高等數(shù)學(xué)32洛必塔法則課件

1、北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系思考題思考題試證：試證：2sin xx(0)2x，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系微分中值定理微分中值定理北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系0sin2limxxxx20ln(1)limxxxx求極限：0limlnxxx30sinlimxxxx1lim 1xxx0lim sinxxx北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 ()( )( )0( )lim( ).0 xaxf xF xf xF x如果在某種趨勢(shì)下，兩個(gè)函數(shù)與都趨于零或都趨于無窮大，那么極限可能存在、也可能不存在通常把這種極限定義：

2、或型為未定式稱例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系( )( )( )0lim( )lim( )0( )lim()( )( )( )limlim.( )( )xaxaxaxaxaf xF xaF xf xF xfxF xf xfxF xF x定理：設(shè)函數(shù)及在 點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且：，又存在 或?yàn)闊o窮大 ，則： 這種通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限這種通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系證證定義輔助函數(shù)定義輔

3、助函數(shù), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU內(nèi)內(nèi)任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)在在 ,為端點(diǎn)的區(qū)間上為端點(diǎn)的區(qū)間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條xFxf則有則有:)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系0,0( ),( )0,xf x F xx注2：當(dāng)時(shí) 未定式仍然成立洛必塔法則 當(dāng)時(shí)( )0( )

4、,( )( )0fxfx F xF x注1：如果仍屬型，且滿足 定理?xiàng)l件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，即.)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例1 1解解30tanlim.xxxx求30(tan)lim()xxxx原式220sec1lim3xxx1.3例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()00(,.注3：未定式也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例3

5、3解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )( axbxxcoscoslim0 ( )( )( )0lim( )lim( )( )lim()( )( )( )limlim.( )( )xaxaxaxaxaf xF xaF xf xF xfxF xf xfxF xF x 定理：設(shè)函數(shù)及在 點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且：，又存在 或?yàn)闊o窮大 ，則： 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例4 4解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxx

6、xsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系lnlim(0)nxxx練習(xí)：求!lim0nxnxlim(0,0)xxxe練習(xí)：求 1 1(1)( )lim0 xxxe 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法， 但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .例例5 5解解0tanlim.sintanxxxxxx求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec

7、2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 例例6 6解解0limln .(0)xxx求)0( 0lnlimxxx原式10011limlim0 xxxxx關(guān)鍵關(guān)鍵: :將這些類型的未定式化為將這些類型的未定式化為 洛必達(dá)法則可解決的類型洛必達(dá)法則可解決的類型 .),00()( 型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例7 7解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 0sinlimsinxxxxx原式0

8、1 coslim2xxx. 0 型型 . 2步驟步驟:20sinlimxxxx北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù).0 例例8 8解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(

9、cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對(duì)數(shù)得取對(duì)數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 注意：注意：洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系3200sin6( )6( ):lim0lim_xxxxf xf xxx練習(xí) 若，則注意：

10、不能用洛必達(dá)法則230033006( )6( )limlimsin6( )6sin6limlimxxxxf xxxf xxxxxf xxxxx2066cos6lim3xxx36北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系( )(0)1( )cos0( )01).( )02).( );3).( )0g xgg xxxf xxaxaf xxfxfxx例13. 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且確定 的值，使在點(diǎn)處連續(xù);求討論在點(diǎn)處的連續(xù)性。00( )coslim( )limxxg xxaf xx解1： 0lim( )sin(0)xg xxg北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系0( )(0)(0)limxf xff

11、x0 x 2.當(dāng)時(shí)：20( )cos(0)limxg xxxgx2 ( )sin ( )cos ( )x g xxg xxfxx0( )sin(0)lim2xg xxgx0( )coslim2xgxx1( (0) 1)2g北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系200 ( )sin ( )cos 3.lim( )limxxx g xxg xxfxx0 ( )cos lim2xx gxxx01lim ( )cos 2xgxx1 (0) 1(0)2gf( )0fxx 即，在點(diǎn)處連續(xù)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)令令gfy 三、小結(jié)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系思考題思考題對(duì)數(shù)列的極限，類似的法則是這樣敘述的：1111limlimlimnnnnnnnnnnnnnnyxxyyxstxxyyoylz：若數(shù)列單調(diào)增加且趨于無窮大， 且的極限存在， 定理則：12l