參數(shù)估計(jì)性質(zhì)的證明

1、、參數(shù)估計(jì)？與?2是丫的線性函數(shù)僅說明？是Y的線性函數(shù)，？的情況類似可以得到由?2的估計(jì)式，?(Xi X)(Y Y)( xy2 2 (Xi X)2(Xi X)Y(Xi X)2)xYKY(Xi X)2(Xi X)Y (Xi x)Y(XiX)2即？由隨機(jī)變量丫線性表出，從這一關(guān)系式還可理解到?的隨機(jī)性是由丫帶來的。參數(shù)估計(jì)線性性質(zhì)的重要性，是可以基于丫的統(tǒng)計(jì)分布建立參數(shù)估計(jì) ?和？ 統(tǒng)計(jì)分布，這對(duì)利用？和?2對(duì)真實(shí)參數(shù)i和2的統(tǒng)計(jì)推斷帶來了極大的方便。1、ki0。2、k 21ki(Xi X)23、kiXi1。4、ki(XiX) i。對(duì)于ki有如下一些性質(zhì),o二、最小二乘估計(jì)？與?2的無偏性質(zhì)僅說明

2、是2的無偏估計(jì)，？的無偏性類似可證。由的關(guān)于丫的線性表出式，K丫ki ( i2Xi Uj i ki 2 ki Xiki Ui2kiUi對(duì)？求數(shù)學(xué)期望并考慮零均值假定(E(u) 0)E代)E( 2kiU)2E(kUi)2KE(uJ2所以E( ?2)2這就證明了 ？具有無偏性。同理有E( ?),。三、最小二乘估計(jì)？與?2的最小方差性質(zhì)對(duì)于OLS估計(jì)式？和？，已知其方差為Var(?)2XNxi這里只證明Var(?)最小，Var(?)最小的證明可以類似得出。任設(shè)2的另一個(gè)線性無偏估計(jì)為2 ，wY其中同時(shí)w ki, ki-Xi2XiE( ；) E(wY)EWi( i2XiUi)1wi2WiXi2的無偏估

3、計(jì)，即E(*2)2，必須有w 0，wXj1Var( 2*) Var( wY)W2Var(Y)因?yàn)?也是2 2Wi因?yàn)?Var(Y) 22(Wi KK)2k2)上式最后一項(xiàng)中wKki2(Wiki)2(Wiki)2WXXiki2ki22Xi2(x2)2 2(WikiWiXi XWi1Xi2Xi（因?yàn)閣X 1)所以Var(2)(Wiki)2Var（ ?），由于2是任意設(shè)定的2的線性無偏估計(jì)式,2(Wiki)22 (Wki)2 Var(?)而2 0，因?yàn)閃i2ki，則有(Wi ki)0，為此Var(；)Var( ?)2只有 Wi ki 時(shí)，Var( 2)這表明2的OLS估計(jì)式具有最小方差性。一般地，將

4、具有最小方差性的無偏估計(jì)量，稱為該估計(jì)量滿足有效性。四、參數(shù)估計(jì)？與的一致性n_若樣本容量n趨于無窮時(shí)，有（Xi X）2 ，則i 1Plim ?1, Plim ?F面只證明具有一致性，？的一致性類似可證。e y? (Uiu) C?2)xi由?2的線性性及k的性質(zhì)，可得22kiY2ki(i 2Xi Uj)2KUi( 1 )考慮基本假定2和假定3并注意ki的定義，同時(shí)有k2 1（2）ki(Xj X)2所以E( ?2)2 E( kUi)22(ki2)22(Xi X)2（3）根據(jù)已知條件并考慮式（3），有l(wèi)imE(?22)2n0（4）再根據(jù)車貝雪夫不等式，對(duì)任意0P(l ?2| )-Ae(?22)2（

5、5）所以，由式（4）limP(| ?2nl ) 0這就證明了 具有一致性。一致性表明了，隨著樣本容量的增大，一個(gè)好的估計(jì)？應(yīng)該越來越靠近其真實(shí)值2，使得偏差2大的概率越來越小五、2最小二乘估計(jì)?2的證明用離差形式表示模型時(shí)y YiY(i2XiUi)(12XU)(UiU)2Xi而且? YY(?Xi)(?X)因此則有(Ui2)X(Uiu)2 (?22)2X2 2( ?2)(Ui u)xe2的期望E(e2)E (u u)2x2e(?2)22E(2) (ui u)Xi式中(1)E (uiu)2E2uin(u)2(2)N2E化2)2(3)2E( ?22)(ui所以E( e2) (n如果定義E(u2)u)2E(u： n-E(u1n12nn2u22U2(n1)u)x1) 2u；25氏2、un)2Un iUn)2Exui (-2 (XiXUXi)