動態(tài)法測量楊氏模量

1、南昌大學物理實驗報告課程名稱：普通物理實驗（2 ）實驗名稱： 動態(tài)法測量楊氏模量學院： 理學院專業(yè)班級:應用物理學 152班學生姓名：學號：實驗地點： B510座位號： 22實驗時間：第二周 星期五 下午 4點開始一、實驗目的：1、理解動態(tài)法測量楊氏模量的基本原理。2、掌握動態(tài)法測量楊氏模量的基本方法，學會用動態(tài)法測量楊氏模量。3、了解壓電陶瓷換能器的功能，熟悉信號源和示波器的使用。學會用示波器觀察判斷樣品共振的方法。4、培養(yǎng)綜合運用知識和使用常用實驗儀器的能力。二、實驗儀器：信號發(fā)生器，動態(tài)彈性模量測定儀，銅棒，示波器。鉉丘說 k &三、實驗原理：1、楊氏模量是固體材料在彈性形變范圍內正應力

2、與相應正應變的比值，其數(shù)值的大小與材料的結構、化學成分和加 工制造方法等因素有關。測量楊氏模量有多種方法，可分為靜態(tài)法、動態(tài)法和波傳播法三類。此實驗中所采用動 態(tài)法，既可測量金屬的楊氏模量，也可以測量玻璃、陶瓷材料的楊氏模量，測量準確度也較高。2、如圖1所示，長度 振動方程）為L遠遠大于直徑d （ Ld）的一細長棒，作微小橫振動（彎曲振動）時滿足的動力學方程（橫y02y：x4 EJ-t2 =0x方向，y為棒上距左端x處截面的(1)其中，棒的軸線沿模量，單位為Pa或N/m2; p為材料密度；S為截面積;y方向位移，E為楊氏 J為某一截面的轉動慣 x圖1細長棒的彎曲振動量，J= Jy2ds。橫振動

3、方程的邊界條件為：棒的兩端（x=0、L）是自由端，端點既不受正應力也不受切向力。分離變量法求解方程（1），令y（x,t） =X（x）T（t），則有1 d4X _；?S 1 d2TX dx4 EJ T dt2由于等式兩邊分別是兩個變量x和 t的函數(shù)，所以只有當?shù)仁絻蛇叾嫉扔谕粋€常數(shù)時等式才成立。假設此常數(shù)為K4,則可得到下列兩個方程吟=0 dx424d T K EJ 丁 門 T =0dt2: S如果棒中每點都作簡諧振動，則上述兩方程的通解分別為(3)(4)于是可以得出式中X (x) =aehKx +a2shKx +a3 cos Kx +a4 sin Kx T(t) =bcost +申)y(x,

4、t) =(aiChKx a2shKx 亠 a3 cosKx a4 sin Kx) *bcos( t 亠匚)14EJ 2_K陽J(5)(6)(7)式（7）稱為頻率公式，適用于不同邊界條件任意形狀截面的試樣。如果試樣的懸掛點（或支撐點）在試樣的節(jié)點，則 根據(jù)邊界條件可以得到cosKL *chKL =1采用數(shù)值解法可以得出本征值 K和棒長L應滿足如下關系(8)(9)KnL=0，4.730，7.853，10.996，14.137,其中第一個根KoL=O對應試樣靜止狀態(tài)；第二個根記為KiL=4.730，所對應的試樣振動頻率稱為基振頻率（基頻）或稱固有頻率，此時的振動狀態(tài)如圖2（ a）所示；第三個根K2L

5、=7.853所對應的振動狀態(tài)如圖2（ b）所示，稱為一次諧波。由此可知，試樣在作基頻振動時存在兩個節(jié)點，它們的位置分別距端面0.224L和0.776L。將基頻對應的 心值代入頻率公式，可得到楊氏模量為圖2兩端自由的棒作基頻振動波形和一次諧波振動波形3 1 l4S 22 LmE =1.9978 102 =7.8870 10 一JJ(10)如果試樣為圓棒（dL）,則4J ：，所以式（10）可改寫為64.3L m 2E h.60674 f d4（同樣，對于矩形棒試樣則有L3m 2E 矩=6.9464 3 f bh3式中m為棒的質量，f為基頻振動的固有頻率，d為圓棒直徑，b和h分別為矩形棒的寬度和高度

6、。(12)如果圓棒試樣不能滿足 dL時，式（11）應乘上一個修正系數(shù) T1，即.3E =1.6067 L m f 2T1 d41上式中的修正系數(shù)可以根據(jù)徑長比d/L的泊松比查表1得到。表1徑長比與修正系數(shù)的對應關系(13)徑長比d/L0.010.020.030.040.050.060.080.10修正系數(shù)T11.0011.0021.0051.0081.0141.0191.0331.055由式（10）（12）可知，對于圓棒或矩形棒試樣只要測出固有頻率就可以計算試樣的動態(tài)楊氏模量，所以整個實驗的主要任務就是測量試樣的基頻振動的固有頻率。本實驗只能測出試樣的共振頻率，物體固有頻率f固和共振頻率f共是

7、相關的兩個不同概念，二者之間的關系為f“ f共【4：2(14)上式中Q為試樣的機械品質因數(shù)。一般Q值遠大于50,共振頻率和固有頻率相比只偏低0.005%，二者相差很小，通常忽略二者的差別，用共振頻率代替固有頻率。3、理論上試樣在基頻下共振有兩個節(jié)點，要測出試樣的基頻共振頻率，只能將試樣懸掛或支撐在0.224 L和0.776L的兩個節(jié)點處。但是，在兩個節(jié)點處振動振幅幾乎為零，懸掛或支撐在節(jié)點處的試樣難以被激振和拾振。4、實驗時由于懸絲或支撐架對試樣的阻尼作用，所以檢測到的共振頻率是隨懸掛點或支撐點的位置變化而變化的。懸掛點偏離節(jié)點越遠（距離棒的端點越近），可檢測的共振信號越強，但試樣所受到的阻尼

8、作用也越大，離試樣 兩端自由這一定解條件的要求相差越大，產生的系統(tǒng)誤差就越大。由于壓電陶瓷換能器拾取的是懸掛點或支撐點 的加速度共振信號，而不是振幅共振信號，因此所檢測到的共振頻率隨懸掛點或支撐點到節(jié)點的距離增大而變大。為了消除這一系統(tǒng)誤差，測出試樣的基頻共振頻率，可在節(jié)點兩側選取不同的點對稱懸掛或支撐，用外延測量法 找出節(jié)點處的共振頻率。四、實驗內容和步驟：1、連接儀器：動態(tài)彈性模量測定儀激振信號輸出端接激振器的輸入端，拾振信號的輸入端接拾振器的輸出端，拾振信號的輸出端接示波器 Y通道。2、 開機調試：開啟儀器的電源，調節(jié)示波器處于正常工作狀態(tài)，信號發(fā)生器的頻率置于適當擋位（例如2.5kHz擋）， 連續(xù)調節(jié)輸出頻率，此時激發(fā)換能器應發(fā)出相應聲響。輕敲桌面，示波器Y軸信號大小立即變動并與敲擊強度有關，這說明整套實驗裝置已處于工作狀態(tài)。3、鑒頻率與測量：由低到高調節(jié)信號發(fā)生器的輸出頻率，正確找出試樣棒的基頻共振狀態(tài)，從頻率計上讀出共振頻率。4、測量基頻共振頻率：取對稱的兩個節(jié)點測量，從外向內依次移動，記錄不同位置相應的基頻共