高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與無窮大量課件

1、高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量第七節(jié)第七節(jié) 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量一一.無窮小量無窮小量1.定義定義 如果在某變化過程中如果在某變化過程中, 變量變量y的的極限為零極限為零, 則稱則稱y為無窮小量為無窮小量.注注 (1)七種變化過程、數(shù)列及一般函數(shù)七種變化過程、數(shù)列及一般函數(shù).(2)談無窮小量時指明自變量變化過程談無窮小量時指明自變量變化過程.(3)區(qū)分無窮小量與一個非常小的數(shù)區(qū)分無窮小量與一個非常小的數(shù).(4)0是無窮小量是無窮小量.(5)精確性定義精確性定義.高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量

2、2.性質性質Ay lim Ay.量量為為同同一一過過程程中中的的無無窮窮小小其其中中 必要性必要性因因Axfxx )(lim0所以所以0)(lim0 Axfxx故故Axf )(為無窮小量為無窮小量記為記為)(x 則則).()(xAxf 充分性充分性由由)()(xAxf 得得 )(lim0 xfxx)(lim0 xAxx 0 A.A 證證高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量 此性質是把極限和無窮小量此性質是把極限和無窮小量聯(lián)系起來的一個性質聯(lián)系起來的一個性質, 如有涉及如有涉及極限與無窮小量的題型，極限與無窮小量的題型，想到這個性質想到這個性質.鄭重聲明鄭重

3、聲明應首先應首先高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量有限個無窮小量的和、差、積有限個無窮小量的和、差、積注注(1)本性質只對有限個無窮小量成立本性質只對有限個無窮小量成立.補充補充無窮小量與極限不為零的變量的商無窮小量與極限不為零的變量的商(2)本性質無窮小量的商不成立本性質無窮小量的商不成立.仍為無窮小量仍為無窮小量.仍為無窮小量仍為無窮小量.高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量無窮小量與有界變量的乘積無窮小量與有界變量的乘積設設Mxgxfxx )(, 0)(lim0則對則對),0( , 0 M , 0 總總存存在在

4、,00時時當當 xxMxf )(恒成立恒成立此時此時)()(xgxf)()(xgxf MM . 仍為無窮小量仍為無窮小量.證證高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量無窮小量.設設Mxgxfxx )(, 0)(lim0所以所以)()(xgxf)()(xgxf Mxf)( 從而從而MxfxgxfMxf )()()()(故故0)()(lim0 xgxfxx即即)()(xgxf為無窮小量為無窮小量.推論推論 常數(shù)與無窮小量的乘積為無窮小量常數(shù)與無窮小量的乘積為無窮小量.證證高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分

5、第7節(jié)無窮小量與無窮大量節(jié)無窮小量與無窮大量例例1求求.1sinlim0 xxx解解因為因為0lim0 xx11sin x所以所以. 01sinlim0 xxx注注 xxx1sinlim)1(0 xxx1sinlim)2( xxxsinlim)4( xxxsinlim)3(00011高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量二二.無窮小量的比較無窮小量的比較xx2x32x3x11 . 001. 0001. 00000023112 . 03 . 001. 0001. 002. 003. 00001. 0000001. 0002. 0003. 0000001. 00

6、00000001. 0高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量定義定義 設在某一過程中設在某一過程中, ,都是無窮小量都是無窮小量(1)如果如果, 0lim c 稱稱 與與高階的無窮小量高階的無窮小量.記作記作: o).( (2)如果如果, 0lim 稱稱 是是比比是同階無窮小量是同階無窮小量.特別地特別地, 當當1 c時時, 與與稱稱是等價無窮小量是等價無窮小量. 記作記作:(3)低階的無窮小量低階的無窮小量如果如果,lim 稱稱 是是比比高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量如果如果0)()(lim cxxk則稱則稱)(

7、)(xx是(4)階無窮小量階無窮小量.),0(kk的的注：并非任意兩個無窮小量都可進行比較注：并非任意兩個無窮小量都可進行比較例例0 xxx1sinx時時與與都是無窮小量都是無窮小量.但但xxxx1sinlim0 xx1sinlim0不存在不存在故二者不可進行比較故二者不可進行比較高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量注注(1)首先是無窮小量首先是無窮小量.(2)比值極限存在比值極限存在(或或).(3)常見的等價無窮小常見的等價無窮小:0 x時時xsinxarctanxarcsin1 xextanxcos1 1)1(1 nxxxxxx221xxn1xxxar

8、csinlim0tttsinlim0 1 )1ln(x x高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量(4)在求極限的過程中在求極限的過程中,等價無窮小量等價無窮小量可互相代換可互相代換.設設 則則 lim lim lim lim證證 lim lim.lim 注注本性質只適合乘除本性質只適合乘除,對加減失效對加減失效. lim lim lim lim高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量例例2求求.cos1)21ln(5sinlim20 xxxx 解解原式原式xxxx20sin)21ln(5sinlim 2025limxxxx

9、.10 原式原式220sin2)21ln(55sinlim10 xxxxxxx .10 高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量例例3 已知已知0 x時時,1cos1)1(312 xx與與 是等價無窮小是等價無窮小, 求常數(shù)求常數(shù). 解解 由題設有由題設有11cos1)1(lim3120 xxx 又又1cos1)1(lim3120 xxx 32 故故.23 2202131limxxx 1 高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量(05(05年考研真題年考研真題4 4分分) )極限極限.12sinlim2 xxxx解解 12si

10、nlim2xxxx12lim2 xxxx12lim22 xxx. 2 (04(04年考研真題年考研真題4 4分分) )若若, 5)(cossinlim0 bxaexxx則則., ba解解 因因0)(cossinlim0 bxxx故故0)(lim0 aexx1 a )(cossinlim0bxaexxx )(coslim0bxxxxb 15 從而從而. 4 b 高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量三三.無窮大量無窮大量定義定義 如果在某變化過程中如果在某變化過程中, 變量變量y的絕對值的絕對值無限增大無限增大則稱在該則稱在該y變量變量變化過程中變化過程中為無

11、窮大量為無窮大量.注注 (1)七種變化過程、數(shù)列及一般函數(shù)七種變化過程、數(shù)列及一般函數(shù)都成立都成立.(2)談無窮大量時指明自變量變化過程談無窮大量時指明自變量變化過程.(3)區(qū)分無窮大量與一個非常大的數(shù)區(qū)分無窮大量與一個非常大的數(shù).(4)精確性定義精確性定義.),lim:( y記記作作高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量定義定義 如果在某變化過程中如果在某變化過程中, 變量變量y無限無限則稱在該則稱在該y變化過程中變量變化過程中變量為正無窮大量為正無窮大量.增大增大定義定義 如果在某變化過程中如果在某變化過程中, 變量變量y則稱在該變化過程中變量則稱在該變

12、化過程中變量y無窮大量無窮大量.且絕對值無限增大且絕對值無限增大取負值取負值),lim:( y記記作作),lim:( y記記作作為負為負復習基本初等函數(shù)復習基本初等函數(shù),找出特殊無窮大量、找出特殊無窮大量、注注正無窮大量、負無窮大量正無窮大量、負無窮大量.高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量定義定義 設在某一過程中設在某一過程中, ,都是無窮大量都是無窮大量(1)如果如果, 0lim c 稱稱 與與低階的無窮大量低階的無窮大量.(2)如果如果, 0lim 稱稱 是是比比是同階無窮大量是同階無窮大量.特別地特別地, 當當1 c時時, 與與稱稱是等價無窮大量是等價無窮大量.(3)高階的無窮大量高階的無窮大量如果如果,lim 稱稱 是是比比四四.無窮大量的比較無窮大量的比較高等數(shù)學微積分第高等數(shù)學微積分第7節(jié)無窮小量與節(jié)無窮小量與無窮大量無窮大量五五.無窮小量與無窮大量的關系無窮小量與無窮大量的關系(1) 如果變量如果變量y是無窮大量是無窮大量, 則則y1是無窮小量是無窮小量.(2) 如果變量如果變量y是無窮小量是無窮小量,則則y1是無窮大量是無窮大量.并且并且0 y證證,0 因因 )(lim0 xfxx,由無窮大量定