圓錐曲線三種弦長(zhǎng)問題

1、圓錐曲線三種弦長(zhǎng)問題的探究般弦長(zhǎng)計(jì)算問題:2X例1、橢圓8弋a(chǎn)2右1a b0，直線l1:X b1被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2、3 ,且e守，過橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為的直線12被橢圓C截的弦長(zhǎng)AB,求橢圓的方程；弦 AB的長(zhǎng)度思路分析：把直線12的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求解解析：由I,被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為 2.2，得a2 b28,又ef，即2 c 2 a2 O2，所以a 3b3聯(lián)立得6,b22,所以所求的橢圓的方程為x2.橢圓的右焦點(diǎn)F 2,0,二12的方程為:y .3 x代入橢圓C的方程,化簡(jiǎn)得,5x218x 6由韋達(dá)定理知，Xi18X2,X1X25從而XiX2由弦長(zhǎng)公式，得2x,

2、 x24xi x2AB.1 k2Xi2.65X22-65即弦AB的長(zhǎng)度為亠65點(diǎn)評(píng)：此題抓住1,的特點(diǎn)簡(jiǎn)便地得出方程， 再根據(jù)e得方程,從而求得待定系數(shù)a2,b2,得出橢圓的方程，解決直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題時(shí)，常用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式。 二、中點(diǎn)弦長(zhǎng)問題： 例2、過點(diǎn)P 4,1作拋物線y2 8x的弦AB恰被點(diǎn)P平分，求AB的所在直線方程及弦 AB的長(zhǎng)度。思路分析：因?yàn)樗笙彝ㄟ^定點(diǎn)P,所以弦AB所在直線方程關(guān)鍵是求出斜率 k，有P是弦的中點(diǎn)，所以可用作差或韋達(dá)定理求得，然后套用弦長(zhǎng)公式可求解弦長(zhǎng) 解法1：設(shè)以P為中點(diǎn)的弦AB端點(diǎn)坐標(biāo)為 A Xj, y, , B x2, y2 ,，22那么有y1

3、8x1, y28x2，兩式相減，得y1y?%y?8花x?又 XiX28, yiy 2y2yiX2Xi4，所以所求直線AB的方程為y 14 x 4，即 4x y 150.解法2：設(shè)AB所在的直線方程為 y k x 41y k x 412由，整理得ky2 8y 32k 8 0.y2 8x8設(shè)A/,% , B X2,y2 ，由韋達(dá)定理得y yk又 P 是 AB 的中點(diǎn)， Il 匕 1-2 k 42k所以所求直線 AB的方程為4x y 150.4x2yy 158x整理得,2 ry 2y 300,那么 y1 y 2,%y230有弦長(zhǎng)公式得,AB J|y1 y21k2y12y24y2,5272點(diǎn)評(píng)：解決弦的中點(diǎn)有兩種常用方法，一是利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造條件；二是利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系求解，然后可套用弦長(zhǎng)公式求解弦長(zhǎng)三、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問題：例3、同例1、由12過右焦點(diǎn)，有焦半徑公式的弦長(zhǎng)為AB 2a e x1 x24/65y.3x2代入橢圓C的方程2 x2y 1，化簡(jiǎn)得，5x218x 6062由韋達(dá)定理知，x1x218,W2655另解：.橢圓的右焦點(diǎn)F 2,0 ,12的方程為:4J6即弦AB的長(zhǎng)度為U5點(diǎn)評(píng)：在解決直線與