數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開課件

1、數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開1第三章 冪級數(shù)展開意義：1. 利用級數(shù)計算函數(shù)的近似值； 2. 級數(shù)法求解微分方程； 3. 以級數(shù)作為函數(shù)的定義； 4. 研究奇點附近函數(shù)的性質(zhì)。3.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)一、復(fù)級數(shù)概念(3.1.1) ,211kkkwwwwkkkvuwi數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開2原級數(shù)成為這樣復(fù)級數(shù) 歸結(jié)為兩個實級數(shù) ，實級數(shù)的一些性質(zhì)可移用于復(fù)級數(shù)。二、收斂性問題 1、收斂定義： 部分和 于 有確定的極限，便稱級數(shù)收斂；極限不存在或 ，便稱級數(shù)發(fā)散。1111iikkkkkkkkkvuvuw1kkw1kku1kkv, 3 , 2 1 ,1,nwAnkknnnnA lim數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開32

2、、柯西收斂判據(jù) （級數(shù)收斂的充分必要條件）： 對于任給的小正數(shù) ，必有 N 存在，使得 n N 時， 式中 p 為任意正整數(shù)。,1pnnkkw3、絕對收斂級數(shù)若 收斂，則 絕對收斂。 a. 絕對收斂級數(shù)改變先后次序，和不變； b. 兩個絕對收斂級數(shù)逐項相乘，其和收斂，為兩級數(shù)和之積。1221|kkkkkvuw1kkw為-N語言敘述的極限定義！數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開4 ,00BqApkkkkABcqpqpnnkllkkkkk00000nkknknqpc0數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開5三、函數(shù)項級數(shù)1、概念與收斂判據(jù) 設(shè) 是 z 平面上某區(qū)域 B中的單值解析函數(shù)。如果函數(shù)項 在 B 中（或某曲線 l 上

3、）所有點上都收斂，則說級數(shù)在B中（或某曲線 l 上）收斂。)()()()(211zwzwzwzwkkk), 3 , 2 , 1( )(kzwk1)(kkzw數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開6柯西收斂判據(jù) （級數(shù)收斂的充分必要條件）： 對B內(nèi)每點 z，任給小正數(shù) 0, 必有 N(, z) 存在，使得當 n N(, z) 時， 式中 p 為任意正整數(shù)。N一般隨 z 不同而不同，但如果對任給小正數(shù) 0, 存在與 z 無關(guān)的N(), 使得 n N() 時，上式成立，便說 在 B 內(nèi)一致收斂。 pnnkkzw1)(1)(kkzw為-N語言敘述的極限定義！數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開72、一致收斂級數(shù)的性質(zhì)記級數(shù)和為（1

4、）在B內(nèi)一致收斂的級數(shù)，如果級數(shù)的每一項 都是 B 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)的和 也是 B 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。（2）逐項求積分 在曲線 l 上一致收斂的級數(shù)，如果級數(shù)的每一項 都是 l 上的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)的和 也是 l 上的連續(xù)函數(shù)，而且級數(shù)可沿 l 逐項求積分。)(zw)(zwk)(zw)(zw)(zwk11d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開8（3）逐項求導(dǎo)數(shù)（外氏Weierstrass 定理） 設(shè)級數(shù) 在 中一致收斂， 在 中單值解析，則級數(shù)的和 也是 中的單值解析函數(shù)， 的各階導(dǎo)數(shù)可由 逐項求導(dǎo)數(shù)得到，即： 且最后的級數(shù) 在 內(nèi)的任意一個區(qū)域中一致收斂。

5、1)(kkzwB), 2 , 1 , 0( )(kzwkBB)(zw)(zw1)(kkzw1)()()()(knknzwzw1)()(knkzwB數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開93、級數(shù)一致收斂的外氏（Weierstrass）判別法，或優(yōu)級數(shù)判別法，或M判別法 若對于某區(qū)域 B (或曲線 l )上所有各點 z, 函數(shù)項級數(shù) 各項的模 （ 是與 z 無關(guān)的正數(shù))，而正的常數(shù)項級數(shù) 收斂，則 在區(qū)域 B (或曲線 l )上絕對且一致收斂。1kkm1)(kkzw ,| )(|kkmzw km1)(kkzw數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開103.2 冪級數(shù)冪級數(shù)一、定義 其中 為復(fù)常數(shù)。 這樣的級數(shù)叫作以z0為中心的冪

6、級數(shù)。二、冪級數(shù)斂散性 1、比值判別法（達朗貝爾判別法）(3.2.1) ,)()()(20201000zzazzaazzakkk|)(| )(| )(|20201000zzazzaazzakkk，2100aaaz)2 . 2 . 3(數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開11按比值判別法（達朗貝爾判別法）若則（3.2.2）收斂，而（3.2.1）絕對收斂。引入記號則即：若 ，則（3.2.1) 絕對收斂。 , 1|lim|lim010101zzaazzazzakkkkkkkk1limkkkaaRRaazzkkk10lim|數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開12另一方面，若 則 級數(shù)發(fā)散即： 收斂 發(fā)散Rzz|0 1lim|l

7、im10101RaazzazzakkkkkkkkRzz|0Rzz|0R：收斂半徑CR: 收斂圓收斂發(fā)散RCRz0數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開132、根式判別法：若 （3.2.2）收斂， （3.2.1）絕 對收斂 級數(shù)發(fā)散(收斂半徑的另一公式)kkakR1lim1|lim0kkkkzza1|lim0kkkkzzaR：收斂半徑收斂半徑CR: 收斂圓收斂圓收斂發(fā)散RCRz0數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開143、收斂圓內(nèi)冪級數(shù)絕對且一致收斂 作 在 有 對 應(yīng)用比值判別法 有 冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對且一致收斂！冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對且一致收斂！kkkkRazza10|)(|01|kkkRa1lim|lim1111111

8、RRRaaRaRakkkkkkkk)( 11RRCR10|RzzR：收斂半徑收斂半徑CR: 收斂圓收斂圓收斂發(fā)散RCRz0CR1R1數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開15三、例題例1 求 的收斂圓。t 為復(fù)數(shù) kttt21. 111limlim1kkkkaaR,111120ttttttnnnkk若, 1|t,1111lim10ttttnnkkn1).|(| 1112tttttk則解：數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開16例 2 求 的收斂圓。z 為復(fù)數(shù).解：tz 26421zzz321ttt1 11 lim lim1kkkktaaR1) |(| 1112642zzzzzR：收斂半徑收斂半徑CR: 收斂圓收斂圓收斂發(fā)散

9、RCRz0CR1R11|0| , 1|0|22zttRRzRzz數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開17四、冪級數(shù)所代表的函數(shù)的解析性質(zhì)1、冪級數(shù)每一項均是z的解析函數(shù)，而且在收斂圓內(nèi)任一閉區(qū)域中一致收斂，據(jù)外氏定理，這級數(shù)的和 w(z) 是收斂圓內(nèi)的一個解析函數(shù)2、冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項積分3、冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項求導(dǎo)11d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw1)()()()(knknzwzw數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開184、冪級數(shù)的回路積分表示0000d )(i 21d )(i 21d )(i 21)(111kCkkCkkkCRRRzzazzazwzw數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開193.3 解析函

10、數(shù)的泰勒（Taylor）級數(shù)展開：定理：設(shè) f (z) 在以 z0 為圓心的圓 CR 內(nèi) 解析，則 對圓內(nèi)的任意 z 點, f (z) 可展為冪級數(shù)， 其中展開系數(shù)為 為圓CR 內(nèi)包含 z 且與CR 同心的圓。00)()(kkkzzazf1!)(d)()(i 210)(10RCkkkkzfzfa1RC數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開20 It was in 1715 that Taylor published (with no consideration of convergence) his well-known expansion theorem. In 1717, Taylor applied h

11、is series to the solution of numerical equations. Recognition of the full importance of Taylors series awaited until 1755, when Euler applied them in his differential calculus, and still later, when Lagrange used the series with a remainder as the foundation of his theory of functions. Taylor was ed

12、ucated at St. Johns College of Cambridge University and early showed great promise in mathematics. He was admitted to the Royal Society and became its secretary, only to resign at the age of thirty- four so that he might denote his time to writing. Brook Taylor (Englishman, 1685-1731) 數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開21證

13、明: 作d )(i 21)(1RCzfzf 1 111002000000zzzzzzzzzzzz)( 11RRCR展開由柯西公式00000111)()(11zzzzzzzz（3.3.1）其中虛線圓周軌跡數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開22將（3.3.3）代入（3.3.1）逐項積分0100000011kkkkkkzzzzzzzzd )(i 21)()(11000RCkkkzfzzzf)|-(| )(!)()(0000)(Rzzzzkzfzfkkk即是以是以 z0 為中心的泰勒級為中心的泰勒級數(shù)，展開是唯一的。數(shù)，展開是唯一的。（3.3.3）d )(i 2!)(1)(lkkzfkzf數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開2

14、3例1、求 ez 在 鄰域的 Taylor 展開。解：因為故收斂半徑 1|e|)e ()(00)(0)(zzzkzkzf.! 2! 11e02kkkzkzkzzz00z!)!1(limlim1kkaaRkkkk數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開24例2、求 ez 在 z0=1 鄰域的 Taylor 展開。解：因為故收斂半徑eeznz1)(|)(!) 1(! 2) 1(! 1) 1(12kzzzeekz!)!1(limlim1kkaaRkkkk數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開25例3、求 和 在 z=0 鄰域的 Taylor 展開。解： 故0|)(sin ;) 1(|)(sin0)2(0)12(zkkzkzz 0)0

15、( ,sin)(1)0( ,cos)(0)0( ,sin)( 1)0( ,cos)( 0)0( ,sin)()4(1)4(1)3(1)3(1111111fzzffzzffzzffzzffzzf0121253)!12() 1()!12() 1(! 5! 3! 1sinkkkkkzkkzzzzzzzfsin)(1zzfcos)(2數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開26收斂半徑類似收斂半徑02242)!2() 1( )!2() 1(! 4! 21coskkkkkzkkzzzz)!2()!22(limlim1kkaaRkkkk)!12()!32(limlim1kkaaRkkkk數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開27例4、求

16、1/(1-z)2 在 z=0 鄰域的 Taylor 展開。解：因為 而 所以zzz11dd)1 (1201113202) 1( .4321dd11dd)1 (1kknnnkkzkznnzzzzzzzzz0 , 1 1 knkn當令.1112zzz數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開28收斂半徑 ，級數(shù)在 |z|1時收斂！ 一般而言, 收斂半徑為展開中心至最近奇點之距離。 此例收斂半徑 R=1。 事實上，該函數(shù)的奇點為 z =1, 等于 z = 0 與 z =1 兩點間的距離。121limkkRk0324320222232)2)(1(.) 1)(2(.452423221.)54321 (dd21dd2111d

17、d21)1 (1kknkkzkkznnzzzzzzzzzzzzz1)3)(2()2)(1(limlim1kkkkaaRkkkk數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開29二、多值函數(shù)的 Taylor 展開 多值函數(shù)在確定了單值分支后，可象單值函數(shù)那樣在各單值分支上作泰勒展開。例5、在 展開zzfln)(10z ! 3) 1 ( ,! 3)(! 2) 1 ( ,! 2)(1) 1 ( ,! 1)( 1) 1 ( ,1)( i 21ln) 1 ( ,ln)()4(4)4()3(3)3(2fzzffzzffzzffzzfnfzzf )!1() 1() 1 ( )!1() 1()( 1)(1)(kfzkzfkkkkk數(shù)

18、學(xué)物理方法冪級數(shù)展開30收斂半徑 R=1。n=0的那一支為主值分支。1)|1-(| ) 1() 1(2i)(11zzknzfkkk1oyx數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開31例6、求 在 鄰域的 Taylor 展開（m不是整數(shù)）。解：mzzf)1 ()(00zmkkmkmmmmmmmmkmmmmfzkmmmmzfmmmfzmmmzfmmfzmmzfmfzmzffzzf1 ) 1()2)(1()0( )1)(1()2)(1()( 1 )2)(1()0( ,)1)(2)(1()(1 ) 1()0( ,)1)(1()( 1)0( ,)1 ()( 1)0( ,)1 ()()()()3(3)3(21數(shù)學(xué)物理方法冪

19、級數(shù)展開320022)!( !1 1 !) 1() 1( ! 2) 1(! 111 !1 ) 1() 1( ! 21 ) 1(! 111)(kkmkkmkmkmmmmzkmkmzkmzkkmmmzmmzmzkkmmmzmmzmzf從而從而m 不是整數(shù)!此為非整數(shù)二項式定理數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開33收斂半徑 R=1。式中n=0為主值分支。三、無窮遠點鄰域內(nèi)的泰勒展開 若存在R, 使 f (z) 在以 z=0 為圓心，R為半徑的圓外（包括 ）解析， 作變換 有)2, 1, 0,( e)e (12i2inmnmnmtz1)(1ttf22102210)()(zazaazftataat數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)

20、展開343.4 解析延拓解析延拓解析延拓是解析函數(shù)理論中的一個重要概念(3.2.7) 1)|(| 110tttlk 1) |1-(| (3.3.10) 4) 1(3) 1(2) 1() 1(2 i ln432zzzzznz(3.2.8) 1)|(| 1116422zzzzz(3.3.11) 1)|z(| ,1)(10kkmmzkmz數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開35一、解析延拓的定義： 設(shè)已知一個函數(shù) f1(z) 在區(qū)域 B1 中解析。如果在與 B1 有重疊部分b(可以是一條線)的另一區(qū)域 B2 內(nèi)存在一個解析函數(shù) f2(z), 在 b 中 稱 f2(z) 為 f1(z) 在 B2中的解析延拓；反過來

21、， f1(z) 也是 f2(z) 在 B1 中的解析延拓。 ),()(21zfzfB2B1bf1(z)f2(z)數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開36 通常在兩類問題中用到解析延拓:(1)已知在某區(qū)域中有定義的解析函數(shù)，例如用級數(shù)、積分或者其他表達式來表達的函數(shù)，用解析延拓的方法擴大其定義域和解析范圍。 ex, sin x, cos x ez, sin z, cos z(2)已知數(shù)學(xué)問題的解是某區(qū)域 B 內(nèi)(除了個別奇點外)的解析函數(shù)。但求解的方法只能給出在B的某一子區(qū)域 B 內(nèi)才有效的函數(shù)表達式，利用解析延拓的方法，可以從這個表達式推算出解在 B 的其他子區(qū)域中的表達式。數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開37二、延

22、拓方法：原則上講，可通過泰勒展開進行。例： 1)|(| 11)(01zzzzfkk0121122kkiiif021121122kkiikif1)(12112nniifxyi/2C1C2252R11R數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開38 在上面的例子中，我們用函數(shù)的冪級數(shù)表達式作解析延拓照那樣做下去，將得到有不同收斂圓的許多冪級數(shù)，這些冪級數(shù)的全體代表一個解析函數(shù)F(z)每一個冪級數(shù) 常稱為 F(z) 的一個元素，在它自己的收斂圓內(nèi)代表 F(z) 的泰勒展開。解析延拓是唯一的 解析延拓唯一性的證明（略）25212iR 0122211nnnizizf數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開393.5 解析函數(shù)的洛朗（Laur

23、ent）展開一、雙邊冪級數(shù)正冪部分有收斂半徑 引入新變量負冪部分成為有收斂半徑， 其在 內(nèi)部收斂，即在 的外部收斂。若 級數(shù)202010101202)()()()(zzazzaazzazza,1R,10zz 33221aaa,12R21|R20|Rzz,12RR 數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開40正冪部分收斂域負冪部分收斂域(白色)收斂環(huán)R2R1數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開41在 內(nèi)絕對且一致收斂。 稱為級數(shù)的收斂環(huán)。若級數(shù)發(fā)散。二、洛朗展開定理 設(shè) f (z) 在環(huán)形區(qū)域 的內(nèi)部單值解析，則對環(huán)域上任一點 z, f (z)可展為冪級數(shù) 其中 路徑C 是位于環(huán)域內(nèi)按逆時針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。kkk

24、zzazf)()(0Ckkzfad)()(i 2110102|RzzR102|RzzR,12RR 102|RzzR數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開42證：作01001kkkzzzz,1RC2RCd)(i 21d )(i 21)(21RRCCzfzfzfz0R2R1CR1CR1CR2CR2z| | ，001zzzCR沿Cd )(i 21)(1RCzfzf證明請見本章ppt21頁4 4線構(gòu)成復(fù)聯(lián)通區(qū)域線構(gòu)成復(fù)聯(lián)通區(qū)域數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開430100000000000)()()()(1111)()(11llllllzzzzzzzzzzzzzzzzz|,002zzzCR沿z0R2R1CR1CR1CR2CR2z

25、C數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開44代入積分第二和式換求和指標后成為 d)()(i 21)( d)()(i 21)()(00)1(0010021lCllkCkkRRzfzzzfzzzf12 ,) 1(RRCCkl d)()(i 21)(d)()(i 21)(110001)1(0)1(012kCkklCllRRzfzzzfzz換換向向改改號號數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開45從而其中C 是環(huán)區(qū)域內(nèi)按逆時針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。kkkzzazf)()(0CkCkkzfzfaRd)()(i 21d)()(i 2110101 122RRRCCC函數(shù)在函數(shù)在R R1 1、R R2 2圍成圍成的閉區(qū)域內(nèi)解析，的閉

26、區(qū)域內(nèi)解析， R R1 1 R R2 2間同向積分環(huán)間同向積分環(huán)路半徑可以任意變路半徑可以任意變化！化！數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開46 媽媽開了個淘寶店，歡迎前來捧場媽媽開了個淘寶店，歡迎前來捧場 媽媽的淘寶點開了快半年了，主要賣的是毛絨玩具、坐墊、抱枕之類的，媽媽的淘寶點開了快半年了，主要賣的是毛絨玩具、坐墊、抱枕之類的，感覺媽媽還是很用心的，花了不少功夫，所以我也來出自己的一份力，幫忙感覺媽媽還是很用心的，花了不少功夫，所以我也來出自己的一份力，幫忙宣傳一下。宣傳一下。 并且媽媽總是去五亭龍?zhí)糇詈玫耐婢哒怼l(fā)貨，質(zhì)量絕對有保證。并且媽媽總是去五亭龍?zhí)糇詈玫耐婢哒?、發(fā)貨，質(zhì)量絕對有保證。 另

27、外我家就在揚州五亭龍玩具城旁邊，貨源豐富，質(zhì)量可靠，價格便宜。另外我家就在揚州五亭龍玩具城旁邊，貨源豐富，質(zhì)量可靠，價格便宜。 歡迎大家來逛逛歡迎大家來逛逛【揚州五亭龍玩具總動員揚州五亭龍玩具總動員】 個人小廣告：個人小廣告：數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開471、正冪部分、正冪部分稱為 Laurent 級數(shù)的解析部分，在 圓內(nèi)絕對且一致收斂；2、負冪部分、負冪部分稱為 Laurent 級數(shù)的主要部分，在 圓外絕對且一致收斂；00)(kkkzza10)(kkkzzaLaurent 級數(shù) 展開也是唯一的。因此可用各種方法求一個函數(shù)的級數(shù)展開。10|Rzz20 |Rzz數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開48 關(guān)于關(guān)于

28、Laurent 級數(shù)展開的注意點：級數(shù)展開的注意點： 1、盡管上式中含有(z-z0) 的負冪次項，而這些項在z=z0 點是奇異的，但z0點可以是，也可以不是函數(shù) f(z) 的奇點； 2、盡管求展開系數(shù)ak 的公式與 Taylor 展 開系數(shù)的積分公式形式一樣，但 不論z0 是否 f (z)的奇點。 若z0 為f (z)的奇點，則f (k)(z0) 根本不存在； 若z0 不是 f (z)的奇點，則 f (k) (z0) 存在，但 ak 還是不等于 f (k)(z0)/k! 區(qū)域上有 f (z)的奇點（ z z0 ),!)(0)(kzfakk數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開49 因為 成立的條件 是在以C為

29、邊界的區(qū)域上 f (z)解析，而現(xiàn)在區(qū)域上有f (z)的奇點（若無奇點就無需考慮Laurent 展開了）3、如果只有環(huán)心 z0 是 f (z)的奇點，則內(nèi)圓半徑可以無限小， z 可以無限接近 z0 , 這時稱（3.5.3）為f (z)在它的孤立奇點 z0 鄰域上的Laurent 展開式?？捎靡匝芯亢瘮?shù)在其孤立奇點附近的性質(zhì)。Ckkzfkzfd)()(i 2!)(100)(kkkzzazf)()(0數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開50Pierre Alphonse LaurentBorn: 18 July 1813 in Paris, FranceDied: 2 Sept 1854 in Paris, F

30、rance Pierre Laurent was in the engineering corps and spent six years directing operations for the enlargement of the port of Le Havre. He submitted a work for the Grand Prize of 1842, unfortunately after the final date for submission. Cauchy reported on his work, which gives the Laurent series for

31、a complex function, saying that it should be approved but it was not. After Laurents death his widow arranged for two more of his memoirs to be presented to the Academy. One was never published, the second appeared in 1863.數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開51 例1、在 的鄰域?qū)?(sin z ) / z展開)|z(| ! 7! 5! 3! 1sin753zzzzz00z0)(z 1s

32、inlim 0)(z sin)(0zzzzzfz)|z|(0 ! 7! 5! 3! 11sin642zzzzz重新定義)|z(| ! 7! 5! 3! 11)(642zzzzf數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開52例2、在 的環(huán)域上將 展開解：|1z11)(2zzf 111 11111111)(642022222zzzzzzzzzfkkz=0 并非 f (z) 奇點 數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開53 例3、在 的鄰域?qū)?展開解：其中于是10z11)(2zzf 2)|1-z(| .21) 1(412/ ) 1(11412) 1(12111210kkkzzzz 2)|1-|(0 ) 1(2) 1(1121)(02z

33、zzzfkkkk11211121) 1)(1(1)(zzzzzf數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開54 )1( 2)|1-|(0 ) 1(2) 1( ) 1(2) 1() 1)(1(1)( 2)|1-z(| .21) 1(212/ ) 1(11212) 1(111:1210110nk-zzzzzzfzzzznnnnkkkkkkk另一種解法結(jié)果相同數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開55 例4、在 的鄰域?qū)?展開解：00z1/ze)(zf)|z(| ! 2! 11e02kkkzkzkzzz z1 1! 311! 211! 111e32/1zzzz 0 )!(1)!(1!1e000/1zzkzkznkkkknnz數(shù)學(xué)物理方

34、法冪級數(shù)展開56例5：在 求函數(shù) 的 Laurent 展開。解：利用指數(shù)函數(shù)的展開公式因此： zzxzf12e)( 121!1e 21!1e0102121nnzxllxzzxnxzl00zzxxzzf12121ee)(數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開57 . 3, , 2 , 1 , 121)!(121!1 . 3, , 2 , 1 , 0, 121!121)!(1121!121!1ee1000100012121hzazxhlxzlmzazxnxznmzazazxnxzlhhhlhllmmmnnnmhhhmmmlnnlzxxz得到各個負冪項得到各個正冪項數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開58 2)!( !) 1(

35、2!)!() 1(102002hhllhhlmmnnmnzxhllzxnnm ) | (0 , )( 2|)!|( !) 1() 1( 2!)!() 1(102|002 zzxJzxmnnzxnnmmmmmmnnmnmmmnnmnJm(x): Bessel functionnlmh 數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開59例 p60, 3.4(12) ctan z 在z=0鄰域的展開式？121531204220 ctan。 |0 ctan0 sin.),1( sin cos ctan.! 51! 31)!12()1( sin.! 41! 211)!2()1( coskkkkkkkkkzazzz，zz，z，z

36、zzzzzkzzzzkzz的環(huán)域展開成洛朗級數(shù)在將最相近的零點在是無偶冪次項最低冪次是是奇函數(shù)為奇函數(shù)為偶函數(shù)解答：數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開60后比較兩邊系數(shù)兩邊同乘.! 51! 31.! 51! 31.! 41! 211.)!12() 1()!2() 1(5353423311112020121zzzzzzzzzazazakzkzzakkkkkkkkk數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開61 2416120 3161 21 2161.241211.)6120()6(.)(.)6(.)1206(.! 41! 211.)! 51! 31.)(311111142431121114341214121142533311

37、1aaaaaaazzzaaazaaazazazazazaazzzzzzazaza數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開62.451311 ctan451 ) 31(6112012416120241 3113zzzzaaa數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開63Friedrich Wilhelm Besselb. Minden, Prussia (Germany), July 22, 1784, d. Knigsberg, Prussia (Kaliningrad, Russia), May 17, 1845Mathematicians and physicists often use Bessel functions, d

38、eveloped by Bessel to analyze the motions of planets and stars. In 1838 Bessel was the first to measure the distance to a star 61 Cygni (天鵝座) using parallax (視差) and a special instrument he invented known as the heliometer (太陽尺). With the heliometer Bessel also discovered that Sirius（天狼星）has an unse

39、en companion that causes its position to shift slightly as the companion orbits the larger star.數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開643.6 孤立奇點的分類在不同類型的奇點附近，函數(shù)具有不同的性質(zhì) 一、孤立奇點的定義: 若函數(shù) f (z) 在某點 z0 不可導(dǎo)。而在 z0 的任意小鄰域內(nèi)除z0 外處處可導(dǎo)，便稱 z0 為 f (z) 的孤立奇點。若在 z0 點的無論多么小的鄰域內(nèi)，總可以找到除 z0 以外的不可導(dǎo)的點，便稱 z0 為 f (z) 的非孤立奇點。例1: z = 0 是 函數(shù) 的孤立奇點，因為在以z

40、=0 為圓心， R1 的圓內(nèi)，除z=0 外，無其他不可導(dǎo)點。)1 (1)(zzzf數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開65例2: z = 0 是函數(shù) 1/sin(1/z) 的非孤立奇點，因為該函數(shù)的 奇點為 zn=1/n, n= 0,1, 2. ,1)/1Resin(),(zyxu函數(shù)的實部只要 n 足夠大， 1/n 可以任意接近于 z=0, 即在 z=0 的無論多么小的鄰域內(nèi)，總可以找到函數(shù)的其它奇點。數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開66二、孤立奇點的分類二、孤立奇點的分類: 設(shè)z0 是單值函數(shù) f (z) 的孤立奇點，則在以 z0 為圓心的一個環(huán)狀鄰域 0 | z-z0 | 內(nèi), 可以展開成 Laurent 級數(shù)

41、：,)()()(202010zzazzaazfkkkbzazf)()(正冪部分：解析部分， 負冪部分：主要部分1、若展式不含負冪項：z0為f (z)的可去奇點2、若展式含有限個負冪項： z0 為 f (z) 的極點3、若展式含無限個負冪項： z0 為 f (z) 的本性奇點三、函數(shù)在孤立奇點鄰域的性質(zhì)1、可去奇點數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開67 有 定義 則 為Taylor 展開。f(z)在奇點z0的去心鄰域內(nèi)的Laurent 級數(shù)無負冪項。2、極點0)(lim0azfzz)(z )(z )()(000zazzfzg202010)()()(zzazzaazg)|(0 )( )()( )()()(00

42、2020101010Rzzzzazzazzaazzazzazfmkkkmmmm如z0是 f (z) 的極點數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開68有 m：極點的階，一階極點稱單極點f (z) 在奇點z0的去心鄰域內(nèi) f (z) = g(z) /(z-z0)m, g(z)解析，g(z0)0 3、本性奇點 有 與 的方式有關(guān)，或稱無極限。,)(lim0zfzz)|0( )()(00Rzzzzazfkkk)(lim0zfzz0zz 與不存在極限的區(qū)別數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開69例：z=0是函數(shù) e1/z 的本性奇點，在 z 的環(huán)域內(nèi)，它的 Laurent 級數(shù)為.1! 211121zzez當 (1) z 沿正實軸0

43、 時，1/z , 故 e1/z ；(2) z 沿負實軸0 時，1/z , 故 e1/z ；(3) z 沿虛軸，按z i/(2n) 0 時， e1/z=e1/(i/2n) = e-i2n 1；數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開70 (4) z 按序列0,)( )arg2( iln1 )(ln )arg2( i1AAenzAnAnzzAnn令2222 ) arg 2(|)|ln (1| 0) arg 2(|)|(ln) arg 2( i |lnlim ) arg 2( i |ln1limlimAnAzAnAAnAAnAznnnnn0 nnz) ( e lim 1/ 為任意常數(shù)AAnzn數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開71由函數(shù)的圖形,可以清楚看出: z 沿不同方向 0時, 函數(shù)的形態(tài)。u(x,y)=Re(