線(xiàn)性代數(shù)01行列式定義

1、線(xiàn)性代數(shù)線(xiàn)性代數(shù)（第五版）（第五版）2 線(xiàn)性代數(shù)的線(xiàn)性代數(shù)的研究對(duì)象是研究對(duì)象是向量、向量空間，向量、向量空間，線(xiàn)性變換和線(xiàn)性方程組線(xiàn)性變換和線(xiàn)性方程組。 科學(xué)研究科學(xué)研究中的中的非線(xiàn)性模型可以被非線(xiàn)性模型可以被近似為線(xiàn)近似為線(xiàn)性模型，使得線(xiàn)性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科性模型，使得線(xiàn)性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中學(xué)和社會(huì)科學(xué)中。尤其是在計(jì)算機(jī)日益普及的尤其是在計(jì)算機(jī)日益普及的今天，解大型線(xiàn)性方程組、求矩陣的特征值與今天，解大型線(xiàn)性方程組、求矩陣的特征值與特征向量等已成為科學(xué)技術(shù)人員經(jīng)常遇到的課特征向量等已成為科學(xué)技術(shù)人員經(jīng)常遇到的課題。題。 1 1、為什么要學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)？、為什么要學(xué)習(xí)

2、線(xiàn)性代數(shù)？ 1 1、為什么要學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)？、為什么要學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)？n因此學(xué)習(xí)和掌握線(xiàn)性代數(shù)的理論和方法是因此學(xué)習(xí)和掌握線(xiàn)性代數(shù)的理論和方法是掌握現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)以及從事科學(xué)研究的重掌握現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)以及從事科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)和手段，同時(shí)是實(shí)現(xiàn)工科專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)要基礎(chǔ)和手段，同時(shí)是實(shí)現(xiàn)工科專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)的必備前提。目標(biāo)的必備前提。42 2、 課程特點(diǎn)課程特點(diǎn)一一個(gè)中心個(gè)中心 求解線(xiàn)性方程組求解線(xiàn)性方程組一種工具一種工具 矩陣矩陣( (向量、行列式向量、行列式) )3 3、代數(shù)發(fā)展的三個(gè)階段：、代數(shù)發(fā)展的三個(gè)階段：初等數(shù)學(xué)時(shí)期初等數(shù)學(xué)時(shí)期1717世紀(jì)中葉前世紀(jì)中葉前研究對(duì)象：數(shù)；研究對(duì)象：數(shù)；計(jì)算法則：加、減、

3、乘、除。計(jì)算法則：加、減、乘、除。變量數(shù)學(xué)時(shí)期變量數(shù)學(xué)時(shí)期1717世紀(jì)世紀(jì)1919世紀(jì)初期世紀(jì)初期研究對(duì)象：向量、矩陣、線(xiàn)性變化；計(jì)算法則：研究對(duì)象：向量、矩陣、線(xiàn)性變化；計(jì)算法則：類(lèi)似于加減乘除。類(lèi)似于加減乘除。抽象代數(shù)時(shí)期抽象代數(shù)時(shí)期1919世紀(jì)初世紀(jì)初研究對(duì)象：集合；研究對(duì)象：集合；計(jì)算法則：映射。計(jì)算法則：映射。第一章第一章 行列式行列式n內(nèi)容提要內(nèi)容提要1 1 二階與三階行列式二階與三階行列式2 2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)3 3 n 階行列式的定義階行列式的定義4 4 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)5 5 行列式按行（列）展開(kāi)行列式按行（列）展開(kāi)6 6 克拉默法則克拉默法則行列式

4、的概念行列式的概念. .行列式的行列式的性質(zhì)及計(jì)算性質(zhì)及計(jì)算. . 線(xiàn)性方程組的求解線(xiàn)性方程組的求解. . 行列式是線(xiàn)性代行列式是線(xiàn)性代數(shù)的一種工具！數(shù)的一種工具！要能掌握行列式要能掌握行列式的計(jì)算方法，快速的計(jì)算方法，快速計(jì)算計(jì)算行列式的值行列式的值. .1 二階與三階行列式二階與三階行列式我們從最簡(jiǎn)單的二元線(xiàn)性方程組出發(fā)我們從最簡(jiǎn)單的二元線(xiàn)性方程組出發(fā)，從，從二元一次方程的求解公式，引出行列式的二元一次方程的求解公式，引出行列式的定義定義. .一、二元線(xiàn)性方程組與二階行列式一、二元線(xiàn)性方程組與二階行列式二元線(xiàn)性方程組二元線(xiàn)性方程組 11112212112222a xa xba xa xb

5、由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，該方程組有唯一解時(shí)，該方程組有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 求解公式為求解公式為11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元線(xiàn)性方程組二元線(xiàn)性方程組 請(qǐng)觀察，此公式有何特點(diǎn)？請(qǐng)觀察，此公式有何特點(diǎn)？分母相同，由方程組的四

6、個(gè)系數(shù)確定分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再 相減而得相減而得.其求解公式為其求解公式為11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元線(xiàn)性方程組二元線(xiàn)性方程組 我們引進(jìn)新的符號(hào)來(lái)表示我們引進(jìn)新的符號(hào)來(lái)表示“四個(gè)四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減”. .1112112212212122aaDa aa aaa11122122aaaa記號(hào)記號(hào) 11122122aaaa數(shù)表數(shù)表 表達(dá)式表達(dá)式 稱(chēng)為

7、由該稱(chēng)為由該數(shù)表所確定的數(shù)表所確定的二階行列式二階行列式，即，即11221221a aa a 其中，其中， 稱(chēng)為稱(chēng)為元素元素. .(1,2;1,2)ijaiji 為為行標(biāo)行標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 為為列標(biāo)列標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原則：橫行豎列原則：橫行豎列二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算 11122122aaaa11221221a aa a主對(duì)角線(xiàn)主對(duì)角線(xiàn) 副對(duì)角線(xiàn)副對(duì)角線(xiàn) 即：主對(duì)角線(xiàn)上兩元素之積副對(duì)角線(xiàn)上兩元素之積即：主對(duì)角線(xiàn)上兩元素之積副對(duì)角線(xiàn)上兩元素之積 對(duì)角線(xiàn)法則對(duì)角線(xiàn)法則 二元線(xiàn)性方程組二元線(xiàn)性方程組 1111221211222

8、2a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式) )則上述二元線(xiàn)性方程組的解可表示為則上述二元線(xiàn)性方程組的解可表示為1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 例例1 求解二元線(xiàn)性方程組求解二元線(xiàn)性方程組 1212232121xxxx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以 11142,7DxD222137DxD 二、三階行列式二

9、、三階行列式定義定義 設(shè)有設(shè)有9個(gè)數(shù)排成個(gè)數(shù)排成3行行3列的數(shù)表列的數(shù)表原則：橫行豎列原則：橫行豎列引進(jìn)記號(hào)引進(jìn)記號(hào)稱(chēng)為稱(chēng)為三階行列式三階行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主對(duì)角線(xiàn)主對(duì)角線(xiàn) 副對(duì)角線(xiàn)副對(duì)角線(xiàn) 四四階以上的行列式，不再階以上的行列式，不再有對(duì)角線(xiàn)法則！有對(duì)角線(xiàn)法則！三階行列式的計(jì)算三階行列式的計(jì)算 對(duì)角線(xiàn)法則對(duì)角線(xiàn)法則 111213212223313233aaaD

10、aaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 注意：注意：對(duì)角線(xiàn)法則只適用于二階與三階行列式對(duì)角線(xiàn)法則只適用于二階與三階行列式. . 實(shí)線(xiàn)上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào)實(shí)線(xiàn)上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào)，順時(shí)針?lè)较蝽槙r(shí)針?lè)较?虛線(xiàn)上的三個(gè)元素的乘積冠虛線(xiàn)上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號(hào)，負(fù)號(hào)，逆時(shí)針?lè)较蚰鏁r(shí)針?lè)较?2-4-221-34-2D 例例2 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 解解按對(duì)角線(xiàn)法則，有按對(duì)角線(xiàn)法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .1

11、4 方程左端方程左端解解由由 得得2111230.49xx 例例3 求解方程求解方程 1229184322 xxxxD, 652 xx2560 xx3.2 xx或或2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)上節(jié)給出了二階、三階行列式的定義，那上節(jié)給出了二階、三階行列式的定義，那么一般的行列式如何定義？在定義之前需么一般的行列式如何定義？在定義之前需先引進(jìn)排列、逆序數(shù)的概念。先引進(jìn)排列、逆序數(shù)的概念。引例引例用用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解解1 2 3123百位百位3 3種放法種放法十位十位1231個(gè)位個(gè)位12 32 2種放法

12、種放法1 1種放法種放法種放法種放法. .共有共有6123 問(wèn)題問(wèn)題 把把 n 個(gè)不同的元素排成一列，共有多少種不同的個(gè)不同的元素排成一列，共有多少種不同的 排法？排法？定義定義 把把 n 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 n 個(gè)元素個(gè)元素的的全排列全排列. n 個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn 表示表示.(1) (2)3 2 1!nPnnnn 顯然顯然 即即n 個(gè)不同的元素一共有個(gè)不同的元素一共有n! 種不同的排法種不同的排法.所有所有6種不同的排法中，只有一種排法種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然

13、）中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前數(shù)排在小的數(shù)之前. .因此大部分的排列都不是因此大部分的排列都不是“順序順序”，而是而是“逆序逆序”. . 3個(gè)不同的元素一共有個(gè)不同的元素一共有3! =6種不同的排法種不同的排法123，132，213，231，312，321對(duì)于對(duì)于n 個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序.n 個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義定義 當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，

14、就就稱(chēng)這兩個(gè)元素組成一個(gè)稱(chēng)這兩個(gè)元素組成一個(gè)逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考題：思考題：還能找到其它逆序嗎？還能找到其它逆序嗎？答：答：2和和1，3和和1也構(gòu)成逆序也構(gòu)成逆序.定義定義 排列中所有逆序的總數(shù)稱(chēng)為此排列的排列中所有逆序的總數(shù)稱(chēng)為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù).排列排列 的逆序數(shù)通常記的逆序數(shù)通常記為為 . .1 2ni ii1 2()nt i ii奇排列：奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列. .偶排列：偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列. .思考題：思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？符合標(biāo)

15、準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？ 答：答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：123）的逆序數(shù)）的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列. .計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法則此排列的逆序數(shù)為則此排列的逆序數(shù)為12ntttt設(shè)設(shè) 是是 1, 2, , n 這這n 個(gè)自然數(shù)的任一排列，個(gè)自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序. 先看有多少個(gè)比先看有多少個(gè)比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ；再看有多少個(gè)比再看有多少個(gè)比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ;最后看有多少個(gè)比最后看有多少個(gè)比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在

16、前面，記為前面，記為 ;12np pp1p1p1t2p2p2tnpnpnt例例1：求排列求排列 32514 的逆序數(shù)的逆序數(shù).解：解：(32514)010315t 練習(xí)：練習(xí)：求排列求排列 453162 的逆序數(shù)的逆序數(shù).9t 解：解：3 n 階行列式的定義階行列式的定義本節(jié)從三階行列式的規(guī)律來(lái)給出任意本節(jié)從三階行列式的規(guī)律來(lái)給出任意n n階行階行列式的定義。并介紹了對(duì)角型、上（下）列式的定義。并介紹了對(duì)角型、上（下）三角型等特殊行列式三角型等特殊行列式一、概念的引入一、概念的引入111213212223313233aaaDaaaaaa 1122331223311321321322311221

17、33112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a規(guī)律規(guī)律：不同行不同列的三個(gè)元素乘積的代數(shù)和不同行不同列的三個(gè)元素乘積的代數(shù)和1.1.三階行列式共有三階行列式共有6項(xiàng)，即項(xiàng)，即3!項(xiàng)項(xiàng)2.2.每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積3.3.每一項(xiàng)可以寫(xiě)每一項(xiàng)可以寫(xiě)成成 （正負(fù)號(hào)除外），其中（正負(fù)號(hào)除外），其中 是是1、2、3的某個(gè)排列的某個(gè)排列. .4.4.當(dāng)當(dāng) 是是偶排列偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)正號(hào)； 當(dāng)當(dāng) 是是奇排列奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào)負(fù)號(hào). . 123123pppaaa123p p p

18、123p p p123p p p所以，三階行列式可以寫(xiě)成所以，三階行列式可以寫(xiě)成 123123123()123( 1)t p p ppppp p paaa 其中其中 表示對(duì)表示對(duì)1、2、3的所有排列求和的所有排列求和. 123p p p 二階行列式有類(lèi)似規(guī)律二階行列式有類(lèi)似規(guī)律.下面將行列式推廣到一般的情形下面將行列式推廣到一般的情形. 111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a二、二、n 階行列式的定義階行列式的定義1. n 階行列式共有階行列式

19、共有 n! 項(xiàng)項(xiàng)2.2.每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的 n 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積3.3.每一項(xiàng)可以寫(xiě)每一項(xiàng)可以寫(xiě)成成 （正負(fù)號(hào)除外），其（正負(fù)號(hào)除外），其中中 是是1, 2, , n 的某個(gè)排列的某個(gè)排列. .4.4.當(dāng)當(dāng) 是是偶排列偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)正號(hào)； 當(dāng)當(dāng) 是是奇排列奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào)負(fù)號(hào). . 1212nppnpaaa12np pp12np pp12np pp1212121112121222()1212( 1)nnnnnt p ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記作作 ，其，其中中 為行

20、列式為行列式D的第的第( (i, j) )元素元素det()ijaija思考題：思考題： 成立成立嗎？嗎？答：答：符號(hào)符號(hào) 可以有兩種理解：可以有兩種理解：若理解成絕對(duì)值，若理解成絕對(duì)值，則則 ；若理解成一階行列式，若理解成一階行列式，則則 . .11 1 11 11 注意：注意：當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，一階行列式時(shí)，一階行列式|a| = a，注意不要與，注意不要與絕對(duì)值的記號(hào)相混淆絕對(duì)值的記號(hào)相混淆. 例如：一階行列式例如：一階行列式 . 11 依題意求解依題意求解111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 例：例：寫(xiě)出四階行列式中含有寫(xiě)出四階行列式中含有因子因子

21、 的項(xiàng)的項(xiàng). . 2311aa例：例：計(jì)算行列式計(jì)算行列式解：解：11233244a a a a 11233442.a a a a和和142323241000000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 解：解：112213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)ta a a a 14233341a a a a (4321)0123t 3 46.2 其中其中 111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 1