息明

3、確，部分信息未知息未知”的“小樣本，貧信息小樣本，貧信息”不確定性問題，并依據(jù)信息覆蓋，通過序列算子的作用探索事物運動的現(xiàn)實規(guī)律。其特點是“少數(shù)據(jù)建模少數(shù)據(jù)建?！保匮芯俊巴庋用鞔_，內(nèi)涵不明確外延明確，內(nèi)涵不明確”的對象。數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?050年中國人口控制在年中國人口控制在15億到億到16億之間億之間數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蜆涓咴跇涓咴?0米至米至30米米數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ晚椖宽椖炕疑到y(tǒng)灰色系統(tǒng)概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計模糊數(shù)學(xué)模糊數(shù)學(xué)研究對象研究對象貧信息不確定隨機不確定認知不確定基礎(chǔ)集合基礎(chǔ)集合灰色朦朧集康托集模糊集方法依據(jù)方法依據(jù)信息覆蓋映射映射途徑手段途徑手段灰序列生成頻率分布截集數(shù)據(jù)要求數(shù)據(jù)要求

4、任意分布典型分布隸屬度可知側(cè)側(cè) 重重內(nèi)涵內(nèi)涵外延目目 標(biāo)標(biāo)現(xiàn)實規(guī)律歷史統(tǒng)計規(guī)律認知表達 特特 色色小樣本大樣本憑借經(jīng)驗表表1.1 1.1 三種不確定性方法的比較三種不確定性方法的比較數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?灰色系統(tǒng)的基本原理灰色系統(tǒng)的基本原理公理公理1、差異信息原理。、差異信息原理。 “差異”是信息，凡信息必有差異。公理公理2、解的非唯一性原理、解的非唯一性原理。 信息不完全、不確定的解是非唯一的。該原理是灰色系統(tǒng)理論解決實際問題所遵循的基本法則。公理公理3、最少信息原理、最少信息原理 灰色系統(tǒng)理論的特點是充分開發(fā)利用已占有的“最少信息”。數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ凸砉?、認知根據(jù)原理。、認知根據(jù)原理。

5、信息是認知的根據(jù)。公理公理5、新信息優(yōu)先原理。、新信息優(yōu)先原理。 新信息對認知的作用大于老信息。公理公理6、灰性不滅原理、灰性不滅原理 “信息不完全”是絕對的。數(shù)學(xué)建模灰色模型1.3 灰數(shù)及其運算灰數(shù)及其運算灰數(shù)灰數(shù)：只知道大概范圍而不知道其確切值的數(shù)，通常記為：“ ”。例如： 1. 頭發(fā)的多少才算是禿子。應(yīng)該是個區(qū)間范圍。模糊 2.多少層的樓房算高樓，中高樓，低樓。 3.多么大的蘋果算大蘋果，小蘋果。 數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ突覕?shù)的種類：灰數(shù)的種類： a、僅有下界的灰數(shù)。、僅有下界的灰數(shù)。 有下界無上界的灰數(shù)記為：有下界無上界的灰數(shù)記為： a, b、僅有上界的灰數(shù)。、僅有上界的灰數(shù)。 有上界無下界的

6、灰數(shù)記為：有上界無下界的灰數(shù)記為： - ,b c、區(qū)間灰數(shù)、區(qū)間灰數(shù) 既有上界又有下界的灰數(shù)：既有上界又有下界的灰數(shù)： a, b d、連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù)、連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù) 在某一區(qū)間內(nèi)取有限個值的灰數(shù)稱為離散灰在某一區(qū)間內(nèi)取有限個值的灰數(shù)稱為離散灰數(shù)，取值連續(xù)地充滿某一區(qū)間的灰數(shù)稱為連續(xù)數(shù)，取值連續(xù)地充滿某一區(qū)間的灰數(shù)稱為連續(xù)灰數(shù)?；覕?shù)。數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ投?、灰色系統(tǒng)模型二、灰色系統(tǒng)模型 通過少量的、不完全的信息，建立灰色微分通過少量的、不完全的信息，建立灰色微分預(yù)測模型，對事物發(fā)展規(guī)律作出模糊性的長期描預(yù)測模型，對事物發(fā)展規(guī)律作出模糊性的長期描述，是模糊預(yù)測領(lǐng)域中理論、方法較為完善的預(yù)述，是

7、模糊預(yù)測領(lǐng)域中理論、方法較為完善的預(yù)測學(xué)分支之一。測學(xué)分支之一。 灰色系統(tǒng)理論認為任何隨機過程都是在一定灰色系統(tǒng)理論認為任何隨機過程都是在一定幅值范圍和一定時區(qū)內(nèi)變化的灰色量，并把隨機幅值范圍和一定時區(qū)內(nèi)變化的灰色量，并把隨機過程看成灰色過程。過程看成灰色過程。數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ停ㄒ唬ㄒ唬?不需要大量的樣本。不需要大量的樣本。（二）（二） 樣本不需要有規(guī)律性分布。樣本不需要有規(guī)律性分布。（三）（三） 計算工作量小。計算工作量小。（四）（四） 定量分析結(jié)果與定性分析結(jié)果不會不一致。定量分析結(jié)果與定性分析結(jié)果不會不一致。（五）（五） 可用于近期、短期，和中長期預(yù)測?？捎糜诮凇⒍唐?，和中長期預(yù)測。

8、（六）（六） 灰色預(yù)測精準(zhǔn)度高?；疑A(yù)測精準(zhǔn)度高。 灰色模型的優(yōu)點灰色模型的優(yōu)點:數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.1 灰生成技術(shù)灰生成技術(shù)灰色序列生成灰色序列生成：是一種通過對原始數(shù)據(jù)的挖掘、整理來尋求數(shù)據(jù)變化的現(xiàn)實規(guī)律的途徑途徑，簡稱灰生成?；疑商攸c灰生成特點：在保持原序列形式的前提下，改變序列中數(shù)據(jù)的值與性質(zhì)。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機性，顯現(xiàn)其規(guī)律性?；疑傻淖饔茫ㄒ饬x）灰生成的作用（意義）1.統(tǒng)一序列的目標(biāo)性質(zhì)，為灰決策提供基礎(chǔ)。2.將擺動序列轉(zhuǎn)換為單調(diào)增長序列，以利于灰建模。3.揭示潛藏在序列中的遞增勢態(tài)，變不可比為可比序列。數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ统Ｒ姷膸追N灰生成類型：常見的幾種灰生成類

9、型：1. 累加生成算子（累加生成算子（AGO）2. 逆逆累加生成算子（累加生成算子（ IAGO）3. 均值生成算子（均值生成算子（MEAN）4. 級比生成算子級比生成算子數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?. 累加生成算子（累加生成算子（AGO）定義 它是對原序列中的數(shù)據(jù)依次累加以得到生成序列。令 為原序列(0)x (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,Xxxxn我們說 是 的AGO序列，并記為(1)X(0)X(1)(0) XAGO X當(dāng)且僅當(dāng) (1)(1)(1)(1)1 ,2 ,Xxxxn并滿足(1)(0)1( )( )kmxkxm(1,2, )kn數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ屠? 擺動序列為：(0)1, 2, 1.5,

10、3X通過AGO可以加工成單調(diào)增序列：(0)(1) (1, 3, 4.5, 7.5)AGO XX00.511.522.533.544.5501234567891000.511.522.533.544.55012345678910(0)X(1)X數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?. 逆累加生成算子（逆累加生成算子（IAGO）定義 它是對AGO生成序列中相鄰數(shù)據(jù)依次累減，又稱累減生成。令 為原序列(0)X (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,Xxxxn稱 是 的IAGO序列，并記為Y(0)X(0) YIAGO X當(dāng)且僅當(dāng)(1), (2), ( )Yyyy n并 滿足( )y kY(0)(0)( )( )(1)y k

11、xkxk數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ屠?令原始序列 為(0)X (0)(0)(0)(0)(0)(0)1 ,2 ,3 ,4 ,5Xxxxxx(1,1,1,1,1)(0)(1) (1,2,3,4,5)AGO XX(1) 1,2 1,32,43,54IAGO X(1,1,1,1,1)這表明(1)(0)(0) ( )IAGO XIAGO AGO XX數(shù)學(xué)建模灰色模型3. 均值生成算子（均值生成算子（MEAN） (1)(1)(1)(1)1 ,2 ,Xxxxn定義 它是將AGO序列中前后相鄰兩數(shù)取平均數(shù)，以獲得生成序列。令 為 的AGO序列稱 為 的MEAN序列，并記為(1)Z(0)X(1)X(1)X(1)(1) Z

12、MEAN X當(dāng)且僅當(dāng) (1)(1)(1)(1)1 ,2 ,Zzzzn并且每個 滿足下述關(guān)系(1)(1)( )zkZ數(shù)學(xué)建模灰色模型 (1)(1)(1)1( )(1)2zkxkxk例3 對于 ，有 (1)(1,2,3,4,5)X(1)(1)(1)(1)(1) (1),(2),(3),(4)MEAN Zzzzz0.5(12),0.5(23),0.5(34),0.5(45)1.5,2.5,3.5,4.5數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?. 級比生成算子級比生成算子定義 設(shè)序列 ，則稱 (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,Xxxxn(0)(0)(1)( ),( )xkkxk2,3, .kn為序列 的級比。(1)X檢驗

13、準(zhǔn)則檢驗準(zhǔn)則 設(shè)序列 的級比滿足 (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,Xxxxn2211( )(, )nnkee時，序列 可做GM(1,1)建模。(1)X數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.2 GM（1，1）模型模型 灰色理論灰色理論認為系統(tǒng)的行為現(xiàn)象盡管是朦朧的，數(shù)據(jù)是復(fù)雜的，但它畢竟是有序的，是有整體功能的?；覕?shù)的生成，就是從雜亂中尋找出規(guī)律。同時，灰色理論建立的是生成數(shù)據(jù)模型，不是原始數(shù)據(jù)模型。因此，灰色預(yù)測的數(shù)據(jù)是通過生成數(shù)據(jù)的GM(1,1)模型所得到的預(yù)測值的逆處理結(jié)果。 數(shù)學(xué)建模灰色模型GM(1,1)的的符號符號含義含義：G M ( 1, 1 )Grey灰色Model模型1階方程1個變量數(shù)學(xué)建?；?/p>

14、色模型定義1 設(shè) ，和 (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,Xxxxn (1)(1)(1)(1)1 ,2 ,Xxxxn，則稱(0)(1)( )( )xkaxkb為GM(1,1)模型的原始形式。定義2 設(shè) ，其中 ，則稱 (1)(1)(1)(1)1 ,2 ,Zzzzn (1)(1)(1)0.5( )0.5(1)zkxkxk(0)(1)( )( )xkazkb為GM(1,1)模型的基本形式。數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ妥⒁猓涸夹蛄?(0)(0)(0)(0)1 ,2 ,Xxxxn必是非負非負的，其中 ， 。(0)( )0 xk 1,2,kn若原始序列 不是非負的，則需要對 中的元素做平移變換平移變換，即令 其

15、中 ， 。(0)X(0)X(0)(0)( )( )xkxk+1,2,kn0 顯然，由此得到的累加生成序列 和均值生成序列 都是非負非負的。 (1)X(1)Z數(shù)學(xué)建模灰色模型 關(guān)于GM(1,1)模型 的參數(shù)a和b如何確定？(0)(1)( )( )xkazkb若 為參數(shù)列，且( , )TPa b(0)(0)(0)(2)(3)( )xxYxn(1)(1)(1)(2)1(3)1( )1zzBzn則其最小二乘估計參數(shù)列滿足1, TTTPa bBBB Y問題1數(shù)學(xué)建模灰色模型 關(guān)于GM(1,1)模型 的解如何確定？(0)(1)( )( )xkazkb問題2(白化方程)解得其時間響應(yīng)函數(shù)為：(1)(1)d

16、xa xbd t(1)(0)( )(1)akbbxtxeaa 通過對一般微分方程的深刻剖析定義了系列的灰導(dǎo)數(shù)，從而使我們能夠利用離散數(shù)據(jù)序列建立近似的微分方程模型：數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.解得時間響應(yīng)序列為：(1)(0)(1)(1)akbbxkxeaa(0)(1)(1)(0)(1)(1)( )1(1)aakbxkxkxkexea 2. 原始數(shù)據(jù)序列 的預(yù)測值：(2,3, )kn(0)X數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ妥⒁猓?0)( )xk1.(1,2, )kn是原始數(shù)據(jù)序列(0)( )xk(1,2, )kn的擬合值。2.(0)( )xk()kn是原始數(shù)據(jù)序列預(yù)測值。數(shù)學(xué)建模灰色模型如何檢驗GM(1,1)模型的精度

17、？問題3殘差：殘差：(0)(0)( )( )( )q kxkxk平均相對誤差：平均相對誤差：相對誤差：相對誤差：精度：精度：(0)(0)(0)(0)( )( )( )( )100%100%( )( )q kxkxkkxkxk21()( )1nkavgkn01()100%pavg數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?后驗差檢驗 關(guān)聯(lián)度檢驗 級比偏差檢驗此外,還有數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ徒⒒疑A(yù)測模型的一般步驟建立灰色預(yù)測模型的一般步驟 第一步：級比檢驗，建?？尚行苑治觥?第二步：數(shù)據(jù)變換處理。 第三步： 用GM(1,1)建模。 第四步：模型檢驗。數(shù)學(xué)建模灰色模型灰建模實例：灰建模實例：北方某城市北方某城市1986-199

18、2年交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)年交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)序號序號 年份年份 Leq序號序號 年份年份 Leq 1 1986 71.1 2 1987 72.4 3 1988 72.4 4 1989 72.1 5 1990 71.4 6 1991 72.0 7 1992 71.6表：某城市近年來交通噪聲數(shù)據(jù)表：某城市近年來交通噪聲數(shù)據(jù)dB(A)數(shù)學(xué)建模灰色模型 第一步：級比檢驗，建?？尚行苑治?。1.建立交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)時間序列： (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,7Xxxx(71.1, 72.4, 72.4, 72.1, 71.4, 72.0, 71.6)2. 求級比：(0)(0)(1)( )( )x

19、kkxk(2),(3),(7)(0.9820, 1.0000, 1.0042, 1.0098, 0.9917, 1.0059)數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?. 級比判斷：2211( ), nnkee由于所有的 ，( )0.778800783, 1.284025417k(2,3,7)k ，故可以用 作滿意的GM(1, 1)建模。(0)X數(shù)學(xué)建模灰色模型 第二步： 用GM(1,1)建模。1. 對原始數(shù)據(jù) 作一次累加：(0)X(1)(0)1( )( )kmxkxm(1,2,7)k (1)(1)(1)(1)1 ,2 ,7Xxxx得：(71.1, 143.5, 215.9, 288, 359.4, 431.4, 5

20、03)數(shù)學(xué)建模灰色模型2. 構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y ： (1)(1)(1)12(1)(2)107.32zxx (1)(1)(1)13(2)(3)179.32zxx (1)(1)(1)17(6)(7)467.22zxx (1)(1)(1)15(4)(5)323.72zxx (1)(1)(1)14(3)(4)251.952zxx (1)(1)(1)16(5)(6)395.42zxx數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ陀谑堑玫剑?0)(0)(0)(0)(0)(0)72.4(2)72.4(3)72.1(4),71.4(5)72.0(6)71.6(7)xxxYxxx(1)(1)(1)(1)(1)(1)107.3 1(2

21、) 1179.7 1(2) 1251.95 1(2) 1323.7 1(2) 1359.4 1(2) 1467.2 1(2) 1zzzBzzz 數(shù)學(xué)建模灰色模型3.最小二乘估計求參數(shù)列 ：( , )TPa b0.0023437972.65726961, TTTPa bBBB Y于是得到 。0.00234379,72.6572696ab數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?. 建立模型：(0)(1)( )0.00234379( )72.6572696xkzk解得時間響應(yīng)序列為：(1)(0) (1)(1)akbbxkxeaa0.0023437930928.8525930999.95259ke（） 數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.

22、 求生成數(shù)列值 及模型還原值 ：(0)(1)xk (1) (1)xk 令 代入時間響應(yīng)函數(shù)可算得 ，其中取 。1, 2, 6k (1) ( )xk(1)(0)(1)(1)(1)(1)71.1xxx由累減生成 ，得還原值：0)(0)(0)( )( )(1)xkxkxk (0)(0)(0)(0)1 ,2 ,7xxxx(71.1, 72.4, 72.2, 72.1, 71.9, 71.7, 71.6)數(shù)學(xué)建模灰色模型 第三步： 模型檢驗。序號序號 年份年份 原始值原始值模型值 殘差 相對誤差 1 1986 71.1 2 1987 72.4 3 1988 72.4 4 1989 72.1 5 1990

23、 71.4 6 1991 72.0 7 1992 71.6 71.1 0 0 72.4 0 0 72.2 0.2 0.28% 72.1 0 0 71.9 -0.5 -0.7% 71.7 0.3 0.42% 71.6 0 0 表：表：GM(1,1)模型檢驗表模型檢驗表數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ推骄鄬φ`差：平均相對誤差：21()( )0.0021nkavgkn01()100%99.8%pavg精度：精度： 經(jīng)驗證，該模型的精度較高，可進行預(yù)報和預(yù)測。數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型MCM2006年 A題艾滋病療法的艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測

24、評價及療效的預(yù)測 數(shù)學(xué)建模灰色模型 艾滋病(ADIS)是當(dāng)前人類社會最嚴重的瘟疫之一，從1981年美國發(fā)現(xiàn)首例艾滋病以來，它已經(jīng)吞噬了近3000萬人的生命。我國自1985年發(fā)現(xiàn)首例艾滋病到2003年底，我國有艾滋病感染者84萬人，到2010年感染艾滋病病毒人數(shù)將達到1000萬。艾滋病已對我國的經(jīng)濟發(fā)展造成威脅，并帶來了一系列政治與社會問題。對艾滋病療法的研究，意義重大。 背背 景景數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒”, 英文簡稱HIV.引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴

25、重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時，其數(shù)量會急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作。 數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?艾滋病治療的目的艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。 迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對人體有副作用，而且成本也很高。許多國家和醫(yī)療組織都在積極試驗、尋找更好的AIDS療法。數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛦栴}一問題一 美國艾滋病醫(yī)療試驗機構(gòu)ACTG公布的數(shù)據(jù)，ACTG320（見附件1）是同時服用zidovud

26、ine（齊多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韋）3種藥物的300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）。 利用附件1的數(shù)據(jù)預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間（繼續(xù)治療指在測試終止后繼續(xù)服藥，如果認為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。 數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛦栴}二問題二 美國艾滋病醫(yī)療試驗機構(gòu)ACTG公布的數(shù)據(jù)，193A（見附件2）是將1300多名病人隨機地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測試成本很高）。4種療法的日用藥分別為： 1. 600mg zidovudine或400mg didanosine（去羥基苷），