高等數(shù)學(同濟六版)——D81矢量課件

1、高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量數(shù)量關系數(shù)量關系 第八章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中: 點點, , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標法坐標法; ; 向量法向量法坐標坐標, , 方程（組）方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù) 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運算二、向量的線性運算 三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 向量及其線性運算 第七七章

2、高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量.a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21MM記作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又稱矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量稱為向量向徑 (矢徑):自由向量: 與起點無關的向量.起點為原點的向量.單位向量: 模為 1 的向量,.a或記作 a零向量: 模為 0 的向量,.00或，記作有向線段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b

3、平行, ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱 兩向量共線 .若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此 k 個向量共面 .記作a ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量二、向量的線性運算二、向量的線性運算1. 向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律 : 交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量

4、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量2. 向量的減法向量的減法三角不等式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ab)( ab有時特別當,ab aa)( aababaabababa0baba高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量aa3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個數(shù) ,.a規(guī)定 :時，0，同向與aa,0時,0時.0a;aa;1aa可見;1aa;aa 與 a 的乘積是一個新向量, 記作，反向與aa總之:運算律 : 結合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a則有單位向量.1aa因此aaa 機動 目錄 上頁 下

5、頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量定理定理1. 設 a 為非零向量 , 則( 為唯一實數(shù))證證: “ ”., 取 且再證數(shù) 的唯一性 .則,0故.即abab設 abba取正號, 反向時取負號, a , b 同向時則 b 與 a 同向,設又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量“ ”則,0 時當例例1. 設 M 為MBACD解解:ABCD 對角線的交點,0 時當ba,0 時當,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba

6、表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量xyz三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系. 坐標原點 坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點 o ,o 坐標面 卦限(八個)面xoy面yozzox面1. 空間直角坐標系的基本概念空間直角坐標系的基本概念機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量xyzo向徑在直角坐標系下 11坐標軸上的點 P, Q , R ;坐標面上的點 A , B , C點點 M特殊點

7、的坐標 :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點 M 的坐標坐標)原點 O(0,0,0) ;rr機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 M高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量坐標軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyzo高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量2. 向量的坐標表示向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設點 M , ),(zyxM則沿三個坐標軸方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNB

8、CijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標為此式稱為向量 r 的坐標分解式坐標分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 , ixOA, jyOBkzOC高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算設),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 則ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 時當aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對應坐標成比例:，為實數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版

9、)D81矢量例例2. 求解以向量為未知元的線性方程組ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得bax32)10, 1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量例例3. 已知兩點在AB直線上求一點 M , 使解解: 設 M 的坐標為, ),(zyx如圖所示ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及實數(shù), 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM )(OMOBOMOBOA(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

10、高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量說明說明: 由得定比分點公式定比分點公式:,121xx,121yy121zz,1時當點 M 為 AB 的中點 ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點公式中點公式:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式222zyx),(zyxr 設則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得兩點間的距離公式:),(1

11、21212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對兩點與, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量例例4. 求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟

12、六版)D81矢量例例5. 在 z 軸上求與兩點)7, 1 ,4(A等距解解: 設該點為, ),0,0(zM,BMAM因為 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點為及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?離的點 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量提示提示:(1) 設動點為, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 設動點為, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例

13、例6. 已知兩點)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量oyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設有兩非零向量 ,ba任取空間一點 O ,aOA作,bOBOAB稱 =AOB (0 ) 為向量 ba,的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標軸的夾角 , , rr稱為其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. 記作),(ba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟

14、六版)D81矢量oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質:的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量例例7. 已知兩點)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量例例8. 設點 A 位于第一卦限,解解: 已知作業(yè)作業(yè) P12 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19角依次為,43求點 A 的坐標 . ,43則222coscos1cos41因點 A 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故點 A 的坐標為 . )3,23,3(向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 ,6AO且OAOAAO第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高等數(shù)學(同濟六版)D81矢量備用題備用題解解: 因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 設,853kjim,742